WikiDer > Неабелева теория поля классов

Non-abelian class field theory

В математика, неабелева теория поля классов это крылатая фраза, означающая расширение результатов теория поля классов, относительно полный и классический набор результатов по абелевы расширения любой числовое поле K, к генералу Расширение Галуа L/K. Хотя к 1930 году теория поля классов была по существу известна, соответствующая неабелева теория так и не была сформулирована в окончательном и общепринятом смысле.[1]

История

Изложение теории поля классов с точки зрения групповые когомологии был выполнен Клод Шевалле, Эмиль Артин и другие, в основном в 1940-е гг. Это привело к формулировке основных результатов с помощью групповых когомологий группа классов иделей. Теоремы когомологического подхода не зависят от того, Группа Галуа грамм из L/K абелева. Эта теория никогда не считалась востребованной. неабелев теория. Первая причина, которая может быть названа для этого, заключается в том, что он не предоставил свежую информацию о расщепление простых идеалов в расширении Галуа; распространенный способ объяснить цель неабелевой теории поля классов состоит в том, что она должна обеспечивать более явный способ выражения таких паттернов расщепления.[2]

Следовательно, когомологический подход имел ограниченное применение даже при формулировании неабелевой теории поля классов. За историей стояло желание Шевалле написать доказательства теории полей классов без использования Серия Дирихле: другими словами, чтобы устранить L-функции. Первая волна доказательств центральных теорем теории полей классов была построена как состоящая из двух `` неравенств '' (та же структура, что и в приведенных сейчас доказательствах теории поля). основная теорема теории Галуа, хотя и намного сложнее). Одно из двух неравенств связано с рассуждением с L-функциями.[3]

В более позднем обращении этого развития было понято, что для обобщения Артиновая взаимность что касается неабелевского случая, необходимо было найти новый способ выражения Артина L-функции. Современная формулировка этой амбиции с помощью Программа Langlands: в чем есть основания полагать, что L-функции Артина также являются L-функциями автоморфные представления.[4] В начале двадцать первого века это формулировка понятия неабелева теория поля классов это имеет самое широкое признание экспертов.[5]

Примечания

  1. ^ Остается проблема создания неабелевой теории полей классов для нормальных расширений с неабелевой группой Галуа. Из Кузьмин, Л. (2001) [1994], "Теория поля классов", Энциклопедия математики, EMS Press.
  2. ^ На статистическом уровне классический результат по простые числа в арифметических прогрессиях Дирихле обобщает Теорема плотности Чеботарева; то, что просят, является обобщением того же объема квадратичная взаимность.
  3. ^ В сегодняшней терминологии это второй неравенство. Видеть формирование класса для современной презентации.
  4. ^ Джеймс В. Когделл, Функториальность, обратные теоремы и приложения (PDF) утверждает, что Функториальность сама по себе является проявлением видения Ленглендсом неабелевой теории поля классов..
  5. ^ Вопрос о законах и символах взаимности для неабелевых расширений полей более точно укладывается в неабелеву теорию полей классов и программу Ленглендса.: из Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Проблемы Гильберта», Энциклопедия математики, EMS Press