WikiDer > Нормальная основа

Normal basis

В математикав частности алгебраический теория поля, а нормальная основа особый вид основа за Расширения Галуа конечной степени, характеризующиеся как образующие единую орбита для Группа Галуа. В теорема о нормальном базисе утверждает, что любое конечное расширение Галуа полей имеет нормальный базис. В алгебраическая теория чисел, изучение более тонкого вопроса о существовании нормальный интегральный базис часть Модуль Галуа теория.

Теорема о нормальном базисе

Позволять - расширение Галуа с группой Галуа . Классический теорема о нормальном базисе заявляет, что есть элемент такой, что составляет основу K, рассматриваемое как векторное пространство над F. То есть любой элемент можно записать однозначно как для некоторых элементов

Нормальный базис контрастирует с примитивный элемент основа формы , где - элемент, минимальный многочлен которого имеет степень .

Точка зрения группового представительства

Расширение поля с группой Галуа г естественно рассматривать как представление группы г над полем F в котором каждый автоморфизм представлен сам по себе. Представления г над полем F можно рассматривать как левые модули для групповая алгебра . Каждый гомоморфизм левой -модули имеет форму для некоторых . поскольку является линейным базисом над F, легко следует, что биективен тогда и только тогда генерирует нормальную основу K над F. Таким образом, нормальная базисная теорема сводится к утверждению, что если конечное расширение Галуа, то как осталось -модуль. С точки зрения представлений г над F, это означает, что K изоморфен регулярное представительство.

Случай конечных полей

За конечные поля это можно сформулировать следующим образом:[1] Позволять обозначим поле q элементы, где q = pм это простая сила, и пусть обозначим его поле расширения степени п ≥ 1. Здесь группа Галуа с а циклическая группа генерируется q-мощность Автоморфизм Фробениуса с Тогда существует элемент βK такой, что

является основой K над F.

Доказательство для конечных полей

В случае, если группа Галуа является циклической, как указано выше, порождается с Теорема о нормальном базисе следует из двух основных фактов. Первая - это линейная независимость характеров: мультипликативный характер это отображение χ из группы ЧАС в поле K удовлетворение ; затем любые отдельные символы линейно независимы в K-векторное пространство отображений. Применим это к автоморфизмам группы Галуа мыслится как отображения из мультипликативной группы . Сейчас же как F-векторное пространство, поэтому мы можем рассматривать как элемент матричной алгебры поскольку его полномочия линейно независимы (над K и тем более F), его минимальный многочлен должен иметь степень не ниже п, т.е. должно быть .

Второй основной факт - это классификация конечно порожденных модули через PID такие как . Каждый такой модуль M можно представить как , где могут быть выбраны так, чтобы они были моническими многочленами или нулем и кратно . - монический многочлен наименьшей степени, аннулирующий модуль, или нулевой, если такого ненулевого многочлена не существует. В первом случае , во втором случае . В нашем случае циклического г размера п Сгенерированно с помощью у нас есть F-алгебр изоморфизм где Икс соответствует так что каждый -модуль можно рассматривать как -модуль с умножением на Икс умножение на . В случае K это означает , так что унитарный многочлен наименьшей степени, аннулирующий K - минимальный многочлен от . поскольку K является конечномерным F-пространство, приведенное выше представление возможно с . поскольку мы можем иметь только , и так как -модули. (Обратите внимание, что это изоморфизм F-линейные пространства, но нет колец или F-алгебры!) Это дает изоморфизм -модули о котором мы говорили выше, и под ним основа справа соответствует нормальному основанию из K слева.

Обратите внимание, что это доказательство применимо и в случае циклического Куммер расширение.

пример

Рассмотрим поле над , с автоморфизмом Фробениуса . Приведенное выше доказательство поясняет выбор нормальных базисов с точки зрения структуры K как представление г (или F[г] -модуль). Неприводимая факторизация

означает, что у нас есть прямая сумма F[г] -модули (по Китайская теорема об остатках):

Первый компонент просто , а второй изоморфен как F[г] -модуль в под действием (Таким образом так как F[г] -модули, но нет так как F-алгебры.)

Элементы которые могут использоваться для нормального базиса, - это в точности те, которые находятся вне любого из подмодулей, так что и . Что касается г-орбиты K, которые соответствуют неприводимым факторам:

элементы корни , ненулевые элементы подмодуля корни , а нормальный базис, который в данном случае единственный, дается корнями оставшегося множителя .

Напротив, для поля расширения в котором п = 4 делится на п = 2, имеем F[г] -модульный изоморфизм

Здесь оператор не является диагонализуемый, модуль L имеет вложенные подмодули, заданные обобщенные собственные подпространства из , а нормальные базисные элементы β находятся за пределами самого большого собственного обобщенного собственного подпространства, элементы с .

Приложение к криптографии

Нормальный базис часто используется в криптографический приложения на основе задача дискретного логарифмирования, такие как криптография на основе эллиптических кривых, поскольку арифметика с использованием нормального базиса обычно более эффективна с точки зрения вычислений, чем использование других базисов.

Например, в поле выше, мы можем представить элементы как битовые строки:

где коэффициенты биты Теперь мы можем возводить элементы в квадрат, выполняя круговой сдвиг влево, , поскольку возведение в квадрат β4 дает β8 = β. Это делает нормальную основу особенно привлекательной для криптосистем, использующих частое возведение в квадрат.

Доказательство для случая бесконечных полей.

Предположим конечно расширение Галуа бесконечного поля F. Позволять , , где . От теорема о примитивном элементе существуют такой, что . Позволять ж - минимальный монический многочлен от . потом ж неприводимый монический многочлен степени п над F/ Обозначить . поскольку ж имеет степень п, у нас есть за . Обозначить

Другими словами, у нас есть

Обратите внимание, что и за . Затем определите матрица А многочленов над K и полином D от

Заметьте, что , где k определяется , особенно если только . Это следует из того матрица перестановок, соответствующая перестановке г который отправляет каждый к . (Обозначим через матричные элементы которой являются значениями элементов в .) Следовательно, мы имеем . Мы видим, что D ненулевой многочлен, поэтому он может иметь только конечное число корней. Поскольку мы предполагаем F бесконечно, мы можем найти такой, что . Определить

Мы утверждаем, что это нормальная база. Нам нужно только показать, что линейно независимы над F, так что предположим для некоторых . Применение автоморфизма мы получаем для всех я. Другими словами, . поскольку ,мы заключаем , что завершает доказательство.

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что , так что для любого F-автоморфизм и полином над значение полинома в равно . Поэтому мы не могли просто взять .

Примитивная нормальная основа

А примитивный нормальный базис расширения конечных полей E/F это нормальная основа для E/F который создается примитивный элемент из E, который является генератором мультипликативной группы (Обратите внимание, что это более ограничительное определение примитивного элемента, чем упомянутое выше после общей теоремы о нормальном базисе: требуется, чтобы мощности элемента производили каждый ненулевой элемент K, а не просто базис.) Ленстра и Шоф (1987) доказали, что каждое расширение конечного поля обладает примитивным нормальным базисом, случай, когда F это основное поле был урегулирован Гарольд Давенпорт.

Бесплатные элементы

Если K/F является расширением Галуа и Икс в E генерирует нормальную основу над F, тогда Икс является свободный в K/F. Если Икс обладает тем свойством, что для каждой подгруппы ЧАС группы Галуа г, с фиксированным полем KЧАС, Икс бесплатно для K/KЧАС, тогда Икс как говорят совершенно бесплатно в K/F. Каждое расширение Галуа имеет полностью бесплатный элемент.[2]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Надер Х. Бшути; Гадиэль Серусси (1989), Обобщения теоремы о нормальном базисе конечных полей (PDF), п. 1; SIAM J. Дискретная математика. 3 (1990), нет. 3, 330–337.
  2. ^ Дирк Хахенбергер, Полностью бесплатные элементы, в Cohen & Niederreiter (1996), стр.97-107 Zbl 0864.11066