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EIN parametrische Gleichung ist ein MathematikerVergleich mit dem a Koordinate eines mathematischen Objekts, wie einer Kurve, einer Fläche, eines geometrischen Feldes, ist in Abhängigkeit von einem oder mehreren gegeben Parameter. Die gemeinsamen parametrischen Gleichungen bilden die parametrische Darstellung oder Parametrierung des Objekts. Mit anderen Worten, normalerweise ${Anzeigestil x}$-, ${displaystyle y}$- und ${Anzeigestil z}$-Werte, die als Funktion des/der Parameter(s) ausgedrückt werden. Wenn nur ein Parameter vorhanden ist, wird jedem Parameterwert ein Punkt zugeordnet. Diese Punkt wird ein Kurve beschreiben, ob sich dieser Parameter glatt ändert, sofern es sich um kontinuierliche Funktionen handelt. Mit zwei Parametern erhält man analog a Oberfläche.

Beispiele

Ellipse

Ein Beispiel für eine parametrische Gleichung ist das folgende:

${Anzeigestil x=3cos(t)}$

${Anzeigestil y=sin(t)}$

Wenn der Parameter ${displaystyle t}$ ändert sich fließend, beschreibt den Punkt ${Anzeigestil(x,y)}$ eine feste Ellipse.

Eine Kategorie spezieller parametrischer Kurven bilden die sogenannten Lissajous-Charaktere, bei dem der die Kurve durchquerende Punkt sowohl einer Horizontalen als auch einer Vertikalen unterliegt harmonisch Vibration. Ein Beispiel hierfür ist das oben angegebene Beispiel der Ellipse.

Diagramm

Der Graph einer Funktion kann als parametrische Gleichung mit der Variablen ${Anzeigestil x}$ als Parameter.

Atmosphäre (Kugeloberfläche)

Parametrisierung einer Kugeloberfläche, ${Anzeigestil Vartheta}$ und ${Anzeigestil Varphi }$ sind die Parameter

Die allgemeine kartesische Gleichung einer Kugeloberfläche oder Ambiente mit Radius ${displaystyle r}$ und zentrieren ${Anzeigestil (x_{0},y_{0},z_{0})}$ wird gegeben von

${displaystyle (x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2} (z-z_{0})^{2}=r^{2}}$

Durch Einsetzen in die kartesische Gleichung kann man zeigen, dass die folgenden Ausdrücke eine parametrische Darstellung für dieselbe Kugeloberfläche liefern:

${displaystyle x=x_{0} rsin heta ;cos varphi }$

${displaystyle y=y_{0} rsin heta ;sin varphi qquad (0leq varphi leq 2pi {mbox{ and }}0leq heta leq pi )}$

${displaystyle z=z_{0} rcos heta }$

Allgemeines

Eine parametrische Gleichung ist eine Vektorfunktion von ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ wobei m die Anzahl der Parameter und n die Anzahl der Koordinaten ist. In mathematischer Schreibweise wird dies zu

${displaystyle {overrightarrow {P}}(t_{1},t_{2},ldots,t_{m})=(x_{1}(t_{1},t_{2},ldots,t_{m}) ,x_{2}(t_{1},t_{2},ldots ,t_{m}),ldots ,x_{n}(t_{1},t_{2},ldots ,t_{m}))}$

Hauptfälle

Für eine Kurve in zwei Dimensionen gilt a flache Kurve, das wird

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {P}}(t)=(x(t),y(t))}$

Und so speziell für den Graphen einer Funktion von ${displaystyle mathbb {R} }$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {P}}(t)=(t,f(t))}$

Für eine Kurve in drei Dimensionen gilt a Raumkurve, das wird

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {P}}(t)=(x(t),y(t),z(t))}$

Für eine Oberfläche in 3D wird dies zu

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {P}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

Und so speziell für den Graphen einer Funktion von ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {P}}(u,v)=(u,v,f(u,v))}$

Siehe auch

• Zykloide
• Helix (Mathematik)
• Kurve
• Raumkurve
• Oberfläche (Topologie)
• Grafik (Mathematik)
• Tangente