WikiDer > Частичный след

Partial trace
Левая сторона показывает полную матрицу плотности системы двудольных кубитов. Частичная трассировка выполняется по подсистеме размерности 2 на 2 (матрица плотности одного кубита). Правая часть показывает результирующую уменьшенную матрицу плотности 2 на 2. .

В линейная алгебра и функциональный анализ, то частичный след является обобщением след. В то время как след - это скаляр значная функция на операторах, частичный след является оператор-значная функция. Частичная трассировка имеет применение в квантовая информация и декогеренция что актуально для квантовое измерение и тем самым к декогерентным подходам к интерпретации квантовой механики, включая последовательные истории и интерпретация относительного состояния.

Подробности

Предполагать , конечномерные векторные пространства над поле, с размеры и , соответственно. Для любого пространства , позволять обозначим пространство линейные операторы на . Частичный след за тогда записывается как .

Он определяется следующим образом: Для , позволять , и , быть основанием для V и W соответственно; тогда Тимеет матричное представление

относительно основы из .

Теперь об индексах k, я в диапазоне 1, ..., мрассмотрим сумму

Это дает матрицу бk, я. Соответствующий линейный оператор на V не зависит от выбора базиса и по определению частичный след.

Среди физиков это часто называют «отслеживанием» или «отслеживанием». W оставить только оператора V в контексте, где W и V являются гильбертовыми пространствами, ассоциированными с квантовыми системами (см. ниже).

Инвариантное определение

Оператор частичного следа может быть определен инвариантно (то есть без ссылки на базис) следующим образом: это единственный линейный оператор

такой, что

Чтобы убедиться, что приведенные выше условия однозначно определяют частичный след, пусть сформировать основу для , позволять сформировать основу для , позволять быть картой, которая посылает к (и все остальные элементы базиса равны нулю), и пусть быть картой, которая посылает к . Поскольку векторы сформировать основу для , карты сформировать основу для .

Из этого абстрактного определения следуют следующие свойства:

Теоретико-категориальное понятие

Это частичный след линейных преобразований, который является предметом концепции Джояла, Стрита и Верити. Прослеженная моноидальная категория. Прослеживаемая моноидальная категория - это моноидальная категория вместе с, для объектов X, Y, U в категории функция Hom-множеств,

удовлетворяющие определенным аксиомам.

Другой случай этого абстрактного понятия частичного следа имеет место в категории конечных множеств и биекций между ними, в которой моноидальное произведение является дизъюнктным объединением. Можно показать, что для любых конечных множеств X, Y, U и биекция существует соответствующая "частично прослеженная" биекция .

Частичный след для операторов в гильбертовых пространствах

Частичный след обобщается на операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Предполагать V, W являются гильбертовыми пространствами, и пусть

быть ортонормированный базис за W. Теперь есть изометрический изоморфизм

При таком разложении любой оператор можно рассматривать как бесконечную матрицу операторов на V

куда .

Сначала предположим Т неотрицательный оператор. В этом случае все диагональные элементы указанной выше матрицы являются неотрицательными операторами на V. Если сумма

сходится в сильная операторная топология из L (V), она не зависит от выбранного базиса W. Частичный след TrW(Т) определяется как этот оператор. Частичный след самосопряженного оператора определяется тогда и только тогда, когда определены частичные следы положительной и отрицательной частей.

Вычисление частичной трассировки

Предполагать W имеет ортонормированный базис, который мы обозначим через кет векторные обозначения как . потом

Верхние индексы в круглых скобках не представляют компоненты матрицы, а вместо этого обозначают саму матрицу.

Частичный след и инвариантное интегрирование

В случае конечномерных гильбертовых пространств есть полезный способ взглянуть на частичный след, включающий интегрирование по подходящей нормированной мере Хаара μ над унитарной группой U (W) из W. Соответствующим образом нормализованное означает, что μ берется как мера с общей массой dim (W).

Теорема. Предполагать V, W являются конечномерными гильбертовыми пространствами. потом

коммутирует со всеми операторами вида и, следовательно, однозначно имеет вид . Оператор р частичный след Т.

Частичный след как квантовая операция

Частичный след можно рассматривать как квантовая операция. Рассмотрим квантово-механическую систему, пространство состояний которой является тензорным произведением гильбертовых пространств. Смешанное состояние описывается матрица плотности ρ, который является неотрицательным оператором следового класса следа 1 на тензорном произведении Частичный след ρ относительно системы B, обозначаемый , называется приведенным состоянием ρ на системе А. В символах

Чтобы показать, что это действительно разумный способ присвоить состояние А подсистемы к ρ, мы предлагаем следующее обоснование. Позволять M быть наблюдаемым в подсистеме А, то соответствующая наблюдаемая на составной системе есть . Однако каждый выбирает определение сокращенного состояния , должна быть согласованность статистики измерений. Ожидаемое значение M после подсистемы А готовится в и что из при приготовлении составной системы по ρ должно быть одинаковым, т.е. должно выполняться следующее равенство:

Мы видим, что это выполняется, если определено выше посредством частичной трассировки. Кроме того, такая операция уникальна.

Позволять Т (В) быть Банахово пространство операторов следового класса в гильбертовом пространстве ЧАС. Легко проверить, что частичный след, рассматриваемый как карта

полностью положительный и сохраняет след.

Частичное отображение следа, как указано выше, индуцирует двойное отображение между C * -алгебры ограниченных операторов на и данный

отображает наблюдаемые в наблюдаемые и является Картинка Гейзенберга представление .

Сравнение с классическим корпусом

Предположим, что вместо квантово-механических систем две системы А и B классические. Тогда пространства наблюдаемых для каждой системы являются абелевыми C * -алгебрами. Они имеют вид C(Икс) и C(Y) соответственно для компактных пространств Икс, Y. Пространство состояний составной системы просто

Состояние составной системы - это положительный элемент ρ двойственного к C (Икс × Y), что по Теорема Рисса-Маркова соответствует регулярной борелевской мере на Икс × Y. Соответствующее приведенное состояние получается проецированием меры ρ на Икс. Таким образом, частичный след является квантово-механическим эквивалентом этой операции.