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In dem multivariable Analyse, eine Unterregion der Mathematik, ist ein partielle Ableitung von a Funktion von einigen Variablen, das Derivat wobei nur eine der Variablen tatsächlich als Variable behandelt wird und die andere als Konstanten (dies im Gegensatz zu den Gesamtableitung, wobei alle Variablen variieren dürfen). Partielle Derivate werden in der Differentialgeometrie und der Vektoranalyse.

Nehmen wir zum Beispiel die Funktion

${Anzeigestil f(x,y)=2x 3xy 5x^{2} b 7y}$

die partielle Ableitung zu ${Anzeigestil x,}$ dann die Variable ${Anzeigestil y}$ als Konstante behandelt (die Konstante ${displaystyle b}$ bleibt natürlich konstant). Daraus folgt:

${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}=2 3y 10x}$

Die partielle Ableitung einer Funktion ${displaystyle f}$ in Bezug auf die Variable ${Anzeigestil x}$ wird auf verschiedene Weise angezeigt. Zur Unterscheidung von der gewöhnlichen Ableitung verwendet man das Symbol der runden partiellen Ableitung ${Displaystil teilweise }$ Anstatt von ${displaystyle mathrm {d} ,}$ man merkt:

${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}, partiell _{x}f, f_{x}{ ext{ or }}f_{x}^{prime }.}$

Das partielle Ableitungssymbol ${Displaystil teilweise }$ wurde eingeführt von Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), trat dann in den Hintergrund, gewann aber nach der Wiedereinführung dieses Symbols durch symbol Carl Jacobic (1804 - 1851)^[1] allgemeine Akzeptanz.

Einführung

EIN Diagramm von ${Anzeigestil z=x^{2} xy y^{2}.}$ Für die partielle Ableitung at Punkt${Anzeigestil (1,1,3)}$ Das ${Anzeigestil y}$ ständig zu spät, das entsprechende Tangente parallel zum ${displaystyle xz}$-eben.

Ein Segment der Grafik über Punkt above ${displaystyle y=1}$

Annehmen ${displaystyle f}$ ist eine Funktion von zwei Variablen. Beispielsweise,

${Anzeigestil z=f(x,y)=x^{2} xy y^{2}.}$

Das Diagramm dieser Funktion definiert a Oberfläche in dem euklidischer Raum. Für jeden Punkt auf dieser Fläche gibt es a unendlich Nummer Tangenten. Partielle Differenzierung ist der Akt der Wahl einer dieser Tangenten und der Steigung finde es. Normalerweise sind die interessantesten Linien die parallel zu den ${displaystyle xz}$-flach und die ${displaystyle yz}$- flach gehen.

Um die Steigung der Tangente an die Funktion at . zu erhalten ${Anzeigestil (1,1,3)}$ gefunden werden, die parallel zum ${displaystyle xz}$-Ebene, wird die Variable ${Anzeigestil y}$ als Konstante behandelt. Der Graph und diese Ebene sind im Bild rechts dargestellt. Das Bild unten zeigt, wie die Funktion in der Ebene aussieht ${Anzeigestil y=1.}$ Bis zum Derivat der Gleichung unter der Annahme, dass ${Anzeigestil y}$ konstant ist, findet man, dass die Steigung von ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil(x,y,z)}$ gleich:

${displaystyle {frac {teilweise z}{teilweise x}}=2x y}$

Durch Einsetzen in Punkt ${Anzeigestil (1,1,3)}$ die Steigung an diesem Punkt ist gleich 3.

${displaystyle {frac {teilweise z}{teilweise x}}=3}$

Das heißt, die partielle Ableitung von ${Anzeigestil z}$ über ${Anzeigestil x}$ im punkt ${Anzeigestil (1,1,3)}$ gleich 3.

Formale Definition

Die genaue Definition einer partiellen Ableitung der Funktion ${displaystyle f}$ zur Variablen ${displaystyle x_{i}}$ ist wie folgt:

wenn ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} }$ ist eine Funktion der Variablen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n},}$ dann gilt:

${displaystyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}(x_{1},ldots ,x_{n})=lim _{ho 0}{frac {f(x_{1},ldots ,x_{ i-1},x_{i} h,x_{i 1},ldots ,x_{n})-f(x_{1},ldots ,x_{n})}{h}}}$

Hier steht lim für die Grenze.

Das Richtungsableitung verallgemeinert dieses Konzept auf eine beliebige, aber feste Richtung.

Höhere partielle Ableitung

Die partiellen Ableitungen, ${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}}$ und ${displaystyle {frac {teilweise f}{teilweise y}}}$ der Funktion ${Anzeigestil z=f(x,y)}$ sind oft Funktionen von ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil J.}$ Wir könnten diese Funktionen wieder teilweise differenzieren durch ${Anzeigestil x}$ und/oder ${Anzeigestil J.}$ Daraus ergeben sich 4 partielle Ableitungen 2. Ordnung:

${displaystyle {frac {partial }{partial x}}left({frac {partial z}{partial x}}ight)={frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}}$

${displaystyle {frac {partial }{partial y}}left({frac {partial z}{partial y}}ight)={frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}}$

${displaystyle {frac {partial }{partial y}}left({frac {partial z}{partial x}}ight)={frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}}$

${displaystyle {frac {partial }{partial x}}left({frac {partial z}{partial y}}ight)={frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}}$

Laut der Satz von Schwarz die letzten beiden Terme sind gleich, wenn ${displaystyle {frac {partial z}{partial x}}}$, ${displaystyle {frac {partial z}{partial y}}}$ und ${displaystyle {frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}}$ existieren und sind kontinuierlich. In diesem Fall also

${displaystyle {frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}}$

Beispiele

Beispiel 1

Sie ${displaystyle f:mathbb {R} ^{2} oder mathbb {R} }$ gegeben von ${displaystyle f(x,y)=x^{3} 2xy { frac {1}{3}}x^{3}y^{4}}$. Dann gilt:

${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}=3x^{2} 2y x^{2}y^{4}}$

Betrachtet man hier die Variable ${Anzeigestil y}$ wenn Konstante betrachtet und differenziert nach der Variablen ${Anzeigestil x.}$ Auf die gleiche Weise folgt:

${displaystyle {frac {partial f}{partial y}}=2x {frac {4}{3}}x^{3}y^{3}}$

Im zweiten Fall, ${Anzeigestil x}$ als Konstante angesehen.

Beispiel 2

Wir untersuchen die folgende Funktion:

${displaystyle z=f(x,y)={sqrt {x^{2} { frac {1}{y}}}} arcsin(xy),}$

${displaystyle {frac {partial z}{partial x}}={frac {2x}{2{sqrt {x^{2} {frac {1}{y}}}}} {frac {y}{sqrt { 1-(xy)^{2}}}}={frac {x}{sqrt {x^{2} {frac {1}{y}}}}} {frac {y}{sqrt {1-(xy )^{2}}}},}$

Wir betrachten hier ${Anzeigestil y}$ als Konstante

${displaystyle {frac {partial z}{partial y}}={frac {1}{2{sqrt {x^{2} {frac {1}{y}}}}}cdot (-y^{-2 }) {frac {x}{sqrt {1-(xy)^{2}}}}={frac {-1}{2y^{2}{sqrt {x^{2} {frac {1}{y }}}}}} {frac {x}{sqrt {1-(xy)^{2}}}},}$

Wir betrachten hier ${Anzeigestil x}$ als Konstante

Beispiel 3

In Beispiel 1 wird berechnet, dass

${displaystyle {frac {partial f}{partial x}}=3x^{2} 2y x^{2}y^{4}}$

Für die zweite partielle Ableitung ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}}$ gilt:

${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}={frac {partial }{partial y}}left({frac {partial f}{partial x}}ight),}$

So

${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}={frac {partial }{partial y}}links(3x^{2} 2y x^{2}y^{4}ight)= 2 4x^{2}y^{3}}$

Siehe auch

• Hessisch
• Jacobi-Matrix

Fußnoten