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In dem Mathematik ist der Derivat wenn es Differentialquotient ein Maß für die Änderung von a Funktion relativ zur Änderung seiner Variablen. Für eine Funktion in einer Variablen ist die is Derivat die Grenze des Verhältnisses zwischen der Änderung des Funktionswertes und der Änderung der zugrunde liegenden Variablen. Der Begriff Differentialquotient historisch entstanden, denn die Veränderungen machten den Unterschied, die Unterschied, zwischen einem ursprünglichen Wert und einer kleinen Abweichung davon liegen.

Für eine Funktion in einem Real Variable wird zur Ableitung in a Punkt gegeben durch die Steigung des Tangente zum Diagramm dieser Funktion zu diesem Zeitpunkt. Das Wort "Derivat" ist hier eigentlich eine Abkürzung für "Derivative Value". Es ist ein von der ursprünglichen Funktion abgeleiteter Wert. Die Bestimmung der Ableitung einer Funktion heißt unterscheiden.

Wenn die Ableitung einer Funktion f ist für alle Punkte im . definiert Domain von f, wird die durch sie bestimmte Funktion die Ableitungsfunktion oder einfach die Derivat erwähnt. Der Begriff der Ableitung einer Funktion wurde im 17. Jahrhundert fast gleichzeitig Isaac Newton und Gottfried Leibniz erfunden.

Differentiation ist die Umkehroperation von integrieren.

Notation

Animation, die eine intuitive Vorstellung von der Ableitung vermittelt

Auch das Derivat erste Ableitung, einer Funktion ${displaystyle f}$ mit variabel ${Anzeigestil x}$ wird notiert als ${displaystyle f^{prime }}$, aussprechen "${displaystyle f}$-Akzent", oder wenn ja Differentialquotient${displaystyle {frac {mathrm {d} f(x)}{mathrm {d} x}}}$. Die Notation ${Display-Operatorname {D} !f}$ wird auch verwendet.

Varianten in der Notation sind: ${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)}$ oder einfach ${displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}}$.

wenn ${Anzeigestil y=f(x)}$, Leute schreiben manchmal ${displaystyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}}$, ${Displaystyle-Operatorname {D} !y}$ oder ${displaystyle y^{prime }}$, oder um Verwirrung zu vermeiden ${displaystyle y_{x}^{prime }}$.

Höhere Ableitungen werden in gleicher Weise notiert. So geht's zweite Ableitung geschrieben als ${displaystyle f,''}$, oder manchmal als ${displaystyle D_{2}f}$, und der ${displaystyle n}$-die Ableitung, wenn ${Anzeigestil f^{(n)}}$. Auch bei Verwendung höherer Differentialquotienten

${displaystyle f,''={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}{frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}={frac {mathrm {d^{2 }} f}{mathrm {d} x^{2}}}}$ oder ${displaystyle {frac {mathrm {d^{2}} }{mathrm {d} x^{2}}}f(x)}$

und

${displaystyle f^{(n)}={frac {mathrm {d^{n}} f}{mathrm {d} x^{n}}}}$ oder ${displaystyle {frac {mathrm {d^{n}} }{mathrm {d} x^{n}}}f(x)}$

Beispiel

Ein Radfahrer fährt auf einer geraden Straße. Der Weg, den er in der Zeit zurückgelegt hat ${displaystyle t}$ seit er mit dem radfahren angefangen hat ${Anzeigestil s(t)}$. Wie schnell ist er damals gefahren ${displaystyle t_{0}}$? Seine Geschwindigkeit wird mehr oder weniger durch die Distanz bestimmt, die er in der Zeit zurückgelegt hat ${Anzeigestil Delta t}$ nach der zeit ${displaystyle t_{0}.}$ Dieser Abstand beträgt:

${Anzeigestil Delta s=s(t_{0} Delta t)-s(t_{0})}$

Seine Durchschnittsgeschwindigkeit während dieser Zeit betrug:

${displaystyle { ar {v}}={frac {Delta s}{Delta t}}}$

Je kleiner die Periode ${Anzeigestil Delta t}$ ist, je höher die Durchschnittsgeschwindigkeit die Geschwindigkeit ${displaystyle v(t_{0})}$ damals ${displaystyle t_{0}}$ herankommen wird. Diese Geschwindigkeit ist die Grenze für ${Anzeigestil Delta t}$ zu 0 und heißt Ableitung von ${Anzeigestil s(t)}$ zu ${displaystyle t}$:

${displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})={frac {{m {d}}s}{{m {d}}t}}(t_{0})=lim _{ Delta zu 0}{frac {Delta s}{Delta t}},{Bigg |}_{t=t_{0}}}$

Tangente

Für eine Funktion mit einer reellen Variablen bedeutet dies geometrisch, dass die Ableitung an einem bestimmten Punkt gleich der Steigung der Tangente an den Graphen an diesem Punkt ist.

spät ${displaystyle f:mathbb {R} ightarrow mathbb {R} }$ ein kontinuierliche Funktion sein. Die Tangente am Punkt ${Anzeigestil (x,f(x))}$ zum Diagramm von ${displaystyle f}$ wird erhalten durch a Akkord zwischen den Punkten zu betrachten ${Anzeigestil (x,f(x))}$ und ${Anzeigestil (xDelta x,f(xDelta x))}$ und die entfernung ${Anzeigestil Delta x}$ immer kleiner werden.

Die Steigung der Sehne durch die beiden Punkte ist

${displaystyle {frac {Delta f}{Delta x}}={frac {f(x Delta x)-f(x)}{Delta x}}}$

Wenn die Grenze für die Abnahme ${Anzeigestil Delta x}$ existiert, ist diese Grenze die Steigung der Tangente und wird zur Ableitung von wordt ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil x}$ erwähnt.

Definition

Die Ableitung der Funktion ${displaystyle f}$ Das differenzierbar ist im punkt ${Anzeigestil a}$ von dem Domain, ist definiert als:

${displaystyle f'(a)=lim_{h o 0}{frac {f(a h)-f(a)}{h}}}$

Ist die Funktion im ganzen Gebiet differenzierbar, dann heißt . ${displaystyle f'}$ die abgeleitete Funktion, die auch geschrieben wird als:

${displaystyle f'(x)={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)={frac {mathrm {d} f(x)}{mathrm {d} x}}}$

Eine äquivalente Definition, die leichter auf Funktionen mit mehr Variablen verallgemeinert werden kann, ist die folgende:

Wenn es eine reelle Zahl gibt ${Anzeigestil L}$ und eine Funktion ${displaystyle r}$ existieren, damit für alle ${displaystyle h}$ gilt

${Anzeigestil f(a h)=f(a) Lcdot h r(h)}$

und zusätzlich ${displaystyle lim _{h o 0}{frac {r(h)}{h}}=0}$, dann ist ${Anzeigestil L}$ die Ableitung von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$.

Weitere Variablen

Eine Funktion ${displaystyle f}$ bei mehreren Variablen ist es möglich, nach jeder der Variablen separat zu differenzieren. EIN partielle Ableitung von ${displaystyle f}$ ist dann eine Ableitung von ${displaystyle f}$, wobei nur eine Variable ihre Ableitung hat und die anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden. Das Richtungsableitung erweitert dies auf jeden Einheitsvektor.

Ableitungen elementarer Funktionen

• Die Ableitung der konstanten Funktion ${Anzeigestil f(x)=c}$ (konstant) ist:

${displaystyle f'(x)=lim_{h o 0}{frac {f(x h)-f(x)}{h}}=lim_{h o 0}{frac {c-c}{h}}=0}$

• Die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=x}$ ist:

${displaystyle f'(x)=lim _{ho 0}{frac {f(xh)-f(x)}{h}}=lim _{ho 0}{frac {x hx}{h}}=lim _{ho 0}{frac {h}{h}}=1}$

• Die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=x^{2}}$ ist:

${displaystyle f'(x)=lim_{ho 0}{frac {f(xh)-f(x)}{h}}=lim _{ho 0}{frac {(xh)^{2}-x ^{2}}{h}}=}$

${displaystyle =lim _{ho 0}{frac {x^{2} 2xh h^{2}-x^{2}}{h}}=lim _{ho 0}{frac {2xh h^{2} }{h}}=lim _{ho 0}(2x h)=2x}$

• Die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=x^{n}}$ vor dem natürlich${Anzeigestil n>1}$:

${displaystyle f(xh)=(xh)^{n}=x^{n} nhx^{n-1} r(x,h)=f(x) hnx^{n-1} r(x,h )}$

mit

${displaystyle lim _{h o 0}{frac {r(x,h)}{h}}=0}$,

So:

${displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}$

Vor dem ${Anzeigestil n=1}$ obige Ableitung gilt nicht für ${Anzeigestil x=0}$, weil ${Anzeigestil 0^{0}}$ ist nicht definiert. Folglich gilt die obige Formel für die Ableitung von ${Displaystil x^{n}}$ vor dem ${Anzeigestil n>1}$. Die Formel kann gültig gemacht werden durch die Vereinbarung, dass hier gelten wird, dass 0⁰ = 1.

• Die Regel für die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=x^{n}}$ in welchem ${displaystyle nin mathbb {N} _{0}}$, kann erweitert werden auf ${Anzeigestil f(x)=x^{z}}$ in welchem ${displaystyle-Satz mathbb {Z}_{0}}$ (ein gerade Zahl anders als 0).

Die Ableitung von ${displaystyle f(x)={frac {1}{x}}=x^{-1}}$ ist:

${displaystyle f'(x)=-1cdot x^{-1-1}=-x^{-2}={frac {-1}{x^{2}}}}$

• Die Regel kann noch weiter ausgebaut werden auf ${Anzeigestil f(x)=x^{q}}$ in welchem ${displaystyle qin mathbb {Q}_{0}}$ (ein Rationale Zahl anders als 0).

Die Ableitung von ${displaystyle f(x)={sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}$ ist:

${displaystyle f'(x)={ frac {1}{2}}x^{{frac {1}{2}}-1}={ frac {1}{2}}x^{-{frac {1 }{2}}}={ frac {1}{2{sqrt {x}}}}}}$

• Die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=e^{x}}$

${displaystyle f(xh)=e^{xh}=e^{x}(1 h { frac {1}{2}}h^{2} ldots )=f(x) he^{x} r(x ,h)}$

mit

${displaystyle lim _{h o 0}{frac {r(x,h)}{h}}=0}$,

So:

${displaystyle f'(x)=e^{x}}$

• Diese Regel erlaubt eine weitere Ableitung für die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=x^{a}}$ mit ${displaystyle ain mathbb {R} }$, dafür ${displaystyle xeq 0}$ gilt:

${displaystyle f'(x)=e^{alog(x)}alog '(x)=a,x^{a}{frac {1}{x}}=a,x^{a-1}}$

• Die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)=ln(x)}$, das natürlicher Logarithmus

Diese Ableitung ist schwieriger als die drei oben und erfordert universitäre Kenntnisse in Bezug auf Kontinuität und der e-power. Später in diesem Artikel ist eine glatte, elegante Ableitung über die Kettenregel.

Benennen Sie zur Notation: ${Anzeigestil 1/h=q}$.

${displaystyle lim _{hdownarrow 0}{frac {ln(xh)-ln(x)}{h}}=lim _{hdownarrow 0}{ frac {1}{h}}ln left({frac {xh}{ x}}Nacht)=}$

${displaystyle =lim _{qo infty }qln left(1 { frac {1}{qx}}ight)=lim _{qo infty }ln left(left(1 { frac {1}{qx}}ight)^{ q}acht)=}$

(Verwenden Sie die logarithmische Kontinuität, um Grenzwert und Logarithmus zu tauschen)

${displaystyle =ln left(lim _{q o infty }left(1 { frac {1}{qx}}ight)^{q}ight)}$

${displaystyle =ln left(lim _{q o infty }left(1 { frac {1}{qx}}ight)^{qx}ight)^{frac {1}{x}}}$

(Verwenden Sie eine E-Power-Charakterisierung)

${displaystyle =ln left(e^{frac {1}{x}}ight)={frac {1}{x}}}$

Analog:

${displaystyle lim _{huparrow 0}{frac {ln(xh)-ln(x)}{h}}=lim _{huparrow 0}{ frac {1}{h}}ln left({frac {xh}{ x}}Nacht)=}$

${displaystyle =lim _{q o {-infty }}qln left(1 { frac {1}{qx}}ight)=lim _{|q| o infty }ln left(left(1-{ frac {1}{|q|x}}ight)^{-|q|}ight)={frac {1}{x}}}$

Da linke und rechte Grenze gleich sind,

${displaystyle f'(x)={frac {1}{x}}}$

• Derivate von trigonometrische Funktionen nach folgenden Rechenregeln:

Die Ableitung der Ableitung des Sinus basiert auf der verwendeten Definition, beispielsweise der Reihendefinition.

${Anzeigestil sin'(x)=cos(x)}$

${displaystyle cos '(x)=(sin({ frac {pi}{2}}-x))'=sin '({ frac {pi}{2}}-x)({ frac {pi}{2} }-x)'=cos({ frac {pi}{2}}-x)(-1)=-sin(x)}$

${displaystyle an '(x)={frac {sin '(x)cos(x)-sin(x)cos '(x)}{cos ^{2}(x)}}={frac {cos ^{2 }(x) sin ^{2}(x)}{cos ^{2}(x)}}={frac {1}{cos ^{2}(x)}}}$

${displaystyle bett '(x)={frac {cos '(x)sin(x)-cos(x)sin '(x)}{sin ^{2}(x)}}={frac {-(sin ^ {2}(x) cos ^{2}(x))}{sin ^{2}(x)}}={frac {-1}{sin ^{2}(x)}}}$

• Derivate von Zyklometrische Funktionen

${displaystyle arcsin'(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

${displaystyle arccos'(x)={frac {-1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

${displaystyle arctan '(x)={frac {1}{1x^{2}}}}$

${displaystyle operatorname {arccot} '(x)={frac {-1}{1 x^{2}}}}$

• Derivate von hyperbolische Funktionen

${displaystyle sinh '(x)=cosh(x)}$

${displaystyle cosh '(x)=sinh(x)}$

Berechnungsregeln

• Linearität:

${Anzeigestil (af)'(x)=af'(x)}$

• Summenregel:

${Anzeigestil (f g)'(x)=f'(x) g'(x)}$

• Produktreihe:

${Anzeigestil (fcdot g)'(x)=f'(x)g(x) g'(x)f(x)}$

• Quotientenregel:

${displaystyle left({frac {f}{g}}ight)'(x)={frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{ 2}}}}$

• Kettenregel:

${Anzeigestil (fcirc g)'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)}$

• Ableitung von invers Funktion:

${displaystyle (f^{-1})'(x)={frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}$

Anwendung der Berechnungsregeln

Mit den Rechenregeln lässt sich für die Ableitung des Logarithmus eine einfachere Herleitung geben. Der Logarithmus ist die Umkehrung der e-Potenz, also:

${displaystyle 1=x'=left(e^{ln(x)}ight)'=e^{ln(x)}ln '(x)=xln '(x)}$

So:

${displaystyle ln'(x)={frac {1}{x}}}$.

Wir finden auch die Regel für die Quadratwurzel:

${displaystyle left({sqrt {f}}ight)'={frac {f'}{2{sqrt {f}}}}}$ unter der Vorraussetzung, dass ${Anzeigestil f(x)>0}$.

Mit der Kettenregel kann die Ableitung von auch ${Anzeigestil f(x)=a^{x}}$ bestimmt werden, nämlich

${displaystyle f(x)=a^{x}=e^{ln(a^{x})}=e^{x{ln(a)}}}$,

und somit:

${displaystyle f'(x)=e^{x{ln(a)}}{ln(a)}=a^{x}{ln(a)}}$

Nicht differenzierbar

Die Funktion ${Anzeigestil f(x)=|x|}$ ist im Punkt 0 stetig, aber dort nicht differenzierbar. Das ist weil:

${displaystyle lim _{hdownarrow 0}{frac {f(h)-f(0)}{h}}=lim _{hdownarrow 0}{frac {h}{h}}=1}$

und

${displaystyle lim _{huparrow 0}{frac {f(h)-f(0)}{h}}=lim _{huparrow 0}{frac {-h}{h}}=-1}$

Die linke und rechte Grenze sind ungleich. Dies ist auch in der Form des Funktionsgraphen deutlich sichtbar.

Die Funktion signum oder "das Zeichen" von ${Anzeigestil x}$:

${displaystyle f(x)=operatorname {sgn}(x)={ egin{cases}-1&{mbox{if }}x<0/0&{mbox{if }}x=0/1&{mbox{if }} x>0end{cases}}}$

ist im Punkt 0 nicht stetig und daher dort nicht differenzierbar. Es gilt:

${displaystyle lim _{hdownarrow 0}{frac {f(h)-f(0)}{h}}=lim _{hdownarrow 0}{frac {1-0}{h}}=infty }$

und

${displaystyle lim _{huparrow 0}{frac {f(h)-f(0)}{h}}=lim _{huparrow 0}{frac {-1-0}{h}}=infty }$

Funktionen von mehr als einer Variablen

Wenn die Funktion ${displaystyle f}$ von mehr als einer Variablen abhängt, kann man allen bis auf eine Variable einen konstanten Wert geben und die Ableitung in Bezug auf die eine verbleibende Variable untersuchen. Diese Ableitungen heißen partielle Ableitungen.

Der Artikel Unterscheidbarkeit diskutiert, wie die Ableitung einer Funktion von ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ kann verstanden werden als Matrix.

Derivate höherer Ordnung

Ist von einer Funktion ${displaystyle f}$ Die Ableitung ${displaystyle f^{prime }}$ auch differenzierbar, dann kann man die Ableitung ${displaystyle f''=(f')'}$ zu entscheiden. Dies nennt man die Ableitung zweiter Ordnung oder einfach zweite Ableitung von ${displaystyle f}$. Noch höhere Ableitungen treten auf. Das ${displaystyle n}$-die Ableitung von ${displaystyle f}$ wird, falls vorhanden, mit . bezeichnet ${Anzeigestil f^{(n)}}$, oder wenn ${displaystyle f}$ ist eine Funktion der Variablen ${Anzeigestil x}$ ebenso wie:

${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{n}f}{mathrm {d} x^{n}}}}$, oder ${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{n}f(x)}{mathrm {d} x^{n}}}}$

Die höheren Ableitungen einer Funktion ${Anzeigestil y=f(x)}$ kann aus der Beziehung bestimmt werden

${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{n}y}{mathrm {d} x^{n}}}=lim _{ho 0}{frac {displaystyle sum _{k=0}^{n}( -1)^{k}{ inom {n}{k}}f(x kh)}{h^{n}}}}$

Fraktionierte Derivate

Es ist auch möglich, Ableitungen nicht ganzzahliger Ordnung zu definieren, zum Beispiel von Ordnung ${displaystyle p=1{,}5}$. Diese haben mit Integralen gemeinsam, dass ihr Wert sowohl von einer oberen als auch einer unteren Schranke abhängt. Dies ist bei Ableitungen ganzer Ordnung nicht der Fall. Eine der Möglichkeiten, eine solche fraktionale Ableitung zu bestimmen, besteht darin, zuerst eine Funktion zu Fourier-Transformation unterdrücken, dann mit der Frequenz multiplizieren ${Anzeigestil Omega}$ hoch ${displaystyle p}$, und wandeln Sie es dann zurück.

Anwendungen

Die Ableitung findet wichtige Anwendungen in der Mathematik. Also kann a maximal oder Minimum einer Funktion lässt sich durch die Ableitung ermitteln. Wenn eine Funktion für ein bestimmtes ${Anzeigestil x}$Wert ein (lokales) Maximum oder ein (lokales) Minimum erreicht, dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt, falls vorhanden, gleich Null und schaltet die nächste ein ${Anzeigestil x}$-Vorzeichenwerte (wird positiv oder negativ). Um einen Funktionsgraphen von Hand zu zeichnen, ist es daher sinnvoll, zunächst die möglichen Maxima und Minima zu bestimmen. Um zu bestimmen, ob die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, Maxima oder Minima sind, Hessisch.

Eine Anwendung der zweiten Ableitung ist die folgende. Für den Fall, dass ${Anzeigestil x}$ ist ein Punkt, für den es gilt, dass ${Anzeigestil f'(x)=0}$, dann ist der Punkt ${Anzeigestil x}$ ein Wendepunkt, ein lokales Maximum oder lokales Minimum. Diese drei Fälle können nach Wert unterschieden werden ${displaystyle f''(x)}$ der zweiten Ableitung im Punkt ${Anzeigestil x}$ schauen. wenn ${displaystyle f''(x)<0}$, gibt es ein lokales Maximum, und wenn ${Anzeigestil f''(x)>0}$, gibt es ein lokales Minimum. Ist ${Anzeigestil f''(x)=0}$, dann ist der Verlauf der zweiten Ableitung in einer Umgebung von ${Anzeigestil x}$ eine Aussage treffen zu können (Wendepunkt, lokales Maximum, lokales Minimum).

Das Derivat hat auch viele Anwendungen in der Physik. Zum Beispiel die Geschwindigkeit die Ableitung bei der Berechnung des Ortes als Funktion der Zeit. Das Beschleunigung ist (bei einer geradlinigen Bewegung) dann wieder die Ableitung der Geschwindigkeit.

Auch innerhalb der Wirtschaft das Derivat hat verschiedene Anwendungen, sicherlich seit dem sogenannten "marginale Revolution" innerhalb der Wirtschaftswissenschaften. Über die Ableitung können wir Konzepte wie Grenzerlös und Grenzkosten berechnen. In diesen Fällen ist es die Ableitung des Gesamtumsatzes und der Gesamtkosten.

Häufig verwendete Derivate

• Liste der Derivate

Webseiten

• Scienceforum.nl, Differenzierender Minikurs.

Wikibooks hat mehr zu diesem Thema: Einleitung ableiten.