WikiDer > Стойкая гомология

Persistent homology
Видеть гомология для введения в обозначения.

Стойкая гомология представляет собой метод вычисления топологических характеристик пространства с различным пространственным разрешением. Более стойкие особенности обнаруживаются в широком диапазоне пространственных масштабов и, как считается, с большей вероятностью представляют истинные особенности нижележащего пространства, а не артефакты выборки, шума или конкретного выбора параметров.[1]

Чтобы найти устойчивую гомологию пространства, его сначала нужно представить как симплициальный комплекс. Функция расстояния в нижележащем пространстве соответствует фильтрация симплициального комплекса, который представляет собой вложенную последовательность возрастающих подмножеств.

Определение

Формально рассмотрим вещественную функцию на симплициальном комплексе который не убывает при увеличении последовательности граней, поэтому в любое время это лицо в . Тогда для каждого то подуровневый набор является подкомплексом K, а порядок значений на симплексах в (который на практике всегда конечен) индуцирует порядок на подуровневых комплексах, который определяет фильтрацию

Когда , включение вызывает гомоморфизм на симплициальные гомологии группы для каждого измерения . В стойкие группы гомологии являются образами этих гомоморфизмов, а настойчивый Бетти числа являются разряды этих групп.[2] Постоянные числа Бетти для совпадают с функция размера, предшественник стойкой гомологии.[3]

Любой фильтруемый комплекс над полем линейным преобразованием, сохраняющим фильтрацию, можно привести к так называемому каноническая форма, канонически определенная прямая сумма фильтрованных комплексов двух типов: одномерные комплексы с тривиальным дифференциалом и двумерные комплексы с тривиальными гомологиями .[4]

А модуль постоянства через частично заказанный набор это набор векторных пространств проиндексировано , с линейной картой в любое время , с равно тождеству и за . Точно так же мы можем рассматривать его как функтор из рассматривается как категория к категории векторных пространств (или -модули). Существует классификация модулей сохранения над полем проиндексировано :

Умножение на соответствует переходу на один шаг вперед в модуле постоянства. Интуитивно понятно, что свободные части в правой части соответствуют генераторам гомологий, которые появляются на уровне фильтрации и никогда не исчезнут, а торсионные части соответствуют тем, которые появляются на уровне фильтрации и последний для ступени фильтрации (или, что то же самое, исчезают на уровне фильтрации ).[5] [4]

Каждая из этих двух теорем позволяет однозначно представить стойкие гомологии фильтрованного симплициального комплекса с штрих-код или же диаграмма устойчивости. Штрих-код представляет каждый постоянный генератор с горизонтальной линией, начинающейся на первом уровне фильтрации, где он появляется, и заканчивающейся на уровне фильтрации, где он исчезает, в то время как диаграмма постоянства отображает точку для каждого генератора с его координатой x, временем рождения и его Координата по оси Y время смерти. Эквивалентно те же данные представлены уравнением Баранникова. каноническая форма[4], где каждый генератор представлен отрезком, соединяющим значения рождения и смерти, нанесенные на отдельные линии для каждого .

Стабильность

Стойкая гомология стабильна в точном смысле, что обеспечивает устойчивость к шуму. На пространстве диаграмм постоянства существует естественная метрика:

называется расстояние до узкого места. Небольшое возмущение входной фильтрации приводит к небольшому возмущению ее диаграммы устойчивости на расстоянии узкого места. Для конкретности рассмотрим фильтрацию на пространстве гомеоморфен симплициальному комплексу, определяемому множествами подуровней непрерывной ручной функции . Карта принимая к диаграмме стойкости его -я гомологии 1-липшицевы относительно -метрика функций и расстояние до узких мест на диаграммах устойчивости. . [6]

Вычисление

Существуют различные программные пакеты для вычисления интервалов сохранения конечной фильтрации. [7] . Основной алгоритм основан на доведении отфильтрованного комплекса до его состояния. каноническая форма верхнетреугольными матрицами[4].

Пакет программного обеспеченияСоздательПоследний релизДата выходаЛицензия на программное обеспечение[8]Открытый исходный кодЯзык программированияФункции
OpenPHРодриго Мендоса-Смит, Джаред Таннер0.0.125 апреля 2019 г.Apache 2.0даMatlab, CUDA
javaPlexЭндрю Тауш, Микаэль Вейдемо-Йоханссон, Генри Адамс4.2.514 марта 2016 г.ОбычайдаЯва, Matlab
ДионисДмитрий Морозов2.0.824 ноября 2020 г. Модифицированный BSDдаC ++, Python привязки
ПерсейВидит Нанда4.0 бетаGPLдаC ++
PHAT [9]Ульрих Бауэр, Майкл Кербер, Ян Рейнингхаус1.4.1даC ++
ДИФАЯн РейнингхаусдаC ++
Гудхи [10]INRIA3.0.023 сентября 2019 г.GPLv3даC ++, Python привязки
CTLРайан Льюис0.2BSDдаC ++
PhomЭндрю Таушдар
TDAБриттани Т. Фаси, Джису Ким, Фабрицио Леччи, Клемент Мария, Винсент Рувро1.516 июня 2016 г.дар
ЭйренГрегори Хенсельман1.0.19 марта 2019 г.GPLv3даЮля
RipserУльрих Бауэр1.0.115 сентября 2016 г.Массачусетский технологический институтдаC ++
набор инструментов топологииЖюльен Тьерни, Гийом Фавелье, Джошуа Левин, Шарль Гёне, Мишель Мишо0.9.829 июля 2019 г.BSDдаC ++, VTK и Python привязки
libstickСтефан Хубер0.227 ноября 2014 г.Массачусетский технологический институтдаC ++
Рипсер ++Саймон Чжан, Мэнбай Сяо и Хао Ван1.0Март 2020 г.Массачусетский технологический институтдаCUDA, C ++, Python привязкиGPU ускорение

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Карлссон, Гуннар (2009). "Топология и данные". Бюллетень AMS 46(2), 255–308.
  2. ^ Эдельсбруннер, Х. и Харер, Дж. (2010). Вычислительная топология: введение. Американское математическое общество.
  3. ^ Верри, А., Урас, К., Фрозини, П. и Ферри, М. (1993). Об использовании функций размера для анализа формы, Биологическая кибернетика, 70, 99–107.
  4. ^ а б c d Баранников, Сергей (1994). «Обрамленный комплекс Морса и его инварианты». Успехи советской математики. 21: 93–115.
  5. ^ Зомородян, Афра; Карлссон, Гуннар (19 ноября 2004 г.). «Вычисление стойких гомологий». Дискретная и вычислительная геометрия. 33 (2): 249–274. Дои:10.1007 / s00454-004-1146-у. ISSN 0179-5376.
  6. ^ Коэн-Штайнер, Дэвид; Эдельсбруннер, Герберт; Харер, Джон (12 декабря 2006 г.). «Диаграммы устойчивости». Дискретная и вычислительная геометрия. 37 (1): 103–120. Дои:10.1007 / s00454-006-1276-5. ISSN 0179-5376.
  7. ^ Выдра, Нина; Портер, Мейсон А; Тилльманн, Ульрике; и другие. (2017-08-09). «Дорожная карта для вычисления устойчивой гомологии». EPJ Data Science. Springer. 6 (1): 17. Дои:10.1140 / epjds / s13688-017-0109-5. ISSN 2193-1127.
  8. ^ Лицензии здесь представляют собой краткое изложение и не считаются полными заявлениями о лицензиях. Некоторые пакеты могут использовать библиотеки под разными лицензиями.
  9. ^ Бауэр, Ульрих; Кербер, Майкл; Райнингхаус, Ян; Вагнер, Хуберт (2014). «PHAT - Набор инструментов для устойчивых гомологических алгоритмов». Математическое программное обеспечение - ICMS 2014. Springer Berlin Heidelberg. С. 137–143. Дои:10.1007/978-3-662-44199-2_24. ISBN 978-3-662-44198-5. ISSN 0302-9743.
  10. ^ Мария, Клеман; Буассонна, Жан-Даниэль; Глисс, Марк; и другие. (2014). "Библиотека Гудхи: симплициальные комплексы и постоянные гомологии". Математическое программное обеспечение - ICMS 2014. Берлин, Гейдельберг: Springer. С. 167–174. Дои:10.1007/978-3-662-44199-2_28. ISBN 978-3-662-44198-5. ISSN 0302-9743.