WikiDer > Plateaukurve

In der Mathematik ist die Plateaukurven einer nach drei Real Parameter parametrisierte Familie Kurven, die eine Vielzahl von Formen zeigt. Die Kurven sind nach dem Belgier benannt Natur- und MathematikerJoseph Plateau.

Definition

Die Plateaukurve für die Parameter ${displaystyle n,m,ain mathbb {R} }$ wird für ${displaystyle tin [-infty , infty ]}$ gegeben von:

${displaystyle x(t)=a,{frac {sin(m n)t}{sin(m-n)t}}}$

${displaystyle y(t)=a,{frac {sin(mt)cdot sin(nt)}{sin(m-n)t}}}$

Vereinfachung

Die Untersuchung der möglichen Formen kann durch die Einschränkung der möglichen Werte der Parameter stark vereinfacht werden, ohne mögliche Formen zu verlieren.

• Der Parameter ${Anzeigestil a}$ ist ein Skalierungsfaktor, der die Figur größer oder kleiner macht, aber die Form selbst nicht verändert. Es kann also gleich 1 genommen werden.
• Weisen darauf hin ${displaystyle m}$ ein Wert wird ausgewählt. Dann ist die Variable

${displaystyle s=mcdot t}$

auch der Bereich von minus bis plus unendlich, so dass die gleiche Zahl erhalten wird wie wenn eins ${displaystyle t}$ als Variable verwendet. Die Gleichungen werden jetzt jedoch:

${displaystyle x(s)={frac {sin(1 n/m)s}{sin(1-n/m)s}};vierfach y(s)={frac {sin(s)cdot sin(n/ m,s)}{sin(1-n/m)s}}}$

mit ${displaystyle sin [-infty , infty ]}$

In diesem Ausdruck kommt nur das Verhältnis ${Anzeigestil n/m}$ für die durch einen neuen Parameter ersetzt werden kann ${displaystyle k:}$

${displaystyle x(s)={frac {sin(1 k)s}{sin(1-k)s}};vierfach y(s)={frac {sin(s){dot {sin(}}ks) }{sin(1-k)s}}}$

mit ${displaystyle sin [-infty , infty ]}$

• Schließlich kann gezeigt werden, dass wenn ${displaystyle k}$ wird ersetzt durch ${Anzeigestil 1/k,}$ die Figur wird gegenüber dem Ursprung (0,0) gespiegelt, ändert aber ihre Form nicht.

Zusammenfassend genügt es, diese letzten Formeln zu untersuchen, und dies nur für Werte von ${displaystyle k}$ liegt zwischen −1 und 1. Wenn nun wieder der Name ${displaystyle t}$ wird für die Variable verwendet, die schließlich zu:

${displaystyle x(t)={frac {sin(1 k)t}{sin(1-k)t}};vierfach y(t)={frac {sin(t)cdot sin(kt)}{sin( 1-k)t}}}$

mit ${displaystyle tin [-infty , infty ]}$ und ${displaystyle kin [-1, 1]}$

Da die Gleichungen vollständig aus Produkten und Divisionen periodischer Funktionen (Sinus) bestehen, ist auch jede Plateau-Kurve selbst periodisch, wobei die Periode auf keinen Fall größer ist als das Produkt der einzelnen Perioden. Der Gesamtzeitraum ${Anzeigestil P}$ ist also höchstens:

${displaystyle Pleq {frac {2pi }{1-k}}cdot {frac {2pi }{1k}}cdot {frac {2pi }{k}}cdot 2pi ={frac {16pi ^{4}}{(1 - k^{2})k}}}$

Dieser Wert ist ein absolutes Maximum. In vielen Fällen, insbesondere wenn der Wert ${displaystyle k}$ rational ist, kann der tatsächliche Zeitraum deutlich kürzer sein.

Jede Plateau-Kurve hat auch eine Symmetrie gegenüber der x-Achse. Dies liegt daran, wenn ${displaystyle t}$ wird ersetzt durch ${displaystyle -t,}$ die x-Komponente bleibt gleich, aber die y-Komponente ändert das Vorzeichen. Somit kann eine Untersuchung einer Plateau-Kurve durch den kombinierten Effekt von Symmetrie und Periodizität auf ein Intervall beschränkt werden ${Anzeigestil [0,P/2]}$ um alle Eigenschaften der Kurve zu entdecken. Ein vollständiges Diagramm erfordert eine Domain ${Anzeigestil [-P/2,P/2]}$ oder ${Anzeigestil [0,P].}$

Mögliche Formen

Vier Plateaukurven für rationale Werte ${Anzeigestil k=n/m}$ von 1/5 bis 4,5. Vor dem${Anzeigestil k=4/5}$ die Kurve besteht aus vier Schleifen. Als Nenner ${displaystyle n}$ von 4 auf 1 fällt, werden die Schleifen gegen Asymptoten ausgetauscht.

Die möglichen Werte des einzigen verbleibenden Parameters ${displaystyle k}$ kann auf das Intervall beschränkt werden:

${displaystyle kin [-1,1)}$

Die rechte Grenze dieses Intervalls (${Anzeigestil k=1}$) kann ausgeschlossen werden, da dies zu einer Division durch Null führen würde. Einige besondere Werte sind:

• ${displaystyle k=1/2}$: dann vereinfacht sich die Plateau-Kurve zu einem Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt (1.0).

${Anzeigestil (x-1)^{2} y^{2}=4}$

• ${Anzeigestil k=-1/2}$: dann wird die Plateau-Kurve zu einer Hyperbel mit der parametrischen Gleichung:

${displaystyle x(t)=-{ frac {1}{3}}pm { frac {2}{3}}cosh(t);quad y(t)={ frac {2}{3}}{sqrt { 3}},sinh(t)}$

• ${Anzeigestil k=0}$: für den Fall, dass ${displaystyle k}$ gegen Null geht, nähert sich die Plateau-Kurve einer Geraden, nämlich der x-Achse.
• ${Anzeigestil k=-1}$: für den Fall, dass ${displaystyle k}$ Bei Annäherung an −1 nähert sich die Plateaukurve einigen sich schneidenden Linien, nämlich den beiden Koordinatenachsen.

Außerdem kann man auch überprüfen, wie sich die Kurve für rationale Werte von entwickelt ${Anzeigestil k=n/m.}$ gesehen ${displaystyle k}$ kleiner als 1 ist, im absoluten Wert der Zähler ${displaystyle n}$ dann nimm Werte von 1 bis ${Anzeigestil m-1.}$ Dies setzt voraus, dass der Bruch ${Anzeigestil n/m}$ Maximum wird vereinfacht, indem Zähler und Nenner durch einen gleichen Faktor geteilt werden. Dann für Nenner ${Anzeigestil m>2:}$

• Für positive rationale Werte ${Anzeigestil k=n/m}$ die Kurve besteht aus einer Reihe von Schleifen im Ursprung plus möglicherweise einer Reihe von Asymptotenpaaren. Die Anzahl der Schleifen ist gleich dem Zähler ${displaystyle n,}$ und ist daher maximal, wenn ${Anzeigestil n=m-1.}$ Wann immer ${displaystyle n}$ um 1 verringert wird, verschwindet eine Schleife, aber ein paar Asymptoten ersetzen sie. Zum Beispiel für ${Anzeigestil k=3/4}$ die Kurve enthält drei Schleifen, aber für ${displaystyle k=1/4}$ eine Schleife und zwei Asymptotenpaare.
• für negative rationale Werte ${Anzeigestil k=-n/m}$ die Kurve besteht aus einer Reihe von Hyperbeln. Diese Zahl ist gleich ${Anzeigestil n m-1,}$ immer noch von einem maximal vereinfachten Bruch n/m ausgehen.