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Das reale Nummern sind die Zahlen, die eindeutig entsprechen Punkte auf einen Gerade. Diese Linie wird zur Zahlenachse, Zahlenreihe, genannter Zahlenstrahl oder realer Strich. Auf diese Weise können wir intuitiv Sammlung der reellen Zahlen, die geschrieben wird als ${displaystyle mathbb {R} }$ und manchmal ist es Kontinuum heißt, vorzuschlagen.

Die Sammlung ${displaystyle mathbb {R} }$ besteht aus der Begründung und dem irrationale Zahlen. Ein Beispiel für eine irrationale Zahl ist die Zahl ${displaystyle {sqrt {2}}}$ (das Quadratwurzel von zwei). Ein weiteres Beispiel ist die Zahl (Pi), was nicht nur irrational, sondern sogar a transzendente Zahl. Der Beweis, dass irrationale Zahlen existieren, führte zu der Notwendigkeit, die Menge der rationalen Zahlen zu erweitern.

Rationale Zahlen, außer als gewöhnlich Fraktur, auch geschrieben werden als Dezimalbruch, mit endlich vielen Nachkommastellen, oder wenn sich wiederholender Bruch mit unendlich vielen sich wiederholenden Dezimalstellen. EIN irrationale Zahl kann wegen der unten genannten Eigenschaft das ${displaystyle mathbb {R} }$ völlig wird durch eine rationale Zahl beliebig stark angenähert und daher mit beliebiger Genauigkeit als Dezimalbruch geschrieben. Damit ist eine (abstrakte) Darstellung der reellen Zahlen als Dezimalbrüche möglich, bei den irrationalen Zahlen unendlich viele Nachkommastellen. Auf diese Weise wissen wir genau, was die Zahlen sind ${displaystyle {sqrt {2}}}$ und ${Anzeigestil pi}$ sind, aber von ihrer dezimalen Darstellung kennen wir natürlich nur endlich viele Dezimalstellen.

Die Menge der reellen Zahlen kann mit dem mathematische Operationen Zusatz und Multiplikation einen machen Körper (Niederländischer Begriff) oder Feld (Be. Begriff). Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass man mit den Zahlen in naheliegender Weise rechnen kann (z.B. ${displaystyle pi 145=145 pi }$ ).

Es gibt Polynomgleichungen in einem Variable, wie quadratische Gleichung ${Anzeigestil x^{2} 1=0}$ , die keine (echte) Lösungen entweder haben irreduzibel (nicht reduzierbar). Es wird gesagt, dass der Körper ${displaystyle mathbb {R} }$ nicht algebraisch geschlossen ist. Es gibt jedoch eine Verlängerung von ${displaystyle mathbb {R} }$ , nämlich die komplexe Zahlen ${displaystyle mathbb {C} }$ , in denen jeder algebraische Gleichung hat eine Lösung.

Das Absolutwert ${Anzeigestil |a|}$ einer reellen Zahl ${Anzeigestil a}$ ist diese Zahl selbst, wenn nicht negativ, oder sei anders Gegenteil ${displaystyle -a}$ . Der Absolutwert ist a Norm auf ${displaystyle mathbb {R} }$ , also die Funktion ${Anzeigestil d(x,y)=|x-y|}$ bestimmt eine Distanzfunktion oder metrisch auf ${displaystyle mathbb {R} }$ . Wenn der metrische Raum ist ${displaystyle mathbb {R} }$ völlig.

Formelle Einleitung

Reelle Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Die Eigenschaften der ganzen und rationalen Zahlen lassen sich ganz direkt aus denen der natürlichen Zahlen ableiten, und ebenso leicht lässt sich zeigen, dass die Definitionen der Addition und Multiplikation innerhalb dieser Mengen denen der natürlichen Zahlen entsprechen. Bei den irrationalen Zahlen, die sich nicht in rationalen, geschweige denn ganzen Zahlen ausdrücken lassen, ist es nicht so einfach. Um sicherzustellen, dass die Regeln für irrationale Zahlen die gleichen sind wie für rationale (und damit ganzzahlige) Zahlen, werden die Zahlen in Reihen von schrumpfenden Intervallen mit rationalen Zahlen als Grenzen eingeschlossen. Für die Zahl ${displaystyle {sqrt {2}}}$ wird das die reihe sein

[1; 2], denn nach dem Quadrieren erscheint 1 < 2 < 4

[1.4; 1,5], weil 1,96 < 2 < 2,25

[1.41; 1,42], weil 1,9881 < 2 < 2,0164 usw.

Auf diese Weise kann auch die Summe oder das Produkt zweier irrationaler Zahlen zwischen rationalen Zahlen eingeschlossen werden, deren Eigenschaften bewiesen sind.

Eine andere, äquivalente Definition der reellen Zahlen beruht auf der folgenden Idee: Betrachten Sie Reihen von Rationale Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Elemente in der Reihe "beliebig dicht beieinander" sind. Ein Beispiel ist die Reihe 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, ... : der "Abstand" zwischen den Zahlen weiter unten in der Reihe wird immer kleiner, noch kleiner als jede kleine positive rationale Zahl. Solche Zeilen heißen kauzige Reihen. Für eine solche Folge kann man eine reelle Zahl finden, wo diese Folge "hingeht" (1 im Beispiel): die Grenzwert. Formal heißt es, dass die Zeile konvergiert auf die Zahl 1. Man kann zeigen, dass eine Zahlenfolge eine Cauchy-Folge ist, ohne berechnen zu müssen, gegen welche Zahl die Folge konvergiert, egal ob diese Grenze rational oder irrational ist. Dies ermöglicht es, eine rationale und insbesondere eine irrationale Zahl als Grenzwert einer Cauchy-Folge zu definieren. Die Summe und das Produkt der Cauchy-Reihen sind auch Cauchy-Reihen. Die reellen Zahlen werden dann als die Menge aller möglichen (sowohl rationalen als auch nicht-rationalen) Grenzen solcher Cauchy-Folgen definiert.

Konstruktion aus den rationalen Zahlen

Die reellen Zahlen lassen sich als Verallgemeinerung der Rationale Zahlen. Zuerst wird es sein Karl Weierstraße wer hat die reellen Zahlen mit Bounded . definiert Reihen positiver rationaler Zahlen.

Gängige Konstruktionen sind:

Schnitt von Dedekind: Eine reelle Zahl wird zu Dedekind definiert als die höchste von oben nach oben Teilmenge Rationale Zahlen.
wenn Äquivalenzklassen von kauzige Reihen. Diese Konstruktion stammt von George Cantor. Er definierte eine reelle Zahl als Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen, wobei zwei Folgen äquivalent sind, wenn ihre Differenz gegen 0 konvergiert.
Durch Intervallschaltung. Eine reelle Zahl ist definiert als Äquivalenzklasse von geschaltet Intervalle der rationalen Zahlen.

Die drei obigen Konstruktionen führen weiter Isomorphismus nach, zur gleichen Struktur.

axiomatisch

Die reellen Zahlen lassen sich auch axiomatisch charakterisieren. Sie sind die einzigen voll bestellt Körper (NL).

Kardinalität

sehen Kardinalität für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Es gibt unendlich viele verschiedene reelle Zahlen, sogar mehr als es gibt natürliche Zahlen sein. Die natürlichen Zahlen sind jedoch zählbar in dem Sinne, dass man sich ein System so ausdenken kann, dass jede benennbare oder konstruierbare natürliche Zahl nach a endlich Schrittzahl erreicht wird. Dies gilt nicht für die reellen Zahlen, daher lautet ihr Wort: Kardinalität markiert mit unzählbar.

Durch in Übereinstimmung mit unseren Intuition Wenn man das Konzept der "definierbaren reellen Zahl" als reelle Zahl einführt, für die es eine Textdefinition von endlich vielen Buchstaben gibt, kann man sehen, dass fast alle reellen Zahlen undefinierbar sind. Schließlich ist die Definition eine Reihe von endlichen Saiten abzählbar unendlich, und somit sind die definierbaren reellen Zahlen abzählbar unendlich.

Teilmengen

Die Menge der streng positiven reellen Zahlen, also der reellen Zahlen größer Null, wird bezeichnet als ${displaystyle mathbb {R} ^{ }}$ oder in Belgien als ${displaystyle mathbb {R} _{0}^{ }}$ .
Die Menge der streng negativen reellen Zahlen, also der reellen Zahlen kleiner als Null, wird bezeichnet als ${displaystyle mathbb {R} ^{-}}$ oder in Belgien als ${displaystyle mathbb {R} _{0}^{-}}$ .

Geschichte

Einfach Brüche wurden von den alten verwendet Ägypter ab etwa 1000 v. benutzt. Das vedischSulba-Sutra: Die Regeln der Schnüre, ab etwa 600 v. enthält eine Beschreibung, die möglicherweise die erste Verwendung von . ist irrationale Zahlen kann gesehen werden. Das Konzept der Irrationalität wurde von früh eingeführt Indische Mathematiker, wie Manava, ca. 750-690 v. Chr., die wussten, dass die Möhren von bestimmten Zahlen, wie 2 und 61, konnte nicht genau bestimmt werden, implizit akzeptiert. Um 500 v. Chr. realisiert Griechische Mathematiker unter dem Einfluss von Pythagoras die Notwendigkeit irrationaler Zahlen, insbesondere die Irrationalität der √2.

In dem Mittelalter wurde Null, das Negativ und der Bruchzahlen eingeführt, zunächst in Indien und China, später aber auch in den Islamische Welt. Letztere waren auch die ersten, die irrationale Zahlen als algebraische Objekte behandelten.^[1] Möglich wurde dies durch die Entwicklung des Algebra. Arabische Mathematiker vereinten die Konzepte Nummer und Betrag zu den reellen Zahlen^[2] Der ägyptische Mathematiker Abu Kamil Shuja ibn Aslam, ca. 850-930, akzeptierte als erster irrationale Zahlen als Lösungen für quadratische Gleichungen oder wenn Koeffizienten in einem Gleichungen, oft in Form von Wurzeln, Würfelwurzeln und die vierte Potenz Wurzeln.

Im 16. Jahrhundert wurden die flämischen Simon Steven die Grundlage für die Dezimal Zahlen. Er machte deutlich, dass mit Dezimalzahlen rationale und irrationale Zahlen gleich geschrieben werden.

Eingeführt im 17. Jahrhundert René Descartes der Name reelle Zahlen zu den reellen Wurzeln von a Polynom von den imaginären Wurzeln.

Im 18. und 19. Jahrhundert wurde viel an der irrationalen und transzendente Zahlen. 1761 gab61 Johann Heinrich Lambert der erste fehlerhafte Beweis dafür, dass π keine rationale Zahl sein kann. Adrien-Marie Legendre, 1794, vervollständigte den Beweis und zeigte, dass π keine Quadratwurzel einer rationalen Zahl sein kann. Paolo Ruffinic, 1799, und Niels Henrik Abel, 1842, beide gebaut beweisen für die Satz von Abel-Ruffini, die besagt, dass der allgemeine Gleichung fünften Grades und Vergleiche von höheren Grad kann nicht durch eine allgemeine Formel gelöst werden, die nur Rechenoperationen und Wurzeln.

Evariste Galois entwickelte 1832 Techniken, um zu bestimmen, ob eine gegebene Gleichung mit Wurzeln geschrieben werden kann oder nicht. Die weitere Ausarbeitung seiner Ideen führte später zur Entwicklung des Galois-Theorie. Joseph Liouville, im Jahr 1840, zeigte, dass noch e Noch e² eine Wurzel einer ganzzahligen quadratischen Gleichung sein kann, dann stellte er die Existenz von fest. George Cantor, 1873, lieferte einen einfacheren Beweis für die Existenz transzendenter Zahlen. Charles Hermite, im Jahr 1873, war der erste, der dies bewies e ist transzendent und Ferdinand von Lindemann, zeigte 1882, dass π transzendent ist. Lindemanns Beweis wird später, 1885, stark unterstützt Karl Weierstraße vereinfacht und 1893 noch mehr durch David Hilbert. danach Adolf Hurwitz und Paul Gordon gab dem Beweis seine endgültige Form.

Die Entwicklung der Analyse im 18. Jahrhundert nutzte das volle Sammlung von reellen Zahlen, ohne sauber definiert zu sein. Die erste richtige Definition wurde 1871 von . gegeben George Cantor gegeben. 1874 zeigte er, dass die Menge aller reellen Zahlen unzählbar unendlich ist, aber dass die Menge aller algebraische Zahlen abzählbar unendlich. Er gab seine diagonaler Beweis 1891, hatte aber schon 1874 18 frühere Beweise veröffentlicht.

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑(und) MacTutor, "Arabische Mathematik: Vergessene Brillanz?", 1999.
↑(und) Matvievskaya, GalinaAnnalen der New Yorker Akademie der Wissenschaften, "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", 1987. Band = 500, S. 253–277 [254]

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Siehe die Kategorie reale Nummern von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.

[1] (und) MacTutor, "Arabische Mathematik: Vergessene Brillanz?", 1999.

[2] (und) Matvievskaya, GalinaAnnalen der New Yorker Akademie der Wissenschaften, "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", 1987. Band = 500, S. 253–277 [254]

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