WikiDer > Польское пространство

Polish space

В математической дисциплине общая топология, а Польское пространство это отделяемый полностью метризуемый топологическое пространство; то есть пространство гомеоморфный к полный метрическое пространство что есть счетный плотный подмножество. Польские пространства названы так потому, что они были впервые всесторонне изучены польскими топологами и логиками.Серпинский, Куратовски, Тарский и другие. Однако сегодня польские пространства в основном изучаются, потому что они являются основным местом для описательная теория множеств, включая изучение Борелевские отношения эквивалентности. Польские пространства также удобны для более продвинутых теория меры, в частности в теория вероятности.

Распространенными примерами польских пространств являются реальная линия, Любые отделяемый Банахово пространство, то Канторовское пространство, а Пространство Бэра. Кроме того, некоторые пространства, которые не являются полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал (0, 1) - польский.

Между любыми двумя бесчисленный Польские просторы, есть Борелевский изоморфизм; это биекция сохраняющий борелевскую структуру. В частности, на каждом бесчисленном польском пространстве есть мощность континуума.

Пространства Люсина, Пространства Суслина, и Радоновые пространства являются обобщениями польских пространств.

Характеристики

  1. Каждое польское пространство - это второй счетный (в силу сепарабельности метризуемости).
  2. (Теорема Александрова) Если Икс польский, значит, любой гδ подмножество Икс. [1]
  3. Подпространство Q польского пространства п польский тогда и только тогда, когда Q является пересечением последовательности открытых подмножеств п. (Это обратная теореме Александрова.)[2]
  4. (Теорема Кантора – Бендиксона) Если Икс польский, то любое замкнутое подмножество Икс можно записать как несвязный союз из идеальный набор и счетное множество. Далее, если польское пространство Икс несчетно, его можно записать как несвязное объединение совершенного множества и счетного открытого множества.
  5. Каждое польское пространство гомеоморфно гδ-подмножество Куб Гильберта (то есть из я, где я - единичный интервал и - множество натуральных чисел).[3]

Следующие пробелы являются польскими:

  • замкнутые подмножества польского пространства,
  • открытые подмножества польского пространства,
  • произведения и непересекающиеся объединения счетных семейств польских пространств,
  • локально компактный пространства, которые метризуемы и счетный в бесконечности,
  • счетные пересечения польских подпространств хаусдорфова топологического пространства,
  • набор иррациональные числа с топологией индуцированный стандартная топология реальной линии.

Характеристика

Существует множество характеризаций, которые говорят о метризуемости топологического пространства с подсчетом секунд, например Теорема Урысона о метризации. Проблема определения, является ли метризуемое пространство полностью метризуемым, более сложна. Топологические пространства, такие как открытый единичный интервал (0,1), могут иметь как полные, так и неполные метрики, порождающие их топологию.

Имеется характеристика полных сепарабельных метрических пространств в терминах игра известный как сильный Игра в шоке. Сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда у второго игрока есть выигрышная стратегия в этой игре.

Вторая характеризация следует из теоремы Александрова. Он утверждает, что сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда оно является подмножество его завершения в исходной метрике.

Польские метрические пространства

Хотя польские пространства метризуемы, сами по себе они не являются метрические пространства; каждое польское пространство допускает множество полные показатели дающие начало той же топологии, но ни одна из них не выделяется или не выделяется. Польское пространство с выделенной полной метрикой называется Польское метрическое пространство. Альтернативный подход, эквивалентный приведенному здесь, состоит в том, чтобы сначала определить «польское метрическое пространство» как «полное сепарабельное метрическое пространство», а затем определить «польское пространство» как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства посредством забывая метрика.

Обобщения польских пространств

Пространства Люсина

Топологическое пространство - это Пространство Лусина если оно гомеоморфно борелевскому подмножеству компактного метрического пространства.[4][5] Некоторая более сильная топология превращает Лусина в польское пространство.

Есть много способов сформировать пространства Люзина. Особенно:

  • Каждое польское пространство - это Лусин[6]
  • Подпространство в пространстве Люсина называется Люсином тогда и только тогда, когда оно является борелевским множеством.[7]
  • Любое счетное объединение или пересечение подпространств Лусина Пространство Хаусдорфа это Лусин.[8]
  • Произведение счетного числа пространств Лузина - это Лузин.[9]
  • Непересекающееся объединение счетного числа пространств Лузина есть Лузин.[10]

Пространства Суслина

А Пространство суслина - образ польского пространства при непрерывном отображении. Таким образом, каждое пространство Лузина является Суслиным. В польском пространстве подмножество является пространством Суслина тогда и только тогда, когда оно Суслин набор (изображение Суслинская операция).[11]

Следующие пространства Суслина:

  • закрытые или открытые подмножества пространства Суслина,
  • счетные произведения и непересекающиеся объединения пространств Суслина,
  • счетные пересечения или счетные объединения подпространств Суслина хаусдорфового топологического пространства,
  • непрерывные образы пространств Суслина,
  • Борелевские подмножества пространства Суслина.

У них есть следующие свойства:

  • Каждое пространство Суслина отделимо.

Радоновые пространства

А Радоновое пространство, названный в честь Иоганн Радон, это топологическое пространство так что каждый Борель вероятностная мера на M является внутренний регулярный. Поскольку вероятностная мера глобально конечна, и, следовательно, локально конечная мера, каждая вероятностная мера на радоновом пространстве также является Радоновая мера. В частности отделяемый полный метрическое пространство (M, d) является радоновым пространством.

Каждое суслинское пространство - это радон.

Польские группы

А Польская группа топологическая группа г это также польское пространство, другими словами, гомеоморфное сепарабельному полному метрическому пространству. Есть несколько классических результатов Банах, Freudenthal и Куратовски о гомоморфизмах между польскими группами.[12] Во-первых, аргумент Банах (1932 г., п. 23) apply (применяется) mutatis mutandi для неабелевых польских групп: если г и ЧАС сепарабельные метрические пространства с г Польский, то любой борелевский гомоморфизм из г к ЧАС непрерывно.[13] Во-вторых, есть версия теорема об открытом отображении или теорема о замкнутом графике из-за Куратовский (1933 г., п. 400): непрерывный инъективный гомоморфизм польской подгруппы г на другую польскую группу ЧАС - открытое отображение. В результате замечательный факт о польских группах заключается в том, что измеримые по Бэру отображения (т.е. для которых прообраз любого открытого множества имеет собственность Бэра), являющиеся гомоморфизмами между ними, автоматически непрерывны.[14] Группа гомеоморфизмов Куб Гильберта [0,1]N является универсальной польской группой в том смысле, что каждая польская группа изоморфна ее замкнутой подгруппе.

Примеры:

  • Все конечномерные Группы Ли со счетным числом компонентов являются польские группы.
  • Унитарная группа сепарабельной Гильбертово пространствосильная операторная топология) - польская группа.
  • Группа гомеоморфизмов компактного метрического пространства - польская группа.
  • Произведение счетного числа польских групп - это польская группа.
  • Группа изометрий сепарабельного полного метрического пространства - это польская группа

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Бурбаки 1989, п. 197
  2. ^ Бурбаки 1989, п. 197
  3. ^ Шривастава 1998, п. 55
  4. ^ Роджерс и Уильямс 1994, п. 126
  5. ^ Бурбаки 1989
  6. ^ Шварц 1973, п. 94
  7. ^ Шварц 1973, п. 102, следствие 2 теоремы 5.
  8. ^ Шварц 1973, pp. 94, 102, лемма 4 и следствие 1 теоремы 5.
  9. ^ Шварц 1973, с. 95, лемма 6.
  10. ^ Шварц 1973, п. 95, следствие леммы 5.
  11. ^ Бурбаки 1989, стр. 197-199.
  12. ^ Мур 1976, п. 8, предложение 5
  13. ^ Фройденталь 1936 г., п. 54
  14. ^ Петтис 1950.

использованная литература

дальнейшее чтение