WikiDer > Полиадическое пространство

В математике полиадическое пространство это топологическое пространство это изображение под непрерывная функция из топологическая мощность из Одноточечная компактификация Александрова дискретного топологического пространства.

История

Полиадические пространства были впервые изучены С. Мрувкой в ​​1970 г. как обобщение диадические пространства.^[1] Теория была развита Р. Х. Марти, Яношом Герлитсом и Мюрреем Г. Беллом,^[2] последний из которых ввел понятие более общего центрированные пространства.^[1]

Фон

Подмножество K топологического пространства Икс как говорят компактный если каждый открытый крышка из K содержит конечное подпокрытие. Он называется локально компактным в точке Икс ∈ Икс если Икс лежит внутри некоторого компактного подмножества Икс. Икс это локально компактное пространство если он локально компактен в каждой точке пространства.^[3]

Правильное подмножество А ⊂ Икс как говорят плотный если закрытие Ā = Икс. Пространство, множество которого имеет счетное плотное подмножество, называется отделяемое пространство.

Для некомпактного локально компактного хаусдорфова топологического пространства ${ Displaystyle (Х, тау _ {X})}$, определяем одноточечную компактификацию Александрова как топологическое пространство с множеством ${ displaystyle left { omega right } чашка X}$, обозначенный ${ displaystyle omega X}$, куда ${ displaystyle omega notin X}$, с топологией ${ displaystyle tau _ { omega X}}$ определяется следующим образом:^[2][4]

• ${ displaystyle tau _ {X} substeq tau _ { omega X}}$
• ${ displaystyle X setminus C cup left { omega right } in tau _ { omega X}}$, для каждого компактного подмножества ${ Displaystyle C substeq X}$.

Определение

Позволять ${ displaystyle X}$ - дискретное топологическое пространство, и пусть ${ displaystyle omega X}$ - Александровская одноточечная компактификация ${ displaystyle X}$. Хаусдорфово пространство ${ displaystyle P}$ полиадичен, если для некоторых количественное числительное ${ displaystyle lambda}$, существует непрерывная сюръективная функция ${ displaystyle f: omega X ^ { lambda} rightarrow P}$, куда ${ displaystyle omega X ^ { lambda}}$ это пространство продукта, полученное умножением ${ displaystyle omega X}$ с собой ${ displaystyle lambda}$ раз.^[5]

Примеры

Возьмите набор натуральных чисел ${ Displaystyle mathbb {Z} +}$ с дискретной топологией. Его Александровская одноточечная компактификация ${ Displaystyle omega mathbb {Z} +}$. выбирать ${ displaystyle lambda = 1}$ и определим гомеоморфизм ${ displaystyle h: omega mathbb {Z} + rightarrow left [0,1 right]}$ с отображением

${ displaystyle h (x) = { begin {cases} 1 / x, & { text {if}} x in mathbb {Z} + 0, & { text {if}} x = омега end {case}}}$

Из определения следует, что пространство ${ Displaystyle left {0 right } чашка bigcup _ {п in mathbb {N}} left {1 / n right }}$ является полиадическим и компактным непосредственно из определения компактности, без использования Гейне-Бореля.

Каждое диадическое пространство (компактное пространство, которое является непрерывным образом канторова множества^[6]) - полиадическое пространство.^[7]

Позволять Икс быть отделимым компактным пространством. Если Икс это метризуемое пространство, то он полиадический (верно и обратное).^[2]

Характеристики

Клеточность ${ displaystyle c (X)}$ пространства ${ displaystyle X}$ является ${ displaystyle sup left { vert B vert: B { text {- непересекающийся набор открытых множеств}} X right }}$. Герметичность ${ displaystyle t (X)}$ пространства ${ displaystyle X}$ определяется следующим образом: пусть ${ Displaystyle A подмножество X}$, и ${ displaystyle p in { bar {A}}}$. Мы определяем ${ displaystyle a (p, A): = min left { vert B vert: p in { bar {B}}, B subset A right }}$, и определим ${ displaystyle t (p, X): = sup left {a (p, A): A subset X, p in { bar {A}} right }}$. потом ${ Displaystyle t (X): = sup left {t (p, X): p in X right }.}$^[8] В топологический вес ${ Displaystyle ш (Х)}$ полиадического пространства ${ displaystyle X}$ удовлетворяет равенству ${ Displaystyle ш (Х) = с (Х) CDOT т (Х)}$.^[9]

Позволять ${ displaystyle X}$ - полиадическое пространство, и пусть ${ Displaystyle A подмножество X}$. Тогда существует полиадическое пространство ${ Displaystyle P подмножество X}$ такой, что ${ Displaystyle A подмножество P}$ и ${ Displaystyle с (Р) Leq с (А)}$.^[9]

Полиадические пространства - это наименьший класс топологических пространств, содержащих метрические компактные пространства и замкнутых относительно произведений и непрерывных образов.^[10] Каждое полиадическое пространство ${ displaystyle X}$ веса ${ displaystyle leq 2 ^ { omega}}$ это непрерывный образ ${ Displaystyle mathbb {Z} +}$.^[10]

Топологическое пространство Икс имеет Суслин недвижимость если не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств X.^[11] Предположим, что Икс обладает свойством Суслина и Икс полиадический. потом Икс диадический.^[12]

Позволять ${ displaystyle dis (X)}$ быть наименьшим количеством дискретных наборов, необходимых для покрытия ${ displaystyle X}$, и разреши ${ Displaystyle Delta (X)}$ обозначим наименьшую мощность непустого открытого множества в ${ displaystyle X}$. Если ${ displaystyle X}$ полиадическое пространство, то ${ Displaystyle дис (X) geq Delta (X)}$.^[9]

Теорема Рамсея

Есть аналог Теорема Рамсея из комбинаторики полиадических пространств. Для этого опишем взаимосвязь между Булевы пространства и полиадические пространства. Позволять ${ Displaystyle CO (X)}$ обозначить прищемить алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств ${ displaystyle X}$. Мы определяем булево пространство как компактное хаусдорфово пространство, базис которого ${ Displaystyle CO (X)}$. Элемент ${ Displaystyle G в CO (X) '}$ такой, что ${ Displaystyle langle langle G rangle rangle = CO (X)}$ называется генераторной установкой для ${ Displaystyle CO (X)}$. Мы говорим ${ displaystyle G}$ это ${ Displaystyle ( тау, каппа)}$-связанная коллекция, если ${ displaystyle G}$ это объединение не более чем ${ Displaystyle тау}$ подколлекции ${ displaystyle G _ { alpha}}$, где для каждого ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle G _ { alpha}}$ является непересекающимся набором мощности не более ${ displaystyle kappa}$ Петр Симон доказал, что ${ displaystyle X}$ - булево пространство с порождающим множеством ${ displaystyle G}$ из ${ Displaystyle CO (X)}$ существование ${ Displaystyle ( тау, каппа)}$-без пересечения тогда и только тогда, когда ${ displaystyle X}$ гомеоморфно замкнутому подпространству в ${ Displaystyle альфа каппа ^ { тау}}$.^[8] Рэмси-подобное свойство для полиадических пространств, как было заявлено Мюрреем Беллом для булевых пространств, имеет следующий вид: каждая несчетная коллекция clopen содержит несчетную подколлекцию, которая либо связана, либо не пересекается.^[13]

Компактность

Мы определяем число компактности пространства ${ displaystyle X}$, обозначаемый ${ displaystyle operatorname {cmpn} , X}$, чтобы быть наименьшим числом ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle X}$ имеет n-арный закрытый подоснование. Мы можем строить полиадические пространства с произвольным числом компактности. Мы продемонстрируем это с помощью двух теорем, доказанных Мюрреем Беллом в 1985 г. Пусть ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ быть набором множеств и пусть ${ displaystyle S}$ быть набором. Обозначим множество ${ displaystyle { bigcap { mathcal {F}}: { mathcal {F}} { text {- конечное подмножество}} { mathcal {S}} }}$ к ${ Displaystyle { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$; все подмножества ${ displaystyle S}$ размера ${ displaystyle n}$ к ${ Displaystyle [S] ^ {п}}$; и все подмножества размера не более ${ displaystyle n}$ к ${ Displaystyle [S] ^ {<= п}}$. Если ${ Displaystyle 2 Leq п < омега}$ и ${ Displaystyle bigcap { mathcal {F}} neq emptyset}$ для всех ${ displaystyle { mathcal {F}} in [{ mathcal {S}}] ^ {n}}$, то мы говорим, что ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ n-связанный. Если каждое n-связанное подмножество ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ имеет непустое пересечение, то мы говорим, что ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ н-арный. Обратите внимание, что если ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ n-арный, значит, тоже ${ Displaystyle { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$, и поэтому каждое пространство ${ displaystyle X}$ с ${ displaystyle operatorname {cmpn} , X leq n}$ имеет закрытую n-арную подбазу ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ с ${ Displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$. Обратите внимание, что коллекция ${ Displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {S}} ^ { widehat { mathcal {F}}}}$ замкнутых подмножеств компактного пространства ${ displaystyle X}$ является закрытой подбазой тогда и только тогда, когда для каждого закрытого ${ displaystyle K}$ в открытом наборе ${ displaystyle U}$существует конечная ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ такой, что ${ Displaystyle { mathcal {F}} subset { mathcal {S}}}$ и ${ Displaystyle К подмножество bigcup { mathcal {F}} подмножество U}$.^[14]

Позволять ${ displaystyle S}$ бесконечное множество и пусть ${ displaystyle n}$ на такое число, что ${ Displaystyle 1 Leq п < омега}$. Мы определяем топология продукта на ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$ следующим образом: для ${ displaystyle s in S}$, позволять ${ Displaystyle s ^ {-} = {F in [S] ^ { leq n}: s in F }}$, и разреши ${ Displaystyle s ^ {+} = {F in [S] ^ { leq n}: s notin F }}$. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ быть коллекцией ${ Displaystyle { mathcal {S}} = bigcup _ {s in S} {s ^ {+}, s ^ ​​{-} }}$. Мы принимаем ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ в качестве закрытой подбазы для нашей топологии на ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$. Эта топология компактна и хаусдорфова. За ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle n}$ такой, что ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$у нас есть это ${ displaystyle [S] ^ {k}}$ является дискретным подпространством ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$, а значит, ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$ это союз ${ displaystyle n + 1}$ дискретные подпространства.^[14]

Теорема (Верхняя граница ${ Displaystyle OperatorName {cmpn} , [S] ^ { Leq n}}$): Для каждого общий заказ ${ displaystyle <}$ на ${ displaystyle S}$, существует ${ displaystyle n + 1}$-арная закрытая база ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ из ${ Displaystyle [S] ^ { leq 2n}}$.

Доказательство: За ${ displaystyle s in S}$, определять ${ Displaystyle L_ {s} = {F in s ^ {+}: | {t in F: t$ и ${ Displaystyle R_ {s} = {F in s ^ {+}: | {t in F: t> s } | Leq n-1 }}$. Набор ${ displaystyle { mathcal {R}} = bigcup _ {s in S} {L_ {s}, R_ {s}, s ^ ​​{+} }}$. За ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ такой, что ${ Displaystyle A чашка B чашка C neq emptyset}$, позволять ${ displaystyle { mathcal {F}} = {L_ {s}: s in A } cup {R_ {s}: s in B } cup {s ^ {-}: s in C }}$ такой, что ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является ${ displaystyle n + 1}$-связанное подмножество ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$. Покажи это ${ Displaystyle A чашка B in bigcap { mathcal {F}}}$. ${ displaystyle blacksquare}$

Для топологического пространства ${ displaystyle X}$ и подпространство ${ displaystyle A in X}$, мы говорим, что непрерывная функция ${ displaystyle r: X rightarrow A}$ это втягивание если ${ displaystyle r | _ {A}}$ тождественная карта на ${ displaystyle A}$. Мы говорим что ${ displaystyle A}$ это отказ от ${ displaystyle X}$. Если существует открытый набор ${ displaystyle U}$ такой, что ${ Displaystyle A подмножество U подмножество X}$, и ${ displaystyle A}$ это отказ от ${ displaystyle U}$, то мы говорим, что ${ displaystyle A}$ это соседский ретракт ${ displaystyle X}$.

Теорема (Нижняя граница ${ Displaystyle OperatorName {cmpn} , [S] ^ { Leq n}}$) Позволять ${ displaystyle n}$ быть таким, чтобы ${ Displaystyle 2 Leq п < омега}$. потом ${ Displaystyle [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1}}$ не может быть встроен как соседний ретракт в любое пространство ${ displaystyle K}$ с ${ displaystyle operatorname {cmpn} , K leq n}$.

Из двух приведенных выше теорем можно вывести, что для ${ displaystyle n}$ такой, что ${ Displaystyle 1 Leq п < омега}$у нас есть это ${ displaystyle operatorname {cmpn} , [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1} = n + 1 = operatorname {cmpn} , [ omega _ {1}] ^ { leq 2n}}$.

Позволять ${ displaystyle A}$ - одноточечная компактификация Александрова дискретного пространства ${ displaystyle S}$, так что ${ Displaystyle А = S чашка { infty }}$. Определим непрерывную сюръекцию ${ displaystyle g: A ^ {n} rightarrow [S] ^ { leq n}}$ к ${ displaystyle g ((x_ {1}, ..., x_ {n})) = {x_ {1}, ldots, x_ {n} } cap S}$. Следует, что ${ Displaystyle [S] ^ { leq п}}$ - полиадическое пространство. Следовательно ${ Displaystyle [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1}}$ - полиадическое пространство с числом компактности ${ displaystyle operatorname {cmpn} , [ omega _ {1}] ^ { leq 2n-1} = n + 1}$.^[14]

Обобщения