WikiDer > Postulat von Bertrand

Es Postulat von Bertrand ist ein Gestell in dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, was sagt, dass mit jedem positivgerade Zahl${Anzeigestil n>1}$ immer ein Primzahl${displaystyle p}$ ist zwischen ${displaystyle n}$ und das verdoppeln. Eine stärkere Aussage ist die für ${Anzeigestil n>3}$ es gibt immer einen Primzahl${displaystyle p}$ ist mit ${Anzeigestil n$.

Dieses Postulat wird auch als Bertrand-Chebyshev . theorem oder der Theorem von Chebyshev. Joseph Bertrand formulierte es als Verdacht im Jahr 1845 und Tschebyschewbewiesen es im Jahr 1850. Srinivasa Aaiyangar Ramanujan veröffentlichte 1919 einen einfacheren Beweis, dass der 19-jährige Erds 1931 verbessert. Seine Beweise betrachten die Binomialkoeffizient

${displaystyle {2n wähle n}={frac {(2n)!}{n!n!}}}$

Angenommen, es gibt a ${displaystyle n}$ ist, für die es keine Primzahl zwischen gibt ${displaystyle n}$ und ${Displaystil 2n}$ ist, dann gilt:

${displaystyle {frac {4^{n}}{2n}}leq {2n wähle n}}$,

weil

${displaystyle 4^{n}=(1 1)^{2n}=Summe _{k=0}^{2n}{ inom {2n}{k}}=2 Summe _{k=1}^{2n- 1}{ inom {2n}{k}}leq 2n{ inom {2n}{n}}}$

schon seit ${displaystyle { binom {2n}{n}}}$ ist der größte Term in der Summe.

${displaystyle {2n wähle n}=prod _{p=1}^{2n}p^{s(p)}}$

${displaystyle prod _{p=1}^{2n}p^{s(p)}leq (2n)^{{sqrt {(}}2n)}4^{2n/3}}$

Zusammengenommen bedeuten diese Fakten, dass

${displaystyle 4^{n/3}leq (2n)^{1 {sqrt {2n}}}}$

was falsch ist für ${displaystyle n}$ groß genug. Für kleinere ${displaystyle n}$ ist der Postulat einfach empirisch überprüfen.

Die Anzahl der Primzahlen zwischen ${displaystyle n}$ und ${Displaystil 2n}$, vor dem ${Anzeigestil n=1,2,3,ldots}$ ist 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 3, ... (Zeile A060715 im OEIS).

Externe Links

• Wolfram MathWord: Bertrands Postulat