WikiDer > Символ остатка мощности

Power residue symbol

В алгебраическая теория чисел то псимвол остатка степени (для целого числа п > 2) является обобщением (квадратичной) Символ Лежандра к п-ые степени. Эти символы используются в заявлении и доказательстве кубический, квартика, Эйзенштейн, и связанные выше[1] законы взаимности.[2]

Предпосылки и обозначения

Позволять k быть поле алгебраических чисел с кольцо целых чисел который содержит примитивный п-й корень из единства

Позволять быть главный идеал и предположим, что п и находятся совмещать (т.е. .)

В норма из определяется как мощность кольца классов вычетов (заметим, что поскольку простое кольцо классов вычетов конечное поле):

Аналог теоремы Ферма верен в Если тогда

И наконец, предположим Эти факты означают, что

хорошо определен и конгруэнтен уникальному -й корень из единства

Определение

Этот корень единства называется псимвол остатка степени для и обозначается

Характеристики

В п-й символ степени обладает свойствами, полностью аналогичными свойствам классического (квадратичного) Символ Лежандра ( фиксированный примитив -й корень из единицы):

Во всех случаях (нулевых и ненулевых)

Связь с символом Гильберта

В п-й символ степенного остатка связан с Символ Гильберта для премьер к

в случае взаимно простой с п, куда есть ли униформизирующий элемент для местное поле .[3]

Обобщения

В -й символ степени может быть расширен, чтобы принять непростые идеалы или ненулевые элементы в качестве «знаменателя», так же, как Символ Якоби расширяет символ Лежандра.

Любой идеал является продуктом первичных идеалов, и только одним способом:

В -й символ степени расширяется мультипликативно:

За затем мы определяем

куда главный идеал, порожденный

Подобно квадратичному символу Якоби, этот символ мультипликативен по верхнему и нижнему параметрам.

  • Если тогда

Поскольку символ всегда -корень -й степени из единицы, поскольку он мультипликативен, он равен 1, если один параметр является -я степень; обратное неверно.

  • Если тогда
  • Если тогда не является -я степень по модулю
  • Если тогда может или не может быть -я степень по модулю

Закон взаимности власти

В закон взаимности власти, аналог закон квадратичной взаимности, можно сформулировать в терминах Символы Гильберта в качестве[4]

в любое время и взаимно просты.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Квадратичная взаимность занимается квадратами; выше относится к кубам, четвертой и высшей степени.
  2. ^ Все факты в этой статье приведены в Lemmermeyer Ch. 4.1 и Ирландия и Розен гл. 14,2
  3. ^ Нойкирх (1999) стр. 336
  4. ^ Нойкирх (1999) стр. 415

Рекомендации

  • Гра, Жорж (2003), Теория поля классов. От теории к практике, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, стр. 204–207, ISBN 3-540-44133-6, Zbl 1019.11032
  • Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN 0-387-97329-X
  • Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer Science + Business Media, Дои:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, МИСТЕР 1761696, Zbl 0949.11002
  • Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021