WikiDer > Кольцо целых чисел

В математика, то кольцо целых чисел из поле алгебраических чисел K это звенеть из всех интегральные элементы содержалась вK. Неотъемлемым элементом является корень а монический многочлен с целое число коэффициенты, Икс^п + c_п−1Икс^п−1 + … + c₀ . Это кольцо часто обозначают как О_K или же ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$. Поскольку любой целое число принадлежитK и является неотъемлемым элементомK, кольцоZ всегда подкольцо изО_K.

КольцоZ - простейшее возможное кольцо целых чисел.^[1] А именно, Z = O_Q куда Q это поле из рациональное число.^[2] И действительно, в алгебраическая теория чисел элементыZ из-за этого часто называют «рациональными целыми числами».

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел является единственным максимальным порядок в поле.

Характеристики

Кольцо целых чисел О_K является конечно порожденным Z-модуль. Действительно, это свободный Z-модуль и, следовательно, имеет целостная основа, это основа б₁, … ,б_п ∈ O_K из Q-векторное пространствоK так что каждый элементИкс в О_K можно однозначно представить как

${ displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}$

с а_я ∈ Z.^[3] Званиеп из О_K как бесплатный Z-модуль равен степень изK над Q.

Кольца целых чисел в числовых полях - это Дедекиндовские домены.^[4]

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезный инструмент для вычисления целого замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле ${ displaystyle K / mathbb {Q}}$ использует дискриминант. Если ${ displaystyle K}$ имеет степень ${ displaystyle n}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}}$, и ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n} in { mathcal {O}} _ {K}}$ составляют основу ${ displaystyle K}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}}$, набор ${ displaystyle d = Delta _ {K / mathbb {Q}} ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})}$. Потом, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ является подмодулем ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ модуль охватывает ${ displaystyle alpha _ {1} / d, ldots, alpha _ {n} / d}$^{[5] стр. 33}. Фактически, если ${ displaystyle d}$ без квадратов, то это составляет интегральную основу для ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$^{[5] стр. 35 год}.

Циклотомические расширения

Если п это основной, ζ - это пth корень единства и K = Q(ζ) соответствующий круговое поле, то интегральная основа О_K = Z[ζ] дан кем-то (1, ζ, ζ²,…, Ζ^п−2).^[6]

Квадратичные расширения

Если ${ displaystyle d}$ это целое число без квадратов и ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ соответствующий квадратичное поле, тогда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ кольцо квадратичные целые числа и его интегральная основа дается (1, (1 + √d)/2) если d ≡ 1 (мод 4) и по (1, √d) если d ≡ 2, 3 (мод 4).^[7] Это можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента ${ displaystyle a + b { sqrt {d}} in mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ куда ${ displaystyle a, b in mathbb {Z}}$.

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию в неприводимые элементы, но кольцо не обязательно должно обладать свойством уникальная факторизация: например, в кольце целых чисел ℤ [√-5] элемент 6 имеет две существенно разные факторизации в неприводимые:^[4][8]

${ displaystyle 6 = 2 cdot 3 = (1 + { sqrt {-5}}) (1 - { sqrt {-5}}) .}$

Кольцо целых чисел всегда Дедекиндский домен, и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в главные идеалы.^[9]

В единицы кольца целых чисел О_K это конечно порожденная абелева группа к Теорема Дирихле о единицах. В торсионная подгруппа состоит из корни единства из K. Набор генераторов без кручения называется набором основные единицы.^[10]

Обобщение

Один определяет кольцо целых чисел неархимедово локальное поле F как совокупность всех элементов F с абсолютным значением ≤ 1; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника.^[11] Если F является пополнением поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении.^[2]

Например, п-адические целые числа Z_п кольцо целых чисел п-адические числа Q_п .

Смотрите также

• Минимальный многочлен (теория поля)
• Интегральное закрытие - дает методику вычисления интегральных замыканий

Рекомендации

• Касселс, J.W.S. (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. МИСТЕР 1697859. Zbl 0956.11021.
• Самуэль, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел. Германн / Кершоу.

Примечания