WikiDer > Главный элемент

Prime element

В математикаособенно в абстрактная алгебра, а главный элемент из коммутативное кольцо это объект, удовлетворяющий определенным свойствам, подобным простые числа в целые числа и чтобы неприводимые многочлены. Следует проявлять осторожность, чтобы отличать основные элементы от неприводимые элементы, концепция, которая одинакова в УФО но в целом не то же самое.

Определение

Элемент п коммутативного кольца р как говорят премьер если это не нулевой элемент или единица измерения и когда п разделяет ab для некоторых а и б в р, тогда п разделяет а или п разделяет б. Эквивалентно элемент п является простым тогда и только тогда, когда главный идеал (п) Сгенерированно с помощью п ненулевой главный идеал.[1] (Обратите внимание, что в область целостности, идеал (0) это главный идеал, но 0 является исключением из определения «первичного элемента».)

Интерес к первоклассным элементам исходит из Основная теорема арифметики, который утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть записано по существу только одним способом как 1 или −1, умноженное на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению уникальные домены факторизации, которые обобщают то, что только что было показано в целых числах.

Простота зависит от того, в каком кольце считается элемент; например, 2 - простой элемент в Z но это не в Z[я], кольцо Гауссовские целые числа, поскольку 2 = (1 + я)(1 − я) и 2 не делит множитель справа.

Связь с первостепенными идеалами

Идеальный я в ринге р (с единицей) премьер если фактор-кольцо р/я является область целостности.

Ненулевой главный идеал является премьер тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом.

Неприводимые элементы

Основные элементы не следует путать с неприводимые элементы. В область целостности, каждое простое число неприводимо[2] но в целом обратное неверно. Однако в уникальных областях факторизации[3] или в более общем плане в GCD домены, простые и неприводимые числа одинаковы.

Примеры

Ниже приведены примеры простых элементов в кольцах:

использованная литература

Заметки
  1. ^ Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4 (i), как указано в примечании под теоремой и доказательством, результат верен в полной общности.
  2. ^ Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4 (iii)
  3. ^ Хангерфорд 1980, Замечание после определения III.3.5.
Источники
  • Раздел III.3 Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 73 (Перепечатка изд. 1974 г.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90518-1, Г-Н 0600654
  • Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: W. H. Freeman and Company, pp. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, Г-Н 1009787
  • Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца, Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, Г-Н 0254021