WikiDer > Теорема о главной оси

Principal axis theorem

в математический поля геометрия и линейная алгебра, а главная ось определенная строка в Евклидово пространство связанный с эллипсоид или же гиперболоид, обобщая основные и второстепенные топоры из эллипс или же гипербола. В теорема о главной оси утверждает, что главные оси перпендикулярны, и дает конструктивную процедуру их нахождения.

Математически теорема о главной оси является обобщением метода завершение квадрата из элементарная алгебра. В линейная алгебра и функциональный анализ, теорема о главной оси является геометрическим аналогом спектральная теорема. Он имеет приложения к статистика из анализ основных компонентов и разложение по сингулярным числам. В физика, теорема является фундаментальной для изучения угловой момент и двулучепреломление.

Мотивация

Уравнения в Декартова плоскость р2:

определяют соответственно эллипс и гиперболу. В каждом случае Икс и у оси - главные оси. Это легко увидеть, учитывая, что нет перекрестные условия с участием продуктов ху в любом выражении. Однако для уравнений типа

Здесь требуется некоторый метод, чтобы определить, является ли это эллипс или гипербола. Основное наблюдение заключается в том, что если квадратное выражение можно свести к сумме двух квадратов, тогда уравнение определяет эллипс, тогда как если оно сводится к разнице в два квадрата, тогда уравнение представляет собой гиперболу:

Таким образом, в нашем примере выражения проблема состоит в том, как поглотить коэффициент перекрестного члена 8ху в функции ты и v. Формально эта проблема аналогична проблеме диагонализация матрицы, где пытаются найти подходящую систему координат, в которой матрица линейного преобразования диагональна. Первый шаг - найти матрицу, в которой можно применить технику диагонализации.

Уловка состоит в том, чтобы записать квадратичную форму как

где перекрестный термин разделен на две равные части. Матрица А в приведенном выше разложении является симметричная матрица. В частности, спектральная теорема, она имеет настоящий собственные значения и является диагонализуемый по ортогональная матрица (ортогонально диагонализуемый).

Для ортогональной диагонализации А, нужно сначала найти его собственные значения, а затем найти ортонормированный собственный базис. Расчет показывает, что собственные значения А находятся

с соответствующими собственными векторами

Разделив их на соответствующие длины, получаем ортонормированный собственный базис:

Теперь матрица S = [ты1 ты2] является ортогональной матрицей, так как она имеет ортонормированные столбцы, и А диагонализуется:

Это применимо к настоящей проблеме «диагонализации» квадратичной формы посредством наблюдения, что

Таким образом, уравнение является эллипсом, так как левую часть можно записать как сумму двух квадратов.

Заманчиво упростить это выражение, вычеркнув множители 2. Однако важно нет сделать это. Количество

имеют геометрическое значение. Они определяют ортонормированная система координат на р2. Другими словами, они получаются из исходных координат путем применения вращения (и, возможно, отражения). Следовательно, можно использовать c1 и c2 координаты для заявлений о длина и углы (особенно длина), что в противном случае было бы сложнее при другом выборе координат (например, путем их масштабирования). Например, максимальное расстояние от начала координат эллипса c12 + 9c22 = 1 возникает, когда c2= 0, поэтому в точках c1= ± 1. Точно так же минимальное расстояние - это где c2=±1/3.

Теперь можно считать большую и малую оси этого эллипса. Это как раз индивидуальные собственные подпространства матрицы А, так как это где c2 = 0 или c1= 0. Символически главные оси

Подвести итоги:

  • Уравнение предназначено для эллипса, поскольку оба собственных значения положительны. (В противном случае, если бы один был положительным, а другой отрицательным, это было бы гиперболой.)
  • Главные оси - это линии, натянутые на собственные векторы.
  • Минимальное и максимальное расстояния до начала координат можно считать из уравнения в диагональной форме.

Используя эту информацию, можно получить четкое геометрическое изображение эллипса: например, построить его график.

Официальное заявление

В теорема о главной оси обеспокоенность квадратичные формы в рп, которые однородные многочлены степени 2. Любую квадратичную форму можно представить в виде

куда А является симметричной матрицей.

Первая часть теоремы содержится в следующих утверждениях, гарантированных спектральной теоремой:

  • Собственные значения А настоящие.
  • А диагонализуема, а собственные подпространства А взаимно ортогональны.

Особенно, А является ортогонально диагонализуемый, так как можно взять за основу каждое собственное подпространство и применить Процесс Грама-Шмидта отдельно в собственном подпространстве, чтобы получить ортонормированный собственный базис.

Для второй части предположим, что собственные значения А являются λ1, ..., λп (возможно, повторяются в соответствии с их алгебраическими кратностями), а соответствующий ортонормированный собственный базис равен ты1,...,тып. потом

где cя - координаты относительно данного собственного базиса. Более того,

  • В яглавная ось линия определяется п-1 уравнение cj = 0, jя. Эта ось - промежуток вектора тыя.

Смотрите также

Рекомендации

  • Стрэнг, Гилберт (1994). Введение в линейную алгебру. Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.