WikiDer > Вращательная симметрия

Rotational symmetry

В трискелион появляясь на Флаг острова Мэн обладает осевой симметрией, потому что выглядит так же, когда вращается на одну треть полного оборота вокруг своего центра. Поскольку его внешний вид идентичен в трех различных ориентациях, его вращательная симметрия тройная.

Вращательная симметрия, также известен как радиальная симметрия в биологии - это свойство формы, когда она выглядит так же после некоторого поворота на частичный поворот. Степень вращательной симметрии объекта - это количество различных ориентаций, при которых он выглядит одинаково при каждом повороте.

Формальное лечение

Формально вращательная симметрия симметрия в отношении некоторых или всех вращения в м-размерный Евклидово пространство. Вращения прямые изометрии, т.е. изометрии сохранение ориентация. Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой E⁺(м) (увидеть Евклидова группа).

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает поступательная симметрия относительно всех переносов, поэтому пространство однородно, а группа симметрии - это все E(м). С модифицированное понятие симметрии векторных полей группа симметрии также может быть E⁺(м).

Для симметрии относительно вращений вокруг точки мы можем принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют особую ортогональная группа ТАК(м), группа м×м ортогональные матрицы с определителем 1. Для $м = 3$ это группа вращения SO (3).

В другом определении слова группа вращения объекта группа симметрии внутри E⁺(п), группа прямых изометрий ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральный объекты это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики SO (3) -инвариантны если они не различают разные направления в пространстве. Потому что Теорема Нётер, вращательная симметрия физической системы эквивалентна угловой момент закон сохранения.

Дискретная вращательная симметрия

Вращательная симметрия порядкап, также называется п-кратная вращательная симметрия, или дискретная вращательная симметрия пй заказ, относительно конкретной точки (в 2D) или оси (в 3D) означает, что поворот на угол 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51³⁄₇° и др.) Не меняет объект. «Односторонняя» симметрия - это не симметрия (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360 °).

В обозначение для п-кратная симметрия C_п или просто "п". Настоящий группа симметрии указывается точкой или осью симметрии вместе с п. Для каждой точки или оси симметрии тип абстрактной группы циклическая группа порядкап, Z_п. Хотя для последнего также обозначение C_п используются геометрические и абстрактные C_п Следует различать: существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически различны, см. циклические группы симметрии в 3D.

В фундаментальная область это сектор 360 ° / п.

Примеры без дополнительных симметрия отражения:

п = 2, 180 °: диада; буквы Z, N, S; очертания, хотя и не цвета, Инь и Янь символ; то Союз Флаг (разделенные по диагонали флага и повернутые вокруг центральной точки флага)
п = 3, 120°: триада, трискелион, Кольца Борромео; иногда термин трехсторонняя симметрия используется;
п = 4, 90°: тетрада, свастика
п = 6, 60°: гексад, Звезда Давида
п = 8, 45°: октада, Восьмиугольная Мукарнас, компьютерная (CG), потолочная

C_п группа вращения регулярного п-сторонний многоугольник в 2D и обычном п-сторонний пирамида в 3D.

Если есть, например, вращательная симметрия относительно угла 100 °, затем также относительно угла 20 °, наибольший общий делитель 100 ° и 360 °.

Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии, является пропеллер.

Примеры

C2 (Больше)	C3 (Больше)	C4 (Больше)	C5 (Больше)	C6 (Больше)
Двойной маятник фрактал	Карусель дорожный знак		Двухсотлетие США Звезда	Круги на полях в перспективе
Исходное положение в сёги	Снолделев каменьзаблокирован рога для питья дизайн

Несколько осей симметрии через одну и ту же точку

Для дискретная симметрия с несколькими осями симметрии, проходящими через одну точку, возможны следующие варианты:

В дополнение к пось складывания, п перпендикулярные оси 2-го порядка: диэдральные группы D_п порядка 2п ( $п \geq 2$ ). Это группа вращения регулярного призма, или обычный бипирамида. Хотя используются те же обозначения, геометрические и абстрактные D_п Следует различать: существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически различны, см. группы диэдральной симметрии в 3D.
4 × 3-кратные и 3 × 2-кратные оси: группа вращения Т порядка 12 регулярного тетраэдр. Группа изоморфный к переменная группа А₄.
3 × 4-кратные, 4 × 3-кратные и 6 × 2-кратные оси: группа вращенияО порядка 24 куб и регулярный октаэдр. Группа изоморфна симметричная группа S₄.
6 × 5-кратные, 10 × 3-кратные и 15 × 2-кратные оси: группа вращенияя порядка 60 г. додекаэдр и икосаэдр. Группа изоморфна знакопеременной группеА₅. В группе 10 версий D₃ и 6 версий D₅ (вращательные симметрии, такие как призмы и антипризмы).

В случае Платоновы тела, 2-кратные оси проходят через середины противоположных краев, и их количество составляет половину числа ребер. Другие оси проходят через противоположные вершины и центры противоположных граней, за исключением случая тетраэдра, где каждая из трех осей проходит через одну вершину и центр одной грани.

Вращательная симметрия относительно любого угла

Вращательная симметрия относительно любого угла в двух измерениях круговая симметрия. Основная область - это полупрямая линия.

В трех измерениях мы можем различить цилиндрическая симметрия и сферическая симметрия (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть нет зависимости от угла при использовании цилиндрические координаты и никакой зависимости ни от одного угла, используя сферические координаты. Основная область - это полуплоскость через ось и радиальную полупрямую соответственно. Осесимметричный или осесимметричный находятся прилагательные которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию, или осесимметрия (т.е. вращательная симметрия относительно центральной оси) как пончик (тор). Примером приблизительной сферической симметрии является Земля (по плотности и другим физическим и химическим свойствам).

В 4D непрерывная или дискретная симметрия вращения относительно плоскости соответствует соответствующей двумерной симметрии вращения в каждой перпендикулярной плоскости относительно точки пересечения. Объект также может иметь симметрию вращения относительно двух перпендикулярных плоскостей, например если это Декартово произведение двух осесимметричных 2D-фигур, как, например, в случае то дуоцилиндр и различные регулярные дуопризма.

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией

Расположение в примитивная клетка 2- и 4-х кратных ротоцентров. А фундаментальная область обозначается желтым цветом.	Расположение в примитивной ячейке 2-, 3- и 6-кратных ротоцентров, по отдельности или в комбинации (рассматривайте 6-кратный символ как комбинацию 2- и 3-кратного символа); только в случае 2-кратной симметрии форма параллелограмм может быть разным. В случае p6 основная область обозначена желтым цветом.

2-кратная вращательная симметрия вместе с одинарной поступательная симметрия один из Фриз-группы. Есть два ротоцентра на каждый примитивная клетка.

Наряду с двойной трансляционной симметрией группы вращений следующие: группы обоев, с осями на примитивную ячейку:

p2 (2222): 4 × 2 раза; группа вращения параллелограммный, прямоугольный, и ромбический решетка.
p3 (333): 3 × 3 раза; не группа вращения любой решетки (каждая решетка в перевернутом виде одинакова, но это не относится к этой симметрии); это например группа вращения правильная треугольная черепица с попеременно окрашенными равносторонними треугольниками.
p4 (442): 2х4 раза, 2х2 раза; группа вращения квадрат решетка.
p6 (632): 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2; группа вращения шестиугольник решетка.
2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют транслят решетки, равный трансляционной решетке, масштабированной в 1/2 раза. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если они вообще есть, образуют правильную гексагональную решетку, равную поступательной решетке, повернутую на 30 ° (или эквивалентно 90 °) и масштабируемую с коэффициентом ${ displaystyle { frac {1} {3}} { sqrt {3}}}$
4-кратные ротоцентры, если они вообще есть, образуют правильную квадратную решетку, равную трансляционной решетке, повернутую на 45 ° и масштабируемую в раз. ${ displaystyle { frac {1} {2}} { sqrt {2}}}$
6-кратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, которая является трансляцией поступательной решетки.

При масштабировании решетки количество точек на единицу площади делится на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, количество 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на одну примитивную ячейку равно 4, 3, 2 и 1, соответственно, снова включая 4-кратный как частный случай 2-кратного и т. Д.

Трехкратная симметрия вращения в одной точке и двукратная в другой (или то же самое в 3D по отношению к параллельным осям) подразумевает группу вращения p6, то есть двойную трансляционную симметрию и шестикратную поворотную симметрию в некоторой точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние перевода для симметрии, создаваемой одной такой парой ротоцентров, равно ${ displaystyle 2 { sqrt {3}}}$ раз их расстояние.

Евклидова плоскость	Гиперболическая плоскость
Треугольная черепица Hexakis, пример p6, [6,3]⁺, (632) (с цветами) и p6m, [6,3], (* 632) (без цветов); линии являются осями отражения, если цвета игнорируются, и осью симметрии особого вида, если цвета не игнорируются: отражение меняет цвета. Можно выделить прямоугольные линейные сетки в трех ориентациях.	Заказать 3-7 кисромбиль, пример [7,3]⁺ (732) симметрия и [7,3], (* 732) (без цветов)

Смотрите также

использованная литература

Вейль, Германн (1982) [1952]. Симметрия. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.

внешние ссылки

СМИ, связанные с Вращательная симметрия по порядку в Wikimedia Commons
Примеры вращательной симметрии от Математика - это весело

Navigation