WikiDer > Псевдоевклидово пространство

Pseudo-Euclidean space

В математика и теоретическая физика, а псевдоевклидово пространство является конечнымразмерный настоящий п-Космос вместе с не-выродиться квадратичная форма q. Такая квадратичная форма может при соответствующем выборе основа (е1, ..., еп), применяется к вектору Икс = Икс1е1 + ... + Икспеп, давая

который называется скалярный квадрат вектора Икс.[1]:3

Для Евклидовы пространства, k = п, что означает, что квадратичная форма положительно определена.[2] Когда 0 ≠ kп, q является изотропная квадратичная форма. Обратите внимание, что если 1 ≤ яk и k < jп, тогда q(ея + еj) = 0, так что ея + еj это нулевой вектор. В псевдоевклидовом пространстве с kп, в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательный скалярный квадрат.

Как и в случае с термином Евклидово пространство, период, термин псевдоевклидово пространство может использоваться для обозначения аффинное пространство или векторное пространство в зависимости от автора, причем последний альтернативно упоминается как псевдоевклидово векторное пространство[3] (увидеть точечно-векторное различие).

Геометрия

Геометрия псевдоевклидова пространства согласована, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства не применяются, в первую очередь то, что оно не является метрическое пространство как объяснено ниже. В аффинная структура неизменна, а значит, и концепции линия, самолет и, как правило, аффинное подпространство (плоский), а также отрезки линии.

Положительные, нулевые и отрицательные скалярные квадраты

п = 3, k 1 или 2 в зависимости от выбора знак из q

А нулевой вектор - вектор, квадратичная форма которого равна нулю. В отличие от евклидова пространства, такой вектор может быть ненулевым, и в этом случае он самозатратится.ортогональный.Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданных { Икс : q(Икс) = 0 }. Когда псевдоевклидово пространство предоставляет модель для пространство-время (увидеть ниже) нулевой конус называется световой конус происхождения.

Нулевой конус разделяет два открытые наборы,[4] соответственно, для которых q(Икс) > 0 и q(Икс) < 0. Если k ≥ 2, то множество векторов, для которых q(Икс) > 0 является связанный. Если k = 1, то он состоит из двух непересекающихся частей, одна из которых Икс1 > 0 и еще один с Икс1 < 0. Аналогичные утверждения можно сделать для векторов, для которых q(Икс) < 0 если k заменяется на пk.

Интервал

Квадратичная форма q соответствует квадрату вектора в евклидовом случае. Чтобы определить векторная норма (и расстояние) в инвариантный манера, нужно получить квадратные корни скалярных квадратов, что, возможно, приводит к воображаемый расстояния; увидеть квадратный корень из отрицательных чисел. Но даже для треугольник с положительными скалярными квадратами всех трех сторон (квадратные корни которых вещественные и положительные), неравенство треугольника не держит в целом.

Следовательно, условия норма и расстояние избегаются в псевдоевклидовой геометрии, которую можно заменить на скалярный квадрат и интервал соответственно.

Хотя для кривая чья касательные векторы у всех скалярные квадраты одного знака, длина дуги определено. Он имеет важные приложения: см. подходящее время, Например.

Вращения и сферы

Hyperboloid1.png

В вращения группа такого пространства неопределенная ортогональная группа O (q), также обозначается как O (k, пk) без ссылки на конкретную квадратичную форму.[5] Такие «повороты» сохраняют форму q и, следовательно, скалярный квадрат каждого вектора, включая положительный он, нулевой или отрицательный.

В то время как евклидово пространство имеет единичная сферапсевдоевклидово пространство имеет гиперповерхности { Икс : q(Икс) = 1 } и { Икс : q(Икс) = −1 }. Такая гиперповерхность, называемая квазисфера, сохраняется соответствующей неопределенной ортогональной группой.

Симметричная билинейная форма

Квадратичная форма q рождает симметричная билинейная форма определяется следующим образом:

Квадратичная форма может быть выражена через билинейную форму: q(Икс) = ⟨Икс, Икс.

Когда Икс, у⟩ = 0, тогда Икс и у находятся ортогональный векторы псевдоевклидова пространства.

Эту билинейную форму часто называют скалярное произведение, а иногда как "внутренний продукт" или "скалярный продукт", но он не определяет внутреннее пространство продукта и он не обладает свойствами скалярное произведение евклидовых векторов.

Если Икс и у ортогональны и q(Икс)q(у) < 0, тогда Икс является гиперболо-ортогональный к у.

В стандартная основа настоящих п-пространство ортогональный. Орто нетнормальный базисов в псевдоевклидовом пространстве, для которых билинейная форма неопределенна, поскольку ее нельзя использовать для определения векторная норма.

Подпространства и ортогональность

Для подпространства (положительной размерности)[6] U псевдоевклидова пространства, когда квадратичная форма q является ограниченный к U, возможны следующие три случая:

  1. q|U либо положительный или отрицательный определенный. Потом, U по сути Евклидово (до знака q).
  2. q|U неопределенное, но невырожденное. Потом, U само по себе псевдоевклидово. Это возможно только если тусклыйU ≥ 2; если тусклыйU = 2, что означает чем U это самолет, то он называется гиперболическая плоскость.
  3. q|U является вырожденным.

Одно из самых неприятных свойств (для евклидовой интуиции) псевдоевклидовых векторов и плоскостей - это их ортогональность. Когда два ненулевых Евклидовы векторы ортогональны, они не коллинеарен. Пересечения любых евклидовых линейное подпространство с этими ортогональное дополнение это {0} подпространство. Но из определения из предыдущего пункта сразу следует, что любой вектор ν нулевого скалярного квадрата ортогонален сам себе. Следовательно изотропная линия N = ν созданный нулевой вектор ν является подмножеством своего ортогонального дополнения N.

Формальное определение ортогонального дополнения векторного подпространства в псевдоевклидовом пространстве дает совершенно четко определенный результат, удовлетворяющий равенству тусклыйU + тусклыйU = п из-за невырожденности квадратичной формы. Это просто условие

UU = {0} или, что то же самое, U + U = все пространство,

которое может быть нарушено, если подпространство U содержит нулевое направление.[7] В то время как подпространства сформировать решетку, как и в любом векторном пространстве, это операция не ортодополнение, в отличие от внутренние пространства продукта.

Для подпространства N составлен полностью нулевых векторов (что означает, что скалярный квадрат q, ограниченный N, равно 0) всегда выполняется:

NN или, что то же самое, NN = N.

Такое подпространство может иметь до мин (k, пk) Габаритные размеры.[8]

Для (положительного) евклидова k-подпространство его ортогональным дополнением является (пk)-мерное отрицательное «евклидово» подпространство, и наоборот. (d+ + d + d0)-мерное подпространство U состоящий из d+ положительный и d отрицательные размеры (см. Закон инерции Сильвестра для пояснения), его ортогональное «дополнение» U имеет (kd+d0) положительный и (пkdd0) отрицательные размеры, а остальные d0 они вырождены и образуют UU пересечение.

Закон параллелограмма и теорема Пифагора

В закон параллелограмма принимает форму

С использованием квадрат суммы тождество, для произвольного треугольника можно выразить скалярный квадрат третьей стороны из скалярных квадратов двух сторон и их произведения билинейной формы:

Это демонстрирует, что для ортогональных векторов псевдоевклидов аналог теорема Пифагора держит:

Угол

Конус Минковского lorentztransform.svg

Как правило, абсолютное значение |Икс, у| билинейной формы на двух векторах может быть больше, чем  |q(Икс)q(у)| , равно ему или меньше. Это вызывает аналогичные проблемы с определением угол (увидеть Точечное произведение § Геометрическое определение) так как появился выше для расстояний.

Если k = 1 (только один положительный член в q), то для векторов положительного скалярного квадрата:

что позволяет определить гиперболический угол, аналог угла между этими векторами через обратный гиперболический косинус:

[9]

Это соответствует расстоянию на (п − 1)-размерный гиперболическое пространство. Это известно как быстрота в контексте теории относительности обсуждались ниже. В отличие от евклидова угла принимает значения от [0, +∞) и равно 0 для антипараллельный векторы.

Нет разумного определения угла между нулевым вектором и другим вектором (нулевым или ненулевым).

Алгебра и тензорное исчисление

Как и евклидовы пространства, каждое псевдоевклидово векторное пространство порождает Алгебра Клиффорда. В отличие от свойств выше, где замена q к q изменил номера, но не геометрия, изменение знака квадратичной формы приводит к отдельной алгебре Клиффорда, так, например, Cl1,2(р) и Cl2,1(р) не изоморфны.

Как и над любым векторным пространством, существуют псевдоевклидовы тензоры. Как и в случае с евклидовой структурой, есть повышение и понижение показателей операторов, но, в отличие от случая с Евклидовы тензоры, есть нет баз, где эти операции не изменяют значения компонентов. Если есть вектор vβсоответствующие ковариантный вектор является:

и со стандартной формой

первый k компоненты vα численно такие же, как у vβ, а остальные пk имеют противоположные знаки.

Соответствие контравариантных и ковариантных тензоров составляет тензорное исчисление на псевдоримановы многообразия обобщение одного на римановых многообразиях.

Примеры

Очень важным псевдоевклидовым пространством является Пространство Минковского, который представляет собой математическую среду, в которой Альберт Эйнштейнтеория специальная теория относительности сформулирован. Для пространства Минковского, п = 4 и k = 3[10] так что

Геометрия, связанная с этой псевдометрикой, была исследована Пуанкаре.[11][12] Его группа вращения - это Группа Лоренца. В Группа Пуанкаре включает также переводы и играет ту же роль, что и Евклидовы группы обычных евклидовых пространств.

Еще одно псевдоевклидово пространство - это самолет z = Икс + yj состоящий из разделенные комплексные числа, снабженный квадратичной формой

Это простейший случай неопределенного псевдоевклидова пространства (п = 2, k = 1) и единственный, где нулевой конус рассекает пространство на четыре открытые наборы. Группа ТАК+(1, 1) состоит из так называемых гиперболические вращения.

Смотрите также

Сноски

  1. ^ Эли Картан (1981), Теория спиноров, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1
  2. ^ Евклидовы пространства рассматриваются как псевдоевклидовы пространства - см., Например, Рафаль Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры, Springer Science & Business Media, п. 32.
  3. ^ Рафаль Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры, Springer Science & Business Media, п. 32 [1]
  4. ^ В стандартная топология на рп предполагается.
  5. ^ Что такое «группа вращений», зависит от точного определения вращения. "O" группы содержат неправильные вращения. Преобразования, сохраняющие ориентация сформировать группу ТАК(q), или ТАК(k, пk), но это тоже не связанный если оба k и пk положительные. Группа ТАК+(q), сохраняющая ориентацию на положительных и отрицательных скалярных квадратах отдельно, является (связным) аналогом евклидовой группы вращений ТАК(п). Действительно, все эти группы Группы Ли измерения 1/2п(п − 1).
  6. ^ А линейное подпространство предполагается, но те же выводы верны для аффинного плоский с той лишь сложностью, что квадратичная форма всегда определяется на векторах, а не на точках.
  7. ^ Фактически, UU не равно нулю, только если квадратичная форма q ограниченный U является вырожденным.
  8. ^ Томас Э. Сесил (1992) Геометрия сферы Ли, стр. 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
  9. ^ Обратите внимание, что потому что(я Arccoshs) = s, Таким образом, для s > 0 их можно понимать как воображаемые углы.
  10. ^ Другое устоявшееся представление использует k = 1 и координаты индексов, начиная с 0 (оттуда q(Икс) = Икс02Икс12Икс22Икс32), но они эквивалентны до подписания из q. Увидеть Соглашение о подписи § Метрическая подпись.
  11. ^ Э. Пуанкаре (1906) О динамике электрона, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
  12. ^ Б. А. Розенфельд (1988) История неевклидовой геометрии, стр. 266, Исследования по истории математики и физических наук № 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

использованная литература

внешние ссылки