WikiDer > Rayleigh-Quotient

Es Rayleighs Quotient ist eine Skalarfunktion einer vektoriellen Variablen, die verwendet werden kann, um . zu schätzen Eigenvektoren das Eigenfrequenzen ein konservatives natürliches System abschätzen ${Anzeigestil M{ddot {q}} Kq=0}$. Der Rayleigh-Quotient ist definiert durch ${displaystyle R(q)={frac {q'Kq}{q'Mq}}}$. Der Rayleigh-Quotient wurde von dem englischen Physiker formuliert John Rayleigh.

Umleitung

Betrachten Sie ein konservatives natürliches System mit ${displaystyle m}$ Freiheitsgrade:

${Anzeigestil M{ddot {q}} Kq=0}$.

Sie ${displaystyle q(t)=e_{i}sin(omega _{i}t phi_{i})}$ das ${Anzeigestil i}$- der Modus, dann gilt:

${displaystyle -omega _{i}^{2}Me_{i} Ke_{i}=0}$.

Vormultiplizieren mit ${displaystyle e_{i}'}$ gibt ${displaystyle omega_{i}^{2}e_{i}'Me_{i}=e_{i}'Ke_{i}}$.

Und somit ${displaystyle omega_{i}^{2}={frac {e_{i}'Ke_{i}}{e_{i}'Mai}}}$.

Aus dieser letzten Beziehung erhält man die Eigenfrequenz ${displaystyle omega_{i}}$ berechne, wenn man den Eigenvektor nimmt ${displaystyle e_{i}}$ weiß. Eine physikalische Interpretation dieses Ausdrucks ist

${displaystyle {frac {1}{2}}e_{i}'Ke_{i}={frac {1}{2}}omega _{i}^{2}e_{i}'Me_{i}}$.

Hier ist die rechte Seite das Maximum potenzielle Energie und die linke Seite das Maximum kinetische Energie wenn das System im schwingt ${Anzeigestil i}$- der Modus.