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EIN RLC-Schaltung ist ein Elektrischer Kreislauf das auch Resonanzkreis wird genannt. Diese Schaltung besteht aus a Widerstand (R), a Spule/Induktor (L) und a Kondensator (C), die in Reihe oder parallel geschaltet sind. Eine RLC-Schaltung wird Schaltung zweiter Ordnung genannt, weil die Spannung oder der Strom in der Schaltung durch eine zweite Ordnung beschrieben werden kann Differentialgleichung.

Elektrische Resonanz

Im elektronische Schaltkreise kann Resonanz erreicht werden durch a Spule und ein Kondensator miteinander verbunden werden (in einem LC-Kreis). Für die Resonanz ist kein Widerstand notwendig, aber in der Praxis gibt es immer einen gewissen Widerstand im Stromkreis. Diese Schaltung wird daher oft als bezeichnet LC-Kreis angegeben.

Resonanzfrequenz

Ein Ideal LC-Kreis enthält keinen Widerstand. Beim Zuschalten dieser Schaltung, beispielsweise durch Aufladen des Kondensators, entsteht eine Schwingung mit Frequenzf₀, wo Energie periodisch vom Kondensator zur Spule und umgekehrt fließt. Ohne Widerstand treten keine Verluste auf und die Schaltung schwingt weiter.

Die Resonanzkreisfrequenz ω₀ (in Radiant pro Sekunde) ist gegeben durch:

${displaystyle omega _{0}={frac {1}{sqrt {LC}}}}$

in welchem

l die Induktivität der Spule in Henry, und

C die Kapazität des Kondensators in Farad

Die Resonanzfrequenz f₀ im Hertz wird gefunden von:

${displaystyle f_{0}={frac {omega _{0}}{2pi }}={1 über 2pi {sqrt {LC}}}}$

Resonanz tritt auf, wenn die komplexe Impedanzz_LC des LC-Kreises 0 wird:

z_LC = z_lz_C = 0

Beide Impedanzen sind eine Funktion von komplexe Winkelgeschwindigkeit s:

z_l = l_so

Gleichsetzen dieser Frequenzen und Auflösen nach s ergibt:

${displaystyle s=pm jomega _{o}=pm j{1 links {sqrt {LC}}}}$

Die Resonanzfrequenz ω_Ö ist im obigen Ausdruck für die Resonanzkreisfrequenz gegeben.

Dämpfungsfaktor

Das Dämpfungsfaktor des Schwingkreises (in Bogenmaß pro Sekunde) ist:

${displaystyle zeta={R über 2L}}$

Anwendungen von Schwingkreisen erfordern eine möglichst geringe Dämpfung. In der Praxis wird dies durch den Widerstand erreicht R im Kreislauf so klein wie physikalisch möglich. In diesem Fall wird es wordt RLC-Schaltung eine gute Annäherung an das Ideal LC-Kreis was in der Praxis nicht machbar ist. (Auch wenn kein Widerstand im Stromkreis enthalten ist, gibt es immer einen sehr kleinen, aber nicht vernachlässigbaren Widerstand der Drähte, Komponenten und Verbindungen zwischen den Teilen, der nicht vollständig eliminiert werden kann.)

Der Wellenwiderstand

das Merkmal Impedanz z ₀ (Einheit Ω) gibt den Quotienten von Amplitude von Stromspannung und fließen im LC-Kreis bei der Resonanzfrequenz und berechnet sich aus:

${displaystyle Z_{0}={sqrt {frac {L}{C}}}}$

Der Qualitätsfaktor Q

Der Gütefaktor Q der Reihenschaltung berechnet sich aus dem Verhältnis der Resonanzfrequenz ${displaystyle omega_{o}}$ und der Bandbreite${Anzeigestil Delta Omega }$ (in Radiant pro Sekunde):

${displaystyle Q_{s}={omega _{o} über Delta omega }={omega _{o} über 2zeta }={L über R{sqrt {LC}}}={1 über R}{sqrt {L über C}}}$

Oder in Hertz:

${displaystyle Q_{s}={f_{o} über Delta f}={2pi f_{o}L über R}={1 über {sqrt {R^{2}C/L}}}={1 über R }{Quadrat {L über C}}}$

Für die Parallelschaltung:

${displaystyle Q_{p}={1 über Q_{s}}}$

Der Gütefaktor Q ist eine dimensionslose Größe.

Schaltungsanalyse

Reihenschaltung von R,L und C mit Thévenin-Spannungsquelle

In dieser Schaltung sind alle drei Komponenten in Reihe mit dem Spannungsquelle.

Darin ist: v - die Spannung der Spannungsquelle in Volt (V); ich - der Strom durch den Stromkreis in Ampere (EIN); R - das Widerstand im Ohm (Ω = F/A); l - das Induktion von der Spule in Henry (H = Vso/EIN); C - das Kapazität des Kondensators in Farad (F = C/V = A·s/V).

Mit den Parametern v, R, L und C erhält man die Lösung für den Strom (I) mit Kirchhoffsches Spannungsgesetz (zweites Kirchhoffsches Gesetz):

${Anzeigestil {v_{R} v_{L} v_{C}=v}}$

Mit unterschiedlicher Spannung v(t), das wird

${displaystyle Ri(t) L{{di} über {dt}} {1 über C}int _{-infty }^{t}i(au),dau =v(t)}$

Die Aufarbeitung dieser Gleichung führt zu der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${displaystyle {{d^{2}i} über {dt^{2}}} {R über L}{{di} über {dt}} {1 über {LC}}i(t)={1 über L }{{dv} über {dt}}}$

Wir definieren nun zwei Kernparameter:

${displaystyle zeta={R über 2L}}$

und

${displaystyle omega _{0}={1 über {sqrt {LC}}}}$

beide sind gemessen in Bogenmaß pro Sekunde.

Einsetzen dieser Parameter in die Differentialgleichung ergibt:

${displaystyle {{d^{2}i} über {dt^{2}}} 2zeta {{di} über {dt}} Omega _{0}^{2}i(t)={1 über L}{ {dv} über {dt}}}$

Das Null-Eingangsantwort (ZIR)-Lösung

Wenn wir die Spannungsquelle auf Null schalten, erhalten wir:

${displaystyle {{d^{2}i} über {dt^{2}}} 2zeta {{di} über {dt}} Omega _{o}^{2}i(t)=0}$

mit der Anfangsbedingung für den Strom durch die Spule I_l(0) und die Spannung am Kondensator V_C(0). Um die Gleichung sauber zu lösen, benötigen wir auch die Anfangsbedingungen für I(0) und I'(0).

Ersteres ist bereits bekannt, da der Strom durch den Stromkreis auch der Strom durch die Spule ist. So:

${Anzeigestil i(0)=i_{L}(0)}$

Die zweite kann wieder erhalten werden durch Kirchhoffsches Spannungsgesetz (zweites Kirchhoffsches Gesetz):

${Anzeigestil v_{R}(0) v_{L}(0) v_{C}(0)=0}$

${displaystyle Pfeil nach rechts i(0)R i'(0)L v_{C}(0)=0}$

${displaystyle Rightarrow i'(0)={1 over L}left[-v_{C}(0)-I(0)Right]}$

Wir haben jetzt a homogen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei Anfangsbedingungen. Ersetzen der beiden Parameter ζ und ω₀ liefert

${displaystyle i'' 2zeta i' omega _{0}^{2}i=0}$

Wir können diese Form der Gleichung in umwandeln charakteristisches Polynom

${Displaystil Lambda ^{2} 2zeta Lambda Omega _{0}^{2}=0}$

Durch die Anwendung ABC-Formel Können wir die Wurzeln finden:

${displaystyle lambda =-zeta pm {sqrt {zeta ^{2}-omega _{0}^{2}}}}$

Abhängig von den Werten von und ω₀ Es gibt drei mögliche unterschiedliche Zustände:

Überdämpfung

RLC in Serie überdämpft

${displaystyle zeta >omega _{0}Rechtspfeil RC>4{L über R}}$

In diesem Fall sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms beide negative reelle Zahlen. Dieser Fall wird "Überdämpfung" genannt.

Die Lösungen für zwei negative Wurzeln sind:

${displaystyle I(t)=Ae^{lambda _{1}t} Be^{lambda _{2}t}}$

kritische Dämpfung

RLC in Serie kritisch stummgeschaltet

${displaystyle zeta =omega _{0}Rechtspfeil RC=4{L über R}}$

In diesem Fall sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms gleich negative reelle Zahlen. Dieser Fall wird als "kritische Dämpfung" bezeichnet.

Die beiden Wurzeln sind identisch :(${Displaystil Lambda _{1}=Lambda _{2}=Lambda}$) sind die Lösungen:

${Displaystil I(t)=(A Bt)e^{lambda t}}$

für beliebige Konstanten ein und B

Unterdämpfung

${displaystyle zeta$

In diesem Fall sind die Lösungen solutions komplex konjugiert, und haben einen negativen Realteil. Diese Situation wird als "Unterdämpfung" bezeichnet und führt zu Schwingungen (Resonanz) im Stromkreis. Die Lösung besteht aus zwei konjugierten Wurzeln

${displaystyle lambda _{1}=-zeta iomega _{c}}$

und

${displaystyle lambda _{2}=-zeta -iomega _{c}}$

in welchem

${displaystyle omega _{c}={sqrt {omega _{o}^{2}-zeta ^{2}}}}$

Die Lösungen sind:

${displaystyle i(t)=Ae^{(-zeta i)t} Be^{(-zeta -iomega _{c})t}}$

für beliebige Konstanten ein und B.

Verwenden von Eulersche Formel Können wir die Lösung vereinfachen zu:

${displaystyle i(t)=e^{-zeta t}links[Csin(omega _{c}t) Dcos(omega_{c}t)ight]}$

für beliebige Konstanten C und d.

Diese Lösungen sind gekennzeichnet durch a exponentiell abklingender sinusförmiger Verlauf. Die Zeit bis zum Abklingen der Schwingung hängt von der Qualitätsfaktor Q der Schaltung. Je höher der Gütefaktor, desto länger dauert es, bis die Schwingung abklingt.

Siehe auch

• LC-Kreis

Externer Link

• (und) Java-Applet einer RLC-Schaltung