WikiDer > Уточняемая функция

Refinable function

В математика, в районе вейвлет анализ, а уточняющая функция это функция, которая выполняет своего рода самоподобие. Функция ${displaystyle varphi}$ называется масштабируемой по маске ${displaystyle h}$ если

{displaystyle varphi (x) = 2cdot sum _ {k = 0} ^ {N-1} h_ {k} cdot varphi (2cdot x-k)}

Это состояние называется уточняющее уравнение, уравнение растяжения или двухмасштабное уравнение.

С использованием свертка (обозначена звездочкой *) функции с дискретной маской и оператором растяжения ${displaystyle D}$ можно написать более кратко:

{displaystyle varphi = 2cdot D_ {1/2} (h * varphi)}

Это означает, что функция снова получается, если вы сворачиваете функцию с дискретной маской, а затем масштабируете ее обратно. системы повторяющихся функций и кривые де Рама.

Оператор ${displaystyle varphi mapsto 2cdot D_ {1/2} (h * varphi)}$ линейна. уточняющая функция - это собственная функция этого оператора, его абсолютное значение не определено однозначно, то есть если ${displaystyle varphi}$ - уточняющая функция, то для каждого ${displaystyle c}$ функция ${displaystyle ccdot varphi}$ тоже можно уточнить.

Эти функции играют фундаментальную роль в вейвлет теория как функции масштабирования.

Характеристики

Значения в целых точках

Уточняемая функция определяется только неявно. Также может быть, что существует несколько функций, которые могут быть уточнены по одной и той же маске. ${displaystyle varphi}$ должна иметь конечную опору и требуются значения функции при целочисленных аргументах, тогда двухмасштабное уравнение становится системой совместные линейные уравнения.

Позволять ${displaystyle a}$ быть минимальным индексом и ${displaystyle b}$ быть максимальным индексом ненулевых элементов ${displaystyle h}$ , то получаем

{displaystyle {egin {pmatrix} varphi (a) varphi (a + 1) vdots varphi (b) end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} h_ {a} &&&&&& h_ {a + 2} & h_ { a + 1} & h_ {a} &&& h_ {a + 4} & h_ {a + 3} & h_ {a + 2} & h_ {a + 1} & h_ {a} & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & ddots & h_ {b } & h_ {b-1} & h_ {b-2} & h_ {b-3} & h_ {b-4} &&& h_ {b} & h_ {b-1} & h_ {b-2} &&&&& h_ {b} end {pmatrix }} cdot {egin {pmatrix} varphi (a) varphi (a + 1) vdots varphi (b) end {pmatrix}}.}

С использованием дискретизация оператор, назови это ${displaystyle Q}$ здесь и матрица передачи из ${displaystyle h}$ , названный ${displaystyle T_ {h}}$ , кратко это можно записать как

{displaystyle Qvarphi = T_ {h} cdot Qvarphi.,}

Это снова уравнение с фиксированной точкой. Но теперь это можно рассматривать как собственный вектор-собственное значение проблема. То есть масштабирующая функция с конечным носителем существует только (но не обязательно), если ${displaystyle T_ {h}}$ имеет собственное значение 1.

Ценности в диадических точках

Из значений в целых точках вы можете получить значения в диадических точках, т.е. точки формы ${displaystyle kcdot 2 ^ {- j}}$ , с участием ${displaystyle kin mathbb {Z}}$ и ${displaystyle jin mathbb {N}}$ .

{displaystyle varphi = D_ {1/2} (2cdot (h * varphi))}

{displaystyle D_ {2} varphi = 2cdot (h * varphi)}

{displaystyle Q (D_ {2} varphi) = Q (2cdot (h * varphi)) = 2cdot (h * Qvarphi)}

Звездочка обозначает свертка дискретного фильтра с функцией. На этом шаге вы можете вычислить значения в точках формы ${displaystyle {frac {k} {2}}}$ .Путем повторной замены ${displaystyle varphi}$ к ${displaystyle D_ {2} varphi}$ вы получаете значения во всех более мелких масштабах.

{displaystyle Q (D_ {2 ^ {j + 1}} varphi) = 2cdot (h * Q (D_ {2 ^ {j}} varphi))}

Свертка

Если ${displaystyle varphi}$ уточняется относительно ${displaystyle h}$ ,и ${displaystyle psi}$ уточняется относительно ${displaystyle g}$ ,тогда ${displaystyle varphi * psi}$ уточняется относительно ${displaystyle h * g}$ .

Дифференциация

Если ${displaystyle varphi}$ уточняется относительно ${displaystyle h}$ , а производная ${displaystyle varphi '}$ существует, тогда ${displaystyle varphi '}$ уточняется относительно ${displaystyle 2cdot h}$ Это можно интерпретировать как частный случай свойства свертки, когда один из операндов свертки является производной от Импульс Дирака.

Интеграция

Если ${displaystyle varphi}$ уточняется относительно ${displaystyle h}$ , и есть первообразная ${displaystyle Phi}$ с ${displaystyle Phi (t) = int _ {0} ^ {t} varphi (au) mathrm {d} au}$ , то первообразная ${displaystyle tmapsto Phi (t) + c}$ уточняется относительно маски ${displaystyle {frac {1} {2}} cdot h}$ где постоянная ${displaystyle c}$ должен выполнить ${displaystyle ccdot (1-сумма _ {j} h_ {j}) = sum _ {j} h_ {j} cdot Phi (-j)}$ .

Если ${displaystyle varphi}$ имеет ограниченная поддержка, то мы можем интерпретировать интегрирование как свертку с Функция Хевисайда и применить закон свертки.

Скалярные произведения

Вычисление скалярных произведений двух уточняемых функций и их преобразований можно разбить на два вышеуказанных свойства. ${displaystyle T}$ быть оператором перевода. Он держит

{displaystyle langle varphi, T_ {k} psi angle = langle varphi * psi ^ {*}, T_ {k} delta angle = (varphi * psi ^ {*}) (k)}

где ${displaystyle psi ^ {*}}$ это прилегающий из ${displaystyle psi}$ относительно свертка, т.е. ${displaystyle psi ^ {*}}$ это перевернутое и комплексно сопряженный версия ${displaystyle psi}$ , т.е. ${displaystyle psi ^ {*} (t) = {overline {psi (-t)}}}$ .

Из-за вышеуказанного свойства ${displaystyle varphi * psi ^ {*}}$ уточняется относительно ${displaystyle h * g ^ {*}}$ , а его значения при целочисленных аргументах могут быть вычислены как собственные векторы передаточной матрицы. Эту идею легко обобщить на интегралы от произведений более чем двух масштабирующих функций.^[1]

Гладкость

Уточняемая функция обычно имеет фрактальную форму. Конструкция непрерывных или гладких улучшаемых функций не очевидна. Прежде чем иметь дело с принудительной гладкостью, необходимо измерить гладкость уточняемых функций. Использование машины Виллемоэса^[2]можно вычислить гладкость масштабирующих функций в терминах Соболевские экспоненты.

На первом этапе маска уточнения ${displaystyle h}$ разделен на фильтр ${displaystyle b}$ , который является степенью коэффициента гладкости ${displaystyle (1,1)}$ (это биномиальная маска) и отдых ${displaystyle q}$ .Грубо говоря, биномиальная маска ${displaystyle b}$ делает гладкость и ${displaystyle q}$ представляет фрактальную составляющую, которая снова снижает гладкость. Теперь показатель Соболева примерно равен порядку ${displaystyle b}$ минус логарифм из спектральный радиус из ${displaystyle T_ {q * q ^ {*}}}$ .

Обобщение

Концепция масштабируемых функций может быть обобщена на функции более чем одной переменной, то есть на функции от ${displaystyle mathbb {R} ^ {d} o mathbb {R}}$ .Самое простое обобщение касается тензорные произведения.Если ${displaystyle varphi}$ и ${displaystyle psi}$ могут быть уточнены относительно ${displaystyle h}$ и ${displaystyle g}$ соответственно, то ${displaystyle varphi otimes psi}$ уточняется относительно ${displaystyle hotimes g}$ .

Схема может быть еще больше обобщена для различных коэффициентов масштабирования по отношению к разным измерениям или даже для смешивания данных между измерениями.^[3]Вместо масштабирования скалярным множителем вроде 2, координаты сигнала преобразуются матрицей ${displaystyle M}$ целых чисел.Чтобы схема работала, абсолютные значения всех собственных значений ${displaystyle M}$ должно быть больше единицы. (Возможно, этого достаточно, чтобы ${displaystyle | det M |> 1}$ .)

Формально двухмасштабное уравнение не сильно меняется:

{displaystyle varphi (x) = | det M | cdot sum _ {kin mathbb {Z} ^ {d}} h_ {k} cdot varphi (Mcdot x-k)}

{displaystyle varphi = | det M | cdot D_ {M ^ {- 1}} (h * varphi)}

Примеры

Если определение распространяется на распределения, то Импульс Дирака масштабируемо относительно единичного вектора ${displaystyle delta}$ , который известен как Дельта Кронекера. В ${displaystyle n}$ -я производная распределения Дирака уточняема по ${displaystyle 2 ^ {n} дельта cdot}$ .
В Функция Хевисайда уточняется относительно ${displaystyle {frac {1} {2}} дельта cdot}$ .
В усеченные степенные функции с показателем ${displaystyle n}$ могут быть уточнены относительно ${displaystyle {frac {1} {2 ^ {n + 1}}} дельта CDOT}$ .
В треугольная функция - уточняемая функция.^[4] B-шлиц функции с последовательными целыми узлами масштабируемы из-за теоремы о свертке и масштабируемости характеристическая функция для интервала ${displaystyle [0,1)}$ (а функция товарного вагона).
Все полиномиальные функции уточняются. Для каждой уточняющей маски существует многочлен, который определяется однозначно с точностью до постоянного множителя. Для каждого полинома степени ${displaystyle n}$ есть много масок уточнения, которые все различаются маской типа ${displaystyle v * (1, -1) ^ {n + 1}}$ для любой маски ${displaystyle v}$ и сверточная мощность ${displaystyle (1, -1) ^ {n + 1}}$ .^[5]
А рациональная функция ${displaystyle varphi}$ уточняется тогда и только тогда, когда он может быть представлен с помощью частичные фракции так как ${displaystyle varphi (x) = sum _ {iin mathbb {Z}} {frac {s_ {i}} {(x-i) ^ {k}}}}$ , где ${displaystyle k}$ это положительный натуральное число и ${displaystyle s}$ - вещественная последовательность с конечным числом ненулевых элементов (a Многочлен Лорана) такие, что ${displaystyle s | (стрелка 2)}$ (читать: ${displaystyle существует h (z) в mathbb {R} [z, z ^ {- 1}] h (z) cdot s (z) = s (z ^ {2})}$ ). Многочлен Лорана ${displaystyle 2 ^ {k-1} cdot h}$ - соответствующая маска уточнения.^[6]