WikiDer > Regula falsch

regula falsch, oder der Methode der regula falsi, ist ein numerischAlgorithmus um die Nullen von a Funktion zu entscheiden. Es Algorithmuskonvergiert langsamer als die Newton-RaphsonMethode, ist aber stabiler. Das Verfahren verwendet aufeinanderfolgende Iterationen des gesuchten Punktes und kombiniert Eigenschaften von combines Halbierung und der Sekantenmethode.

Methode

regula falsch beginnt mit zwei Punkten nahe dem Nullpunkt, deren Funktionswerte entgegengesetzte Vorzeichen haben, also unterhalb und oberhalb der x-Achse. Der Nullpunkt liegt dann irgendwo zwischen diesen beiden Punkten. Dann wird der Schnittpunkt mit der x-Achse der Verbindungslinie der Punkte auf dem Funktionsgraphen an den beiden vorherigen Punkten bestimmt. Aus dem Vorzeichen des Funktionswertes in diesem Schnittpunkt wird bestimmt, in welchem ​​Intervall, gebildet aus diesem Punkt und einem der vorhergehenden, die Null liegt. Somit wird das Intervall, in dem sich die Null befindet, sukzessive verringert.

Definition

regula falsch berechnet sukzessive Approximationen in Form eines Intervalls ${Anzeigestil [a_{n},,b_{n}]}$ wobei eine Nullstelle der Funktion ${displaystyle f}$ liegt bei dem by Rekursion:

${displaystyle c_{n}=a_{n}-{frac {a_{n}-b_{n}}{f(a_{n})-f(b_{n})}}f(a_{n}) }$

und (die untere Grenze wird verschoben)

${displaystyle a_{n 1}=c_{n}, b_{n 1}=b_{n}}$ wenn ${Anzeigestil f(a_{n})f(c_{n})>0}$

oder (die Obergrenze wird nach hinten verschoben)

${displaystyle a_{n 1}=a_{n}, b_{n 1}=c_{n}}$ wenn ${Anzeigestil f(b_{n})f(c_{n})>0}$

Darin sind ${displaystyle a_{0}}$ und ${displaystyle b_{0}}$ zwei Startwerte auszuwählen, für die gilt:

${Anzeigestil f(a_{0})f(b_{0})<0}$

Geometrische Interpretation

Animation von regula falsi

Gegeben eine Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ und zwei Werte ${Anzeigestil a}$ und ${Anzeigestil b(a$ vor dem ${Anzeigestil x}$, so dass ${Anzeigestil f(a)f(b)<0}$ (mit anderen Worten: einer liegt über der x-Achse, der andere darunter). Jetzt sofort kontinuierliche Funktion wird die funktion ${displaystyle f}$ im Intervall ${Anzeigestil (a,b)}$ Null werden. Dieser Nullpunkt wird durch die Punkte angenähert ${Anzeigestil (a,f(a))}$ und ${Anzeigestil (b,f(b))}$ mit einer geraden Linie und dem Schnittpunkt dieser Linie lijn ${Anzeigestil c}$ mit der x-Achse zu bestimmen, nach:

${Anzeigestil c=b-f(b){frac {b-a}{f(b)-f(a)}}}$

Diese Kreuzung ${Anzeigestil c}$ ist eine Annäherung an den Nullpunkt. Dieser Ansatz wird verwendet, um iterativ nach einer Lösung zu suchen. Dies erfordert das Zeichen von ${Anzeigestil f(c)}$ und einer der Punkte a und b, so dass ${Anzeigestil f(a)f(c)<0}$ oder ${Anzeigestil f(b)f(c)<0}$ (ausgangsbedingung).

Externe Links

• Java-Applet