WikiDer > Гипотеза Шена – Яу

Schoen–Yau conjecture

В математика, то Гипотеза Шена – Яу это опровергнутая гипотеза в гиперболическая геометрия, названный в честь математики Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу.

Он был вдохновлен теоремой Эрхард Хайнц (1952). Один из методов опровержения - использование Поверхности Шерка, как используется Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин (2006).

Постановка и утверждение гипотезы

Позволять быть комплексная плоскость рассматривается как Риманово многообразие с его обычной (плоской) римановой метрикой. Позволять обозначить гиперболическая плоскость, т.е. единичный диск

наделен гиперболической метрикой

Э. Хайнц доказал в 1952 г., что не может быть гармонический диффеоморфизм

В свете этой теоремы Шен предположил, что не существует гармонического диффеоморфизма

(Неясно, как имя Яу стало ассоциироваться с гипотезой: в неопубликованной переписке с Гарольдом Розенбергом и Шен, и Яу идентифицируют Шена как постулирующего эту гипотезу). Гипотеза Шена (-Яу) с тех пор была опровергнута.

Комментарии

Акцент делается на существовании или отсутствии гармонический диффеоморфизм, и что это свойство является «односторонним» свойством. Более подробно: предположим, что мы рассматриваем два римановых многообразия M и N (с соответствующими показателями) и напишите

если существует диффеоморфизм из M на N (в обычной терминологии M и N диффеоморфны). Написать

если существует гармонический диффеоморфизм из M на N. Нетрудно показать, что (будучи диффеоморфным) является отношение эквивалентности на объекты из категория римановых многообразий. Особенно, это симметричное отношение:

Можно показать, что гиперболическая плоскость и (плоская) комплексная плоскость действительно диффеоморфны:

поэтому вопрос в том, являются ли они «гармонически диффеоморфными». Однако, как показывают истинность теоремы Хайнца и ложность гипотезы Шена – Яу, не является симметричным отношением:

Таким образом, быть «гармонически диффеоморфным» является гораздо более сильным свойством, чем просто быть диффеоморфным, и может быть «односторонним» отношением.

Рекомендации

  • Хайнц, Эрхард (1952). "Über die Lösungen der Minimalflächengleichung". Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Math.-Phys. Kl. Math.-Phys.-Chem. Abt. 1952: 51–56.
  • Коллин, Паскаль; Розенберг, Гарольд (2010). «Построение гармонических диффеоморфизмов и минимальных графов». Анна. математики. 2. 172 (3): 1879–1906. arXiv:математика / 0701547. Дои:10.4007 / анналы.2010.172.1879. ISSN 0003-486X. МИСТЕР2726102