WikiDer > Гипотеза Борсука - Википедия

Пример шестиугольник разрезать на три части меньшего диаметра.

В Задача Борсука в геометрии, по историческим причинам^{[примечание 1]} неправильно назван Борсука догадка, это вопрос в дискретная геометрия. Он назван в честь Кароль Борсук.

Проблема

В 1932 г. Кароль Борсук показал^[2] что обычная трехмерная мяч в Евклидово пространство можно легко разделить на 4 тела, каждое из которых имеет меньшую диаметр чем мяч, и вообще п-размерный шар можно покрыть п + 1 компактный наборы диаметров меньше шара. В то же время он доказал, что п подмножества не хватает вообще. Доказательство основано на Теорема Борсука – Улама.. Это привело Борсука к общему вопросу:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ в (п + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?^[2]

Это можно перевести как:

Остается открытым вопрос: может ли каждый ограниченный подмножество E пространства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ быть разделенный в (п + 1) наборы, каждый из которых имеет меньший диаметр, чем E?

На вопрос был дан положительный ответ в следующих случаях:

• п = 2 - оригинальный результат Кароля Борсука (1932).
• п = 3 - показано Джулианом Перкалом (1947),^[3] и независимо, 8 лет спустя, Х. Г. Эгглстоном (1955).^[4] Простое доказательство было позже найдено Бранко Грюнбаум и Аладар Хеппес.
• Для всех п за гладкий выпуклые тела - показаны Хьюго Хадвигер (1946).^[5][6]
• Для всех п за центрально-симметричный тела - показано А.С. Рислинг (1971).^[7]
• Для всех п за органы революции - показан Борисом Декстером (1995).^[8]

Проблема была окончательно решена в 1993 г. Джефф Кан и Гил Калаи, который показал, что общий ответ на вопрос Борсука - нет.^[9] Они утверждают, что их конструкция показывает, что п + 1 штук не хватает для п = 1325 и для каждого п > 2014. Однако, как указал Бернульф Вайсбах,^[10] первая часть этого утверждения на самом деле ложна. Но после улучшения субоптимального вывода в соответствующем выводе, действительно можно проверить одно из построенных наборов точек как контрпример для п = 1325 (как и все высшие размерности до 1560).^[11]

Их результат был улучшен в 2003 году Хинрихсом и Рихтером, которые построили конечные множества для п ≥ 298, который нельзя разбить на п + 11 детали меньшего диаметра.^[1]

В 2013 году Андрей Бондаренко показал, что гипотеза Борсука ложна для всех. п ≥ 65.^[12][13] Вскоре после этого Томас Дженрих вывел 64-мерный контрпример из конструкции Бондаренко, дав наилучшую оценку до сих пор.^[14][15]

Помимо поиска минимального количества п таких размеров, чтобы количество штук ${ Displaystyle альфа (п)> п + 1}$, математики заинтересованы в выяснении общего поведения функции ${ Displaystyle альфа (п)}$. Кан и Калаи показывают, что в целом (то есть для п достаточно большой), нужно ${ Displaystyle альфа (п) geq (1.2) ^ { sqrt {п}}}$ много штук. Они также цитируют верхнюю границу Одед Шрамм, который показал это для каждого ε, если п достаточно большой, ${ Displaystyle альфа (п) leq влево ({ sqrt {3/2}} + varepsilon right) ^ {п}}$.^[16] Правильный порядок величины α(п) пока неизвестно.^[17] Однако предполагается, что существует постоянная c > 1 такой, что ${ Displaystyle альфа (п)> с ^ {п}}$ для всех п ≥ 1.

Смотрите также

• Гипотеза Хадвигера о покрытии выпуклых тел уменьшенными копиями самих себя

Примечание

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Олег Пихурко, Алгебраические методы в комбинаторике, примечания к курсу.
• Андрей М. Райгородский, Проблема разбиения Борсука: к семидесятилетию, Математический интеллигент 26 (2004), нет. 3, 4–12.
• Райгородский, Андрей М. (2008). «Три лекции по проблеме разбиения Борсука». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике. Серия лекций Лондонского математического общества. 347. Издательство Кембриджского университета. С. 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl 1144.52005.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Борсука". MathWorld.