WikiDer > Экранированное уравнение Пуассона

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Экранированное уравнение Пуассона» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Июль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В физика, то экранированное уравнение Пуассона это Уравнение Пуассона, которая возникает (например) в Уравнение Клейна – Гордона, экранирование электрического поля в плазма, и нелокальная гранулярная текучесть^[1] в гранулированный поток.

Постановка уравнения

Уравнение

${ displaystyle left [ Delta - lambda ^ {2} right] u ( mathbf {r}) = - f ( mathbf {r}),}$

где ${ displaystyle Delta}$ это Оператор Лапласа, λ - константа, выражающая "экранирование", ж - произвольная функция положения (известная как "функция источника") и ты - функция, которую предстоит определить.

В однородном случае (f = 0) экранированное уравнение Пуассона такое же, как и не зависящее от времени Уравнение Клейна – Гордона. В неоднородном случае экранированное уравнение Пуассона очень похоже на уравнение неоднородное уравнение Гельмгольцас той лишь разницей, что знак в скобках.

Решения

Три измерения

Без ограничения общности возьмем λ быть неотрицательным. Когда λ является нуль, уравнение сводится к Уравнение Пуассона. Следовательно, когда λ очень мало, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое по размерности ${ displaystyle n = 3}$, является суперпозицией 1 /р функции, взвешенные функцией источника ж:

${ Displaystyle и ( mathbf {r}) _ {({ text {Poisson}})} = iiint mathrm {d} ^ {3} r '{ frac {f ( mathbf {r}') } {4 pi | mathbf {r} - mathbf {r} '|}}.}$

С другой стороны, когда λ очень большой, ты приближается к стоимости f / λ², которая стремится к нулю при λ уходит в бесконечность. Как мы увидим, решение для промежуточных значений λ ведет себя как суперпозиция экранированный (или с демпфированием) 1 /р функции, с λ ведет себя как сила экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона можно решить для общих ж используя метод Функции Грина. Функция Грина грамм определяется

${ displaystyle left [ Delta - lambda ^ {2} right] G ( mathbf {r}) = - delta ^ {3} ( mathbf {r}),}$

где δ³ это дельта-функция с единичной массой, сосредоточенной в начале р³.

Предполагая ты и его производные исчезают в целом р, мы можем выполнить непрерывное преобразование Фурье в пространственных координатах:

${ Displaystyle G ( mathbf {k}) = iiint mathrm {d} ^ {3} r ; G ( mathbf {r}) e ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {r }}}$

где интеграл берется по всему пространству. Тогда несложно показать, что

${ displaystyle left [k ^ {2} + lambda ^ {2} right] G ( mathbf {k}) = 1.}$

Функция Грина в р поэтому дается обратным преобразованием Фурье,

${ Displaystyle G ( mathbf {r}) = { frac {1} {(2 pi) ^ {3}}} ; iiint mathrm {d} ^ {3} ! k ; { frac {e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {r}}} {k ^ {2} + lambda ^ {2}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить с помощью сферические координаты в k-Космос. Интегрирование по угловым координатам выполняется просто, и интеграл сводится к единице по радиальному волновое число ${ displaystyle k_ {r}}$:

${ Displaystyle G ( mathbf {r}) = { frac {1} {2 pi ^ {2} r}} ; int _ {0} ^ {+ infty} mathrm {d} k_ { r} ; { frac {k_ {r} , sin k_ {r} r} {k_ {r} ^ {2} + lambda ^ {2}}}.}$

Это можно оценить с помощью контурная интеграция. Результат:

${ displaystyle G ( mathbf {r}) = { frac {e ^ {- lambda r}} {4 pi r}}.}$

Тогда решение полной проблемы дается

${ Displaystyle и ( mathbf {r}) = int mathrm {d} ^ {3} r'G ( mathbf {r} - mathbf {r} ') f ( mathbf {r}') = int mathrm {d} ^ {3} r '{ frac {e ^ {- lambda | mathbf {r} - mathbf {r}' |}} {4 pi | mathbf {r} - mathbf {r} '|}} f ( mathbf {r}').}$

Как указано выше, это суперпозиция экранированных 1 /р функции, взвешенные функцией источника ж и с λ действуя как сила скрининга. Показанный 1 /р функция часто встречается в физике как экранированный кулоновский потенциал, также называемый "Потенциал Юкавы".

Два измерения

В двух измерениях: в случае намагниченной плазмы экранированное уравнение Пуассона является квазидвумерным:

${ displaystyle left ( Delta _ { perp} - { frac {1} { rho ^ {2}}} right) u ( mathbf {r} _ { perp}) = - f ( mathbf {r} _ { perp})}$

с ${ displaystyle Delta _ { perp} = nabla cdot nabla _ { perp}}$ и ${ displaystyle nabla _ { perp} = nabla - { frac { mathbf {B}} {B}} cdot nabla}$, с участием ${ displaystyle mathbf {B}}$ магнитное поле и ${ displaystyle rho}$ это (ион) Ларморовский радиус.Двумерный Преобразование Фурье связанных Функция Грина является:

${ Displaystyle G ( mathbf {к _ { perp}}) = iint d ^ {2} r ~ G ( mathbf {r} _ { perp}) e ^ {- i mathbf {k} _ { perp} cdot mathbf {r} _ { perp}}.}$

Двухмерное экранированное уравнение Пуассона дает:

${ displaystyle left (к _ { perp} ^ {2} + { frac {1} { rho ^ {2}}} right) G ( mathbf {k} _ { perp}) = 1}$.

В Функция Грина поэтому дается обратное преобразование Фурье:

${ Displaystyle G ( mathbf {r} _ { perp}) = { frac {1} {4 pi ^ {2}}} ; iint mathrm {d} ^ {2} ! k ; { frac {e ^ {i mathbf {k} _ { perp} cdot mathbf {r} _ { perp}}} {k _ { perp} ^ {2} + 1 / rho ^ { 2}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить с помощью полярные координаты в k-пространство:

${ displaystyle mathbf {k} _ { perp} = (k_ {r} cos ( theta), k_ {r} sin ( theta))}$

Интегрирование по угловой координате дает Функция Бесселя, а интеграл сводится к единице по радиальному волновое число ${ displaystyle k_ {r}}$:

${ Displaystyle G ( mathbf {r} _ { perp}) = { frac {1} {2 pi}} ; int _ {0} ^ {+ infty} mathrm {d} k_ { r} ; { frac {k_ {r} , J_ {0} (k_ {r} r _ { perp})} {k_ {r} ^ {2} + 1 / rho ^ {2}}} = { frac {1} {2 pi}} K_ {0} (r _ { perp} , / , rho).}$

Смотрите также

• Юкава взаимодействие

Рекомендации