WikiDer > Полуортогональное разложение

Semiorthogonal decomposition

В математике полуортогональное разложение способ разделить триангулированная категория на более простые части. Один из способов получить полуортогональное разложение - это исключительная коллекция, особая последовательность объектов в триангулированной категории. Для алгебраическое многообразие Икс, было плодотворным изучение полуортогональных разложений ограниченного производная категория из когерентные пучки, .

Полуортогональное разложение

Алексей Бондал и Михаил Капранов (1989) определил полуортогональное разложение триангулированной категории быть последовательностью из строго полный триангулированные подкатегории, такие что:[1]

  • для всех и все объекты и , каждый морфизм из к равно нулю. То есть «нет морфизмов справа налево».
  • генерируется . То есть наименьшая строго полная триангулированная подкатегория категории содержащий равно .

Обозначение используется для полуортогонального разложения.

Полуортогональная декомпозиция подразумевает, что каждый объект имеет каноническую «фильтрацию», чьи градуированные части (последовательно) попадают в подкатегории . То есть для каждого объекта Т из , есть последовательность

морфизмов в так что конус из в , для каждого я. Более того, эта последовательность единственна с точностью до единственного изоморфизма.[2]

Можно также рассматривать «ортогональные» разложения триангулированной категории, требуя, чтобы не было морфизмов из к для любого . Однако это свойство слишком сильно для большинства целей. Например, для (неприводимого) гладкий; плавный проективное разнообразие Икс через поле, ограниченный производная категория из когерентные пучки никогда не имеет нетривиального ортогонального разложения, тогда как он может иметь полуортогональное разложение, как показано в примерах ниже.

Полуортогональное разложение триангулированной категории можно рассматривать как аналог конечной фильтрация из абелева группа. В качестве альтернативы можно рассмотреть полуортогональное разложение как ближе к разделить точную последовательность, потому что точная последовательность триангулированных категорий разбивается на подкатегорию , изоморфно отображая .

Используя это наблюдение, полуортогональное разложение подразумевает прямая сумма разделение Группы Гротендика:

Например, когда - ограниченная производная категория когерентных пучков на гладком проективном многообразии Икс, можно отождествить с группой Гротендика из алгебраические векторные расслоения на Икс. В этой геометрической ситуации, используя это исходит из dg-категория, полуортогональное разложение фактически дает разбиение всех алгебраические K-группы из Икс:

для всех я.[3]

Допустимая подкатегория

Один из способов получить полуортогональное разложение - по допустимой подкатегории. По определению полная триангулированная подкатегория является оставлено допустимым если функтор включения есть левый присоединенный функтор, написано . Точно так же является право допустимо если у включения есть правый сопряженный, записывается , и это допустимый если он допустим как слева, так и справа.

Правая допустимая подкатегория определяет полуортогональное разложение

,

где

это право ортогональный из в .[2] Наоборот, каждое полуортогональное разложение возникает таким образом, в том смысле, что допустимо справа и . Аналогично, для любого полуортогонального разложения , подкатегория допустимо слева, и , где

это лево ортогональный из .

Если - ограниченная производная категория гладкого проективного многообразия над полем k, то каждая допустимая слева или справа подкатегория на самом деле допустимо.[4] По результатам Бондал и Мишель Ван ден Берг, в целом это справедливо для любая правильная собственная триангулированная категория, идемпотентно-полный.[5]

Более того, для правильной собственной идемпотентно полной триангулированной категории полная триангулированная подкатегория допустима тогда и только тогда, когда она регулярна и идемпотентно-полна. Эти свойства присущи подкатегории.[6] Например, для Икс гладкое проективное многообразие и Y подмногообразие, не равное Икс, подкатегория объектов, поддерживаемых на Y не допускается.

Исключительная коллекция

Позволять k быть полем, и пусть быть k-линейная триангулированная категория. Объект E из называется исключительный если Hom (E,E) = k и Hom (E,E[т]) = 0 для всех ненулевых целых чисел т, где [т] это функтор сдвига в . (В производной категории гладкого сложный проективное разнообразие Икс, первого порядка деформационное пространство объекта E является , и поэтому исключительный объект особенно жесткий. Отсюда следует, например, что существует не более счетно много исключительных объектов в , с точностью до изоморфизма. Это помогает объяснить название.)

Триангулированная подкатегория, порожденная исключительным объектом E эквивалентна производной категории конечномерных k-векторные пространства, простейшая триангулированная категория в данном контексте. (Например, каждый объект этой подкатегории изоморфен конечной прямой сумме сдвигов E.)

Алексей Городенцев и Алексей Рудаков (1987) определили исключительная коллекция быть последовательностью исключительных объектов такой, что для всех я < j и все целые числа т. (То есть «нет морфизмов справа налево».) В правильной триангулированной категории над k, например, ограниченная производная категория когерентных пучков на гладком проективном многообразии, каждый исключительный набор порождает допустимую подкатегорию и, таким образом, определяет полуортогональное разложение:

где , и обозначает полную триангулированную подкатегорию, порожденную объектом .[7] Исключительная коллекция называется полный если подкатегория равно нулю. (Таким образом, полная исключительная коллекция разбивает всю триангулированную категорию на конечное число копий .)

В частности, если Икс гладкое проективное многообразие такое, что имеет полную исключительную коллекцию , то Группа Гротендик алгебраических векторных расслоений на Икс это свободная абелева группа по классам этих объектов:

Гладкое комплексное проективное многообразие Икс с полной исключительной коллекцией должен иметь тривиальный Теория Ходжа, в том смысле, что для всех ; кроме того, карта классов цикла должен быть изоморфизм.[8]

Примеры

Оригинальный образец полной исключительной коллекции был обнаружен Александр Бейлинсон (1978): производная категория проективное пространство над полем имеет полную исключительную коллекцию

,

где O (j) для целых чисел j являются линейные расслоения на проективном пространстве.[9] Полные исключительные коллекции также построены на всех гладких проективных торические многообразия, поверхности дель Пеццо, много проективные однородные многообразия, и некоторые другие Разновидности Фано.[10]

В более общем смысле, если Икс - гладкое проективное многообразие положительной размерности такое, что когерентные когомологии пучков группы равны нулю для я > 0, то объект в является исключительным, а значит, индуцирует нетривиальное полуортогональное разложение . Это относится ко всем Сорт Фано над полем характеристика ноль, Например. Это также относится к некоторым другим сортам, таким как Поверхности Энриквес и некоторые поверхности общий тип.

С другой стороны, многие естественные триангулированные категории «неразложимы». В частности, для гладкого проективного многообразия Икс чья канонический пакет является без базовых точек, каждое полуортогональное разложение тривиально в том смысле, что или должно быть равно нулю.[11] Например, это относится ко всем разновидностям, которые Калаби-Яу в том смысле, что его каноническое расслоение тривиально.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Huybrechts (2006), Определение 1.59.
  2. ^ а б Бондал и Капранов (1990), Предложение 1.5.
  3. ^ Орлов (2016), раздел 1.2.
  4. ^ Кузнецов (2007), леммы 2.10, 2.11, 2.12.
  5. ^ Орлов (2016), теорема 3.16.
  6. ^ Орлов (2016), предложения 3.17 и 3.20.
  7. ^ Хайбрехтс (2006), лемма 1.58.
  8. ^ Марколли и Табуада (2015), Предложение 1.9.
  9. ^ Хайбрехтс (2006), следствие 8.29.
  10. ^ Кузнецов (2014), раздел 2.2.
  11. ^ Кузнецов (2014), раздел 2.5.

использованная литература

  • Бондал, Алексей; Капранов Михаил (1990), "Представимые функторы, функторы Серра и реконструкции", Математика Известий СССР, 35: 519–541, Дои:10.1070 / IM1990v035n03ABEH000716, Г-Н 1039961
  • Хайбрехтс, Даниэль (2006), Преобразования Фурье – Мукаи в алгебраической геометрии, Oxford University Press, ISBN 978-0199296866, Г-Н 2244106
  • Кузнецов Александр (2007), «Гомологическая проективная двойственность», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 105: 157–220, arXiv:математика / 0507292, Дои:10.1007 / s10240-007-0006-8, Г-Н 2354207
  • Кузнецов Александр (2014), «Полуортогональные разложения в алгебраической геометрии», Материалы Международного конгресса математиков (Сеул, 2014 г.), 2, Сеул: Kyung Moon Sa, стр. 635-660, arXiv:1404.3143, Г-Н 3728631
  • Марколли, Матильда; Табуада, Гонсало (2015), «От исключительных коллекций до мотивационных разложений через некоммутативные мотивы», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 701: 153–167, arXiv:1202.6297, Дои:10.1515 / crelle-2013-0027, Г-Н 3331729
  • Орлов, Дмитрий (2016), "Гладкие и собственные некоммутативные схемы и склейка DG-категорий", Успехи в математике, 302: 59–105, arXiv:1402.7364, Дои:10.1016 / j.aim.2016.07.014, Г-Н 3545926