WikiDer > Полупростой оператор

Semisimple operator

В математика, а линейный оператор Т на векторное пространство является полупростой если каждый Т-инвариантное подпространство имеет дополнительный Т-инвариантное подпространство;[1] другими словами, векторное пространство - это полупростое представление оператора Т. Эквивалентно, линейный оператор полупрост, если его минимальный многочлен является произведением различных неприводимых многочленов.[2]

Линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутый поле полупростое тогда и только тогда, когда оно диагонализуемый.[1][3]

Над идеальным полем Разложение Жордана – Шевалле выражает эндоморфизм как сумма полупростого эндоморфизма s и нильпотентный эндоморфизм п так что оба s и п являются многочленами от Икс.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б Лам (2001), п. 39
  2. ^ Якобсон 1979, Абзац перед гл. II, § 5, теорема 11.
  3. ^ Это тривиально по определению в терминах минимального многочлена, но более прямо можно увидеть следующим образом. У такого оператора всегда есть собственный вектор; если он к тому же полупростой, то он имеет дополнительный инвариант гиперплоскость, который сам имеет собственный вектор и, таким образом, по индукции диагонализуем. И наоборот, легко увидеть, что диагонализуемые операторы полупросты, поскольку инвариантные подпространства представляют собой прямые суммы собственных подпространств, и любой базис этого пространства может быть расширен до собственного базиса.

Рекомендации

  • Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. МИСТЕР 0276251.
  • Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли, Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4
  • Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.