WikiDer > Разложение Жордана – Шевалле

Jordan–Chevalley decomposition

В математике Разложение Жордана – Шевалле, названный в честь Камилла Джордан и Клод Шевалле, выражает линейный оператор как сумма его поездок на работу полупростой часть и ее нильпотентный части. Мультипликативное разложение выражает обратимый оператор как произведение его коммутирующих полупростой и унипотентной частей. Разложение легко описать, когда Нормальная форма Джордана оператора дан, но он существует при более слабых предположениях, чем существование жордановой нормальной формы. Аналоги разложения Жордана-Шевалле существуют для элементов линейные алгебраические группы, Алгебры Ли, и Группы Ли, и разложение - важный инструмент в изучении этих объектов.

Разложение линейного оператора

Рассмотрим линейные операторы на конечномерном векторное пространство над полем. Оператор T есть полупростой если каждое T-инвариантное подпространство имеет дополнительное T-инвариантное подпространство (если базовое поле алгебраически замкнутый, это то же самое, что и требование, чтобы оператор был диагонализуемый). Оператор Икс является нильпотентный если какая-то сила Иксм это нулевой оператор. Оператор Икс является всесильный если Икс - 1 нильпотентен.

Теперь позвольте Икс быть любым оператором. Разложение Жордана – Шевалле Икс выражает это как сумму

Икс = Иксs + Иксп,

куда Иксs полупростой, Иксп нильпотентен, и Иксs и Иксп ездить. Через идеальное поле,[1] такое разложение существует (ср. # Доказательство уникальности и существования), разложение единственное, и Иксs и Иксп являются многочленами от Икс без постоянных условий.[2][3] В частности, для любого такого разложения над совершенным полем оператор, коммутирующий с Икс также ездит с Иксs и Иксп.

Если Икс обратимый оператор, то мультипликативное разложение Жордана – Шевалле выражает Икс как продукт

Икс = Иксs · Иксты,

куда Иксs полупростой, Иксты односторонен, и Иксs и Иксты ездить. Опять же, над совершенным полем такое разложение существует, разложение единственное и Иксs и Иксты являются многочленами от Икс. Мультипликативный вариант разложения следует из аддитивного, поскольку при легко видеть обратимым,

и односторонен. (И наоборот, используя аргументы того же типа, можно вывести аддитивную версию из мультипликативной.)

Если Икс написано в Нормальная форма Джордана (относительно некоторого базиса), то Иксs - эндоморфизм, матрица которого содержит только диагональные члены Икс, и Иксп - эндоморфизм, матрица которого содержит только недиагональные члены; Иксты - эндоморфизм, матрица которого получается из жордановой нормальной формы делением всех элементов каждой жордановой клетки на ее диагональный элемент.

Доказательство уникальности и существования

Единственность следует из того, что полиномиальны от Икс: если другое разложение такое, что и ездить, тогда , и оба ездить с Икс, следовательно, с . Теперь сумма коммутирующих полупростых (соответственно нильпотентных) эндоморфизмов снова полупроста (соответственно нильпотентна). Поскольку единственным оператором, который является одновременно полупростым и нильпотентным, является нулевой оператор, следует, что и .

Мы показываем существование. Позволять V - конечномерное векторное пространство над совершенным полем k и эндоморфизм.

Сначала предположим базовое поле k алгебраически замкнуто. Тогда векторное пространство V имеет разложение в прямую сумму где каждый это ядро , то обобщенное собственное подпространство и Икс стабилизирует , смысл . Теперь определим так что на каждом , это скалярное умножение на . Обратите внимание, что с точки зрения базиса, соблюдающего разложение прямой суммы, - диагональная матрица; следовательно, это полупростой эндоморфизм. С затем чей -я степень равна нулю, мы также имеем нильпотентна, что доказывает существование разложения.

(Тщательно выбирая основу для каждого , тогда можно положить Икс в жордановой нормальной форме и - диагональная и недиагональная части нормальной формы. Но здесь это не нужно.)

Дело в том, что являются многочленами от Икс следует из Китайская теорема об остатках. Действительно, пусть быть характеристический многочлен из Икс. Тогда это произведение характеристических многочленов от ; т.е. Также, (потому что, как правило, нильпотентная матрица уничтожается при увеличении до размера матрицы). Теперь китайская теорема об остатках применяется к кольцу многочленов дает многочлен удовлетворяющие условиям

(для всех i).

(Есть избыточность в условиях, если равно нулю, но это не проблема; просто убери это из условий.)

Условие , когда прописано, означает, что для некоторого полинома . С это нулевая карта на , и согласен по каждому ; т.е. . Также тогда с . Условие гарантирует, что и не имеют постоянных условий. Это завершает доказательство алгебраически замкнутого полевого случая.

Если k - произвольное совершенное поле, пусть быть абсолютной группой Галуа k. По первой части мы можем выбрать многочлены над такой, что - разложение на полупростую и нильпотентную части. Для каждого в ,

Сейчас же, является многочленом от ; так это . Таким образом, и ездить. Также применение очевидно сохраняет полупростоту и нильпотентность. Таким образом, в силу единственности разложения (по ), и . Следовательно, находятся -инвариантный; т.е. это эндоморфизмы (представленные матрицами) над k. Наконец, поскольку содержит -основа, охватывающая пространство, содержащее , по тому же аргументу мы также видим, что иметь коэффициенты в k. Это завершает доказательство.

Краткое доказательство с использованием абстрактной алгебры

(Якобсон 1979) доказывает существование разложения как следствия Основная теорема Веддерберна. (Этот подход не только кратковременен, но и делает роль предположения о том, что базовое поле является более четким.)

Позволять V - конечномерное векторное пространство над совершенным полем k, эндоморфизм и подалгебра, порожденная Икс. Обратите внимание, что А коммутативный Артинианское кольцо. Основная теорема Веддерберна утверждает: для конечномерной алгебры А с радикалом Якобсона J, если отделима, то естественная сюръекция раскалывает; т.е. содержит полупростая подалгебра такой, что является изоморфизмом.[4] В настройке здесь сепарабельно, так как базовое поле совершенно (поэтому теорема применима) и J также является нильрадикалом А. Тогда есть разложение в векторном пространстве . В частности, эндоморфизм Икс можно записать как куда в и в . Теперь образ Икс генерирует ; таким образом полупроста и является полиномом от Икс. Также, нильпотентен, поскольку нильпотентен и является полиномом от Икс поскольку является.

Критерий нильпотентности

Разложение Жордана можно использовать для характеристики нильпотентности эндоморфизма. Позволять k - алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, кольцо эндоморфизмов k над рациональными числами и V конечномерное векторное пространство над k. Учитывая эндоморфизм , позволять - разложение Жордана. потом диагонализуема; т.е. где каждый это собственное подпространство для собственного значения с множеством . Тогда для любого позволять - эндоморфизм такой, что это умножение на . Шевалле звонит то копия из данный . (Например, если , то комплексное сопряжение эндоморфизма является примером реплики.) Теперь,

Критерий нильпотентности — [5] нильпотентна (т. е. ) если и только если для каждого . Кроме того, если , то достаточно выполнения условия комплексное сопряжение.

Доказательство: Во-первых, поскольку нильпотентен,

.

Если - комплексное сопряжение, отсюда следует для каждого я. В противном случае возьмите быть -линейный функционал с последующим . Применяя это к приведенному выше уравнению, получаем:

и с тех пор все реальные числа, для каждого я. Тогда изменение линейных функционалов влечет для каждого я.

Типичное применение вышеуказанного критерия - доказательство Критерий разрешимости Картана алгебры Ли. Он говорит: если является подалгеброй Ли над полем k нулевой характеристики такая, что для каждого , тогда разрешима.

Доказательство:[6] Без потери общности предположим k алгебраически замкнуто. К Теорема Ли и Теорема Энгеля, достаточно показать для каждого , является нильпотентным эндоморфизмом V. Написать . Затем нам нужно показать:

равно нулю. Позволять . Обратите внимание: у нас есть: и с тех пор является полупростой частью разложения Жордана , следует, что - многочлен без постоянного члена от ; следовательно, и то же самое с на месте . То есть, , откуда следует утверждение с учетом предположения.

Контрпример к существованию над несовершенным полем

Если поле земли не идеально, то разложения Жордана – Шевалле может не существовать. Пример: пусть п быть простым числом, пусть быть несовершенным по характеристикам , и выберите в это не -я мощность. Позволять , позволять и разреши быть -линейный оператор, задаваемый умножением на в . Это инвариант -линейные подпространства в точности идеалы рассматривается как кольцо, которые соответствуют идеалам содержащий (X ^ p-a) ^ 2. С неприводимо в , идеалы V находятся , и . Предполагать для поездок -линейные операторы и которые соответственно полупросты (чуть более , что слабее полупростоты над алгебраическим замыканием ) и нильпотентным. С и ездят на работу, каждый ездит с и, следовательно, каждый действует -линейно на . Следовательно и даются умножением на соответствующие члены и , с . С нильпотентен, нильпотентен в , следовательно в , за это поле. Следовательно, , следовательно для некоторого полинома . Также мы видим, что . С характерен , у нас есть . Кроме того, поскольку в , у нас есть , следовательно в . С , у нас есть . Объединяя эти результаты, мы получаем . Это показывает, что генерирует как -алгебра и, следовательно, -стабильный -линейные подпространства идеалы , т.е. они , и . Мы видим, что является -инвариантное подпространство который не имеет дополнения -инвариантное подпространство, вопреки предположению, что полупростой. Таким образом, нет разложения как сумма поездок -линейные операторы, являющиеся соответственно полупростыми и нильпотентными. Отметим, что минимальный многочлен от неотделим от и квадрат в . Можно показать, что если минимальный многочлен от линейный оператор отделимо, то имеет разложение Жордана-Шевалле и что если этот многочлен является произведением различных неприводимых многочленов от , тогда полупросто над .

Аналогичные разложения

Мультипликативная версия разложения Жордана-Шевалле обобщается до разложения в линейной алгебраической группе, а аддитивная версия разложения обобщается до разложения в алгебре Ли.

Алгебры Ли

Позволять обозначим алгебру Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над идеальным полем. Если - разложение Жордана, то является разложением Жордана в векторном пространстве . Действительно, во-первых, и ездить с . Во-вторых, вообще для каждого эндоморфизма , у нас есть:

  1. Если , тогда , поскольку это разность левого и правого умножения на у.
  2. Если полупросто, то полупростой.[7]

Следовательно, по единственности и .

Если конечномерное представление полупростой конечномерная комплексная алгебра Ли, то сохраняет разложение Жордана в том смысле, что если , тогда и .[8]

Вещественные полупростые алгебры Ли

В постановке Шевалле и Мостов, аддитивное разложение утверждает, что элемент Икс в реальном полупростая алгебра Ли грамм с Разложение Ивасавы грамм = kап можно записать как сумму трех коммутирующих элементов алгебры Ли Икс = S + D + N, с S, D и N сопряжены с элементами в k, а и п соответственно. В общем случае члены разложения Ивасавы не коммутируют.

Линейные алгебраические группы

Позволять - линейная алгебраическая группа над совершенным полем. Тогда, по существу, по определению, существует замкнутое вложение . Теперь к каждому элементу , по мультипликативному разложению Жордана существует пара полупростых элементов и унипотентный элемент априори в такой, что . Но, как выясняется,[9] элементы можно показать, что он находится в (т.е. они удовлетворяют определяющим уравнениям грамм) и что они не зависят от вложения в ; т.е. разложение внутреннее.

Когда грамм абелева, тогда является прямым произведением замкнутой подгруппы полупростых элементов в грамм и унипотентных элементов.[10]

Вещественные полупростые группы Ли

Мультипликативное разложение утверждает, что если грамм является элементом соответствующей связной полупростой группы Ли грамм с соответствующим разложением Ивасавы грамм = KAN, тогда грамм можно записать как произведение трех коммутирующих элементов грамм = sdu с s, d и ты сопряжены с элементами K, А и N соответственно. В общем случае члены разложения Ивасавы грамм = кан не ездить на работу.

Рекомендации

  1. ^ Фактически, доказательство проходит, если частное сепарабельная алгебра; видеть # Краткое доказательство с использованием абстрактной алгебры.
  2. ^ Хамфрис 1972, Предложение 4.2, с. 17 для алгебраически замкнутого полевого случая.
  3. ^ Waterhouse, Гл. 9, Упражнение 1.
  4. ^ https://books.google.com/books?id=ZKGq4IQHhHUC&pg=PA143&dq=wedderburn+principal+theorem&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=wedderburn%20principal%20theorem&f=false
  5. ^ Серр, LA 5.17. Лемма 6.7. Эндоморфизм
  6. ^ Серр, LA 5.19. Теорема 7.1.
  7. ^ Это нелегко увидеть, но показано в доказательстве (Якобсон, Гл. III, § 7, теорема 11.). От редакции: нам нужно добавить обсуждение этого вопроса в «полупростой оператор”.
  8. ^ Фултон и Харрис, Теорема 9.20.
  9. ^ Waterhouse, Теорема 9.2.
  10. ^ Waterhouse, Теорема 9.3.
  • Шевалле, Клод (1951), Теория де групп де Ли. Том II. Группы algébriques, Германн, OCLC 277477632
  • Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МИСТЕР 1153249. OCLC 246650103.
  • Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы, Выпускные тексты по математике, 21, Спрингер, ISBN 0-387-90108-6
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Спрингер, ISBN 978-0-387-90053-7
  • Джейкобсон, Натан (1979) [1962], Алгебры Ли, Дувр, ISBN 0-486-63832-4
  • Лазар, М. (1954), "Теория повторений. Critère de Cartan (Exposé No. 6)", Семинар "Sophus Lie", 1, заархивировано из оригинал на 2013-07-04
  • Мостов, Г. Д. (1954), "Факторные пространства разрешимых групп", Анна. математики., 60 (1): 1–27, Дои:10.2307/1969700, JSTOR 1969700
  • Мостоу, Г. Д. (1973), Сильная жесткость локально симметричных пространств, Анналы математических исследований, 78, Издательство Принстонского университета, ISBN 0-691-08136-0
  • Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, МИСТЕР 1878556, Zbl 0984.00001
  • Серр, Жан-Пьер (1992), Алгебры Ли и группы Ли: 1964 лекций, прочитанных в Гарвардском университете, Конспект лекций по математике, 1500 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55008-2
  • Варадараджан, В. С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления, Тексты для выпускников по математике, 102, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90969-9
  • Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в аффинные групповые схемы, Тексты для выпускников по математике, 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, МИСТЕР 0547117