WikiDer > Теорема Серра о полупростой алгебре Ли - Википедия

Serres theorem on a semisimple Lie algebra - Wikipedia

В абстрактной алгебре, в частности в теории Алгебры Ли, Теорема Серра состояния: задано (конечное приведенное) корневая система существует конечномерная полупростая алгебра Ли чья корневая система является данной .

Заявление

Теорема утверждает, что: при наличии корневой системы в евклидовом пространстве с внутренним произведением , и база из , алгебра Ли определяется формулой (1) генераторы и (2) соотношения

,
,
,
.

является конечномерной полупростой алгеброй Ли с подалгеброй Картана, порожденной и с корневой системой .

Квадратная матрица называется Матрица Картана. Таким образом, с этим понятием, теорема утверждает, что, дайте матрицу Картана Асуществует единственная (с точностью до изоморфизма) конечномерная полупростая алгебра Ли связано с . Построение полупростой алгебры Ли из матрицы Картана можно обобщить, ослабив определение матрицы Картана. Алгебра Ли (в общем случае бесконечномерная), ассоциированная с обобщенная матрица Картана называется Алгебра Каца – Муди.

Эскиз доказательства

Доказательство здесь взято из (Кац 1990, Теорема 1.2.) И (Серр 2000, Гл. VI, Приложение.).

Позволять а затем пусть - алгебра Ли, порожденная (1) образующими и (2) отношения:

  • ,
  • , ,
  • .

Позволять свободное векторное пространство, натянутое на , V свободное векторное пространство с базой и тензорная алгебра над ним. Рассмотрим следующее представление алгебры Ли:

предоставлено: для ,

  • , индуктивно,
  • , индуктивно.

Нетривиально то, что это действительно четко определенное представление, и это нужно проверять вручную. Из этого представления выводятся следующие свойства: пусть (соотв. ) подалгебры в генерируется (соответственно s).

  • (соотв. ) - свободная алгебра Ли, порожденная (соответственно s).
  • Как векторное пространство .
  • куда и аналогично .
  • (разложение корневого пространства) .

Для каждого идеала из , легко показать, что однородна относительно градуировки, заданной разложением корневого пространства; т.е. . Отсюда следует, что сумма идеалов, пересекающихся тривиально, он сам пересекает тривиально. Позволять быть суммой всех идеалов, пересекающихся тривиально. Тогда есть разложение векторного пространства: . Фактически, это -модульная декомпозиция. Позволять

.

Затем он содержит копию , который отождествляется с и

куда (соотв. ) - подалгебры, порожденные образами 's (соответственно изображения s).

Затем показано: (1) производная алгебра вот так же, как лидирующая, (2) она конечномерна и полупроста и (3) .

Рекомендации

  • Кац Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46693-8.
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
  • Серр, Жан-Пьер (2000). Полупростые комплексы Альжебра де Ли [Комплексные полупростые алгебры Ли]. Перевод Джонс, Дж. А. Спрингер. ISBN 978-3-540-67827-4.