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Ein einfacher 3-Komplex.

In dem algebraische Topologie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein einfach komplex ein topologischer Raum die aufgebaut ist von Einfachheit, was bedeutet Punkte, Liniensegmente, Dreiecke, und ihre nein-dimensionale Gegenstücke "kleben zusammen" (siehe Abbildung). Vereinfachte Komplexe sollten nicht mit dem abstrakteren Konzept von a . verwechselt werden einfache Sammlung, die in der simplizialen Homotopietheorie.

Definitionen

EIN einfach komplex${displaystyle {mathcal {K}}}$ ist ein Sammlung von Simplizes, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

je 1 Seitenansicht; Seitenfläche aus einem Simplex heraus ${displaystyle {mathcal {K}}}$ gehört auch dazu ${displaystyle {mathcal {K}}}$.

2. Die Überschneidung von zwei Einfachheit ${displaystyle sigma _{1},sigma _{2}in {mathcal {K}}}$ ist eine Seitenfläche von beiden ${displaystyle sigma_{1}}$ wenn ${displaystyle sigma_{2}}$.

Notiere dass der leere Sammlung ist ein Gesicht jedes Simplex. Siehe auch die Definition von a abstrakt einfach komplex, was grob gesagt ein simplizialer Komplex ohne zugehörige Geometrie ist.

EIN einfach ${displaystyle k}$-Komplex${displaystyle {mathcal {K}}}$ ist ein einfacher Komplex, in dem der größte Abmessungen von jedem Simplex in ${displaystyle {mathcal {K}}}$ gleich ${displaystyle k}$. Zum Beispiel muss ein einfacher 2-Komplex mindestens einen haben Dreieck haben und dürfen nicht Tetraeder von höherdimensionaler Einfachheit.

EIN rein oder homogen einfach ${displaystyle k}$-Komplex ${displaystyle {mathcal {K}}}$ ist ein Simplizialkomplex, in dem jedes Simplex der Dimension kleiner als ${displaystyle k}$ die Seitenfläche ist ein Simplex ${displaystyle sigma in {mathcal {K}}}$ der Abmessung genau gleich ${displaystyle k}$. Informell gesprochen sieht ein reiner 1-Komplex so aus, als ob er aus einer Reihe von Linien besteht, und ein 2-Komplex sieht aus, als würde er aus einer Reihe von Dreiecken bestehen usw. Ein Beispiel für einen inhomogenen Komplex ist eine Anordnung aus einem Dreieck und ein Segment, das mit einem der Scheitelpunkte des Dreiecks.

EIN Facette ist ein Simplex in einem Komplex, das nicht die Seitenfläche eines größeren Simplex ist. (Man beachte den Unterschied zu einer "Facette" eines Simplex.) Ein rein simplizialer Komplex kann man sich als einen Komplex vorstellen, bei dem alle Facetten die gleiche Dimension haben.

Manchmal wird der Begriff "Gesicht" verwendet, um sich auf ein Simplex eines Komplexes zu beziehen, nicht zu verwechseln mit dem Gesicht eines Simplex.

Für einen einfachen Komplex ist das eingebettet in einem ${displaystyle k}$-dimensionaler Raum, wird an den . gesendet ${displaystyle k}$-Seitenflächen werden manchmal als . bezeichnet Zellen. Der Begriff "Zelle" wird manchmal in einem weiteren Sinne verwendet, um eine Sammlung zu beschreiben Homöomorphismen mit einem Simplex, was zur Definition von a . führt Zellkomplex.

Das darunterliegender Raum, manchmal auch die Träger eines simplizialen Komplexes, der . is Verband seiner Einfachheit.

Terminierung, Stern und Link

Das Schließen aus einer Sammlung von Vereinfachungen ${Anzeigestil S}$, bezeichnet durch ${displaystyle mathrm{Cl}S}$, ist der kleinste simpliziale Komplex, der alle Simplizes in enthält ${Anzeigestil S}$ enthält. Mit anderen Worten ${displaystyle mathrm{Cl}S}$ ist die Menge, die alle Seiten jedes Simplex in enthält ${Anzeigestil S}$ enthält.

Das Star aus einer Sammlung von Vereinfachungen ${Anzeigestil S}$, bezeichnet durch ${displaystyle mathrm {St} S}$ in Bezug auf einen einfachen Komplex ${Anzeigestil K}$ ist die Menge aller Simplizes in ${Anzeigestil K}$ diese Einfachheit in ${Anzeigestil S}$ als Seitenflächen. (Beachten Sie, dass der Stern nicht unbedingt ein simplizialer Komplex ist.)

Das Schalter (englisch: link) aus einer Sammlung von Simplizes ${Anzeigestil S}$, bezeichnet durch ${displaystyle mathrm {Lk} S}$ in Bezug auf einen einfachen Komplex ${Anzeigestil K}$ entspricht ${displaystyle mathrm {Cl St} S-mathrm {St} S}$. Der Link von ${Anzeigestil S}$ ist gewissermaßen die "Rand" von ${Anzeigestil S}$ über ${Anzeigestil K}$.

Algebraische Topologie

In dem algebraische Topologie Simplizialkomplexe sind oft für konkrete Berechnungen nützlich. Zur Definition von Homologiegruppen eines einfachen Komplexes findet man das entsprechende Kettenkomplex direkt lesen, sofern aus allen Simplizitäten konsistente Orientierungen gemacht werden. Die Anforderungen der Homotopietheorie zur Verwendung allgemeinerer Räume führen, die CW-Komplexe. unendlich Komplexe sind ein grundlegendes technisches Werkzeug in der algebraische Topologie. Siehe auch die Diskussion über Polytope von simplizialen Komplexen wie Nebenräume des euklidischer Raum bestehend aus Teilmengen, die alle Simplex sind. Dieses etwas konkretere Konzept wird zugeschrieben Alexandrov. Jeder endliche simpliziale Komplex kann als Polytop im hier diskutierten Sinne in eine größere Anzahl von Dimensionen eingebettet werden. In der algebraischen Topologie ist a kompakt topologischer Raum, der homöomorph ist auf Geometer Realisierung eines endlichen simplizialen Komplexes, meist a Polyeder erwähnt (siehe (Spanier, 1966), (Maunder, 1996) und (Hilton und Wylie, 1967).

Verweise

• (und) Spanier, E. H., Algebraische Topologie, 1966, Springer, ISBN 0-387-94426-5
• (und) Maunder, C. R. F., Algebraische Topologie, 1996, Dover, ISBN 0-486-69131-4
• (und) Hilton, P. J., Wylie, S., Homologietheorie, 1967, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09422-4

Externer Link

• (und) einfach komplex auf MathWorld