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Das Symbol ∞ in verschiedenen Schriftarten.

Unendlichkeit steht im Sinne von nicht-endlich gegenüber dem Begriff endlich. Es ist ein Konzept in der Philosophie und der Naturwissenschaften (siehe auch Universum). In dem löschen und Physik unendlich hat eine mehr oder weniger quantitative Bedeutung und wird beschrieben als Symbol für unendlich Lemniskate (∞) verwendet (über eine liegende Achtund deshalb auch so genannt).

Definition über Kardinalzahlen

In dem Mathematik Unendlichkeit wird manchmal als eine Art Zahl angesehen, aber als eine Zahl, die größer ist als jede reelle Zahl. Außerdem gibt es verschiedene Arten von Unendlichkeit, die durch verschiedene sogenannte Kardinalzahlen, die den Grad der Unendlichkeit angeben. Diese Kardinalzahlen sind durch den Buchstaben gekennzeichnet aleph (${Anzeigestil Aleph }$), gefolgt von einem gerade Zahl.

EIN Sammlung ist unendlich wenn sie Gleichmut ist mit einem echten Teilmenge, was bedeutet, dass es a Eins-zu-eins-Beziehung liegt zwischen dieser Teilmenge und der Menge selbst.^[1]

Beliebige Sammlung ${Anzeigestil X}$ was gleich a . ist unendliche Sammlung${Displaystil U,}$ ist selbst unendlich. Immerhin, wenn es eine Eins-zu-Eins-Beziehung gibt ${displaystyle f}$ ist zwischen ${Displaystil U}$ und ein echter Teilmenge${Anzeigestil V}$ von ${Displaystil U,}$ ist ${Anzeigestil f(V)}$ eine echte Teilmenge von ${Anzeigestil X}$ das eins zu eins auf ${Anzeigestil X}$ kannst du selbst werden abgebildet.

Ein wichtiges Beispiel für eine unendliche Menge ist die Menge der natürliche Zahlen: ${displaystyle {0,1,2,ldots}.}$ Das Bild ${Anzeigestil f(n)=2n}$ bildet die natürlichen Zahlen eins zu eins auf die reelle Teilmenge ab ${displaystyle {0,2,4,ldots}}$ des Ein bisschen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen und damit auch der geraden Zahlen ist also unendlich.

Abzählbare Unendlichkeit

Es gibt verschiedene Unendlichkeitsgrade. Die kleinste vorstellbare Unendlichkeit ist die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Diese Form der Unendlichkeit wird zu zählbar unendlich oder diskret Unendlich genannt und mit dem Symbol bezeichnet ${displaystyle aleph_{0}}$ (Alef Null). Mengen, die den natürlichen Zahlen äquipotent sind, heißen Kardinalität ("Anzahl der Elemente") ${displaystyle aleph_{0}}$ haben, Beispiele sind die ganze Zahlen${displaystyle mathbb {Z} ,}$ das gerade Zahlen und der ungerade Zahlen. Aber auch die Rationale Zahlen${displaystyle mathbb {Q} }$ und der algebraische Zahlen${displaystyle mathbb {A} }$ sind abzählbar unendlich.

Der Begriff „abzählbar unendlich“ wurde gewählt, weil die Elemente jeder Menge, die den natürlichen Zahlen entspricht, über die Eins-zu-Eins-Beziehung gezählt werden können. Die Elemente einer solchen Menge können also so hintereinander angeordnet werden, dass es eine erste Zahl, eine zweite Zahl, eine dritte Zahl usw. gibt, wobei die Liste alle Elemente der Menge enthält und somit alle „heruntergezählt“ werden können '.

Das Rationale Zahlen kann zum Beispiel wie folgt gezählt werden:

${displaystyle 0,{ frac {1}{1}},{ frac {-1}{1}},{ frac {2}{1}},{ frac {-2}{1}},{ frac {1 }{2}},{ frac {-1}{2}},{ frac {3}{1}},{ frac {-3}{1}},{ frac {1}{3}},{ frac {-1}{3}},{ frac {4}{1}},{ frac {-4}{1}},{ frac {3}{2}},{ frac {-3}{2}} ,{ frac {2}{3}},{ frac {-2}{3}},{ frac {1}{4}},{ frac {-1}{4}},{ frac {5}{1 }},{ frac {-5}{1}},{ frac {1}{5}},{ frac {-1}{5}},{ frac {6}{1}},{ frac {-6 }{1}},{ frac {5}{2}},cdots}$

Unzählige

Wenn eine Menge unendlich viele Elemente enthält und keine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen dieser Menge und der natürliche Zahlen, haben wir es mit einer unabzählbar unendlichen Menge zu tun, bei jedem Versuch, herunterzuzählen, gibt es immer Elemente, die nicht gezählt werden. Die Menge enthält wesentlich mehr Elemente als die natürlichen Zahlen. Eine solche Sammlung ist unzählbar erwähnt.

Ein Beispiel ist die Menge der reale Nummern. George Cantor, ein 19. Jahrhundertdeutscher Mathematiker der als einer der ersten das Konzept der Unendlichkeit gründlich erforschte und bewies, dass die Menge der reellen Zahlen "größer" ist als die Menge der natürlichen Zahlen, obwohl die Anzahl der Elemente beider Mengen unendlich ist. Er tat dies mit Hilfe des sogenannten diagonale Methode.

Definition über Ordnungszahlen

sehen Ordinalzahl für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Definition einer Ordinalzahl beginnt mit dem Konzept transitive Menge. Eine Sammlung heißt transitiv wenn jedes seiner Elemente auch eine Teilmenge davon ist. Ein Beispiel für eine transitive Menge ist das Paar ${displaystyle {emptyset ,{emptyset}},}$ denn sowohl die leere Menge als auch das aus der leeren Menge bestehende Singleton sind Teilmengen davon.

EIN Ordinal- ist eine transitive Menge mit gut sortiert wird durch die Beziehung gemacht ist ein Element von.^[2]

Das natürliche Zahlen nach Zermelo-Fraenkel (ZF) definiert sind alle Ordinalzahlen auf diese Weise. Das obige Beispiel aus der Sammlung ${displaystyle {emptyset ,{emptyset}},}$ entspricht der ZF-Definition der Zahl 2. Diese Ordnungszahlen werden zu endliche Ordnungszahlen genannt, und alle anderen Ordnungszahlen sind unendliche Ordnungszahlen. Die kleinste unendliche Ordnungszahl ist die Menge der natürlichen Zahlen selbst.

Es kann gezeigt werden, dass jede wohlgeordnete Menge genau einen Ordnungsisomorphismus mit genau einer Ordinalzahl besitzt.^[2] Auf diese Weise sind Ordinalzahlen eine Möglichkeit, nicht endlichen wohlgeordneten Mengen eine 'Anzahl von Elementen' zuzuordnen, so wie eine natürliche Zahl die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge bestimmt.

Der Hauptunterschied zu Kardinalzahlen besteht darin, dass wir einer Menge mit einer (gut) Ordnungsrelation eine Ordinalzahl zuordnen, während eine Kardinalzahl zu einer Menge ohne zusätzliche Struktur gehört. Im Prinzip kann dieselbe Menge mit verschiedenen Wohlordnungen ausgestattet sein, und wenn die ursprüngliche Menge unendlich ist, sind die resultierenden wohlgeordneten Mengen nicht notwendigerweise ordnungsisomorph; sie haben also nicht unbedingt die gleiche Ordnungszahl. Es gibt unendlich viele zählbare Ordnungszahlen, während alle abzählbaren Mengen per Definition dieselbe Kardinalität wie die natürlichen Zahlen haben.

Geometrische Unendlichkeit

Unendliche Kardinäle und Ordnungszahlen geben der vagen Intuition der Unendlichkeit eine genaue Bedeutung als "sehr groß". In einem geometrischen Kontext tritt jedoch eine andere Intuition aus dem Unendlichen als "sehr weit entfernt" auf. Zu diesem Zweck werden bestimmte geometrische Objekte, wie Linien oder Ebenen, um neue Elemente erweitert, die manchmal Punkte in der Unendlichkeit werden genannt.

Erweiterte Zeile für reelle Zahlen

Man erweitert die reellen Zahlen um die Symbole ${displaystyle ( )infty }$ und ${displaystyle -infty }$ was dazu führt, dass erweiterter reeller Zahlenstrahl:

${displaystyle {overline {mathbb {R}}}=mathbb {R} Tasse {-infty ,infty }}$.

Im Prozess der reellen Zahlen von Fertigstellung rationaler Zahlen sind formal konstruiert als Äquivalenzklassen von kauzige Reihen, können ${displaystyle infty }$ sind definiert als die Menge von Folgen rationaler Zahlen, wobei für jede ${Displaystil N}$ einer ${displaystyle n}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil k>n}$ zählt das ${displaystyle a_{k}>N}$. Es ist auch möglich, von den reellen Zahlen auszugehen und diese durch eine vergleichbare Konstruktion zu erweitern. In analoger Weise ist es auch möglich ${displaystyle -infty }$ definiert sein.

Rechnen mit unendlich

Die arithmetischen Operationen auf den reellen Zahlen können teilweise auf Operationen auf der erweiterten reellen Zahlengerade erweitert werden.

Der Zusatz in ${displaystyle mathbb {R} }$ ist teilweise erweiterbar auf ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$, aber damit ist ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ nicht wie ${displaystyle mathbb {R} }$ ein Gruppe:

${displaystyle { egin{aligned}a infty =infty a&=infty ,&a&eq -infty /a-infty =-infty a&=-infty ,&a&eq infty /end{aligned}}}$

Des Weiteren:

${displaystyle { egin{aligned}acdot (pm infty )=pm infty cdot a&=pm infty ,&a&in (0,infty ]/acdot (pm infty )=pm infty cdot a&=mp infty ,&a&in [-infty ,0)/ {frac {a}{pm infty }}&=0,&a&in mathbb {R} /{frac {pm infty }{a}}&=pm infty ,&a&in (0,infty )/{frac {pm infty }{a }}&=mp infty ,&a&in (-infty ,0)end{aligned}}}$

Projektive Geometrie

Darstellung der Punkte der reellen projektiven Ebene als Vektorlinien im dreidimensionalen ${Anzeigestil (X,Y,Z)}$-Raum koordinieren. Die roten Vektorlinien sind „gewöhnliche“ oder „endliche“ Punkte in der Ebene ${displaystyle alpha }$ mit Vergleich ${Anzeigestil z=1/2.}$ Die blauen Vektorlinien schneiden die Ebene ${displaystyle alpha }$ nicht und bilde die Linie im Unendlichen ${displaystyle mathbb {P} ^{1}.}$

sehen Projektive Geometrie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die projektive Geometrie verwendet Modelle, die aus "klassischen" affine Räume, erweitert mit einer Menge von Punkten im Unendlichen. Wir skizzieren dies anhand der realen projektive Ebene, aber die gleiche Konstruktion gilt für beliebige Dimensionen und beliebige Körper. Definiere die projektive Ebene ${displaystyle mathbb {P} ^{2}}$ wenn die Menge der Vektorlinien (eindimensionale Unterräume) von ${displaystyle mathbb {R} ^{3},}$ projektive Punkte genannt. Eine projektive Linie ist eine Vektorebene (zweidimensionaler Unterraum) und wir sagen, dass ein projektiver Punkt zu einer projektiven Linie gehört, wenn die Vektorlinie Teil der Vektorebene ist.

Inzwischen eine feste Oberfläche ${displaystyle alpha }$ im ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ das zu wählen nicht durch den Ursprung geht, erhalten wir eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen dieser Ebene und einem Teil der projektiven Ebene. An jedem Punkt von ${displaystyle alpha }$ geht genau eine Vektorlinie. Es gibt jedoch Vektorrechte, die ${displaystyle alpha }$ schneide nirgendwo, weil sie es benutzen parallel Spaziergang: Dies sind die "Punkte im Unendlichen", die mit dieser Auswahl erreicht werden können ${displaystyle alpha }$ zustimmen. Zusammen bilden sie eine projektive Linie, nämlich die eindeutige Vektorebene parallel zu ${Anzeigestil Alpha .}$

Topologische Räume mit Unendlichkeit als Element

Topologische Erweiterungen der reellen Zahlen

Der erweiterte reelle Zahlenstrahl ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}=mathbb {R} Tasse {-infty ,infty }}$ kann mit der Topologie eines geschlossenen Intervalls angepasst werden, so dass die Normale Begrenzungskonzept für eine Reihe darin topologischer Raum kann für Konvergenz auf . angewendet werden ${displaystyle infty }$ und ${displaystyle -infty .}$ Dies ist bei der Topologie der Fall, die für eine gegebene beschränkte streng steigende kontinuierlich Funktion ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$, erweitert um eine Funktion auf ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ mit ${displaystyle f(infty)}$ lieb haben ${displaystyle lim _{x o infty }f(x)}$ und ${displaystyle f(-infty)}$ auf ${displaystyle lim _{x o -infty }f(x)}$, wird induziert durch die metrisch wo die entfernung von ${Anzeigestil a}$ bis um ${displaystyle b}$ gleich ${Anzeigestil |f(b)-f(a)|}$. Diese Topologie ist unabhängig von ${displaystyle f}$. Bei dieser Topologie ist jede dieser Funktionen ${displaystyle f}$ kontinuierlich an ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$. Wie die Notation vermuten lässt, ist in diesem topologischen Raum der gesamte Raum ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ das Schließen von ${displaystyle mathbb {R} }$.

Ein anderer Ansatz besagt ${displaystyle infty }$ und ${displaystyle -infty }$ gleich, siehe echte projektive Linie, mit der Topologie eines Kreises. Die Konvergenz in diesem Raum gegen ∞ einer Reihe entspricht der Konvergenz im obigen ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ bis ∞ der Folge von Absolutwerten. Auch in diesem topologischen Raum ist der ganze Raum der Abschluss von ${displaystyle mathbb {R} }$. Je nach Kontext ist hier jedoch auf die Notation zu achten ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$, da es bereits für den oben genannten Raum verwendet wird. Zur Unterscheidung ist die Notation ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$ benutzt.

Nur noch ein bisschen länger Homöomorphismen Zusammenfassend: ${displaystyle mathbb {R} }$ ist homöomorph zu einem offenen Intervall, ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ zu einem geschlossenen Intervall homöomorph ist und ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$ ist zu einem Kreis homöomorph.

Das Gesamtbestellung von ${displaystyle mathbb {R} }$ kann natürlich erweitert werden auf ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$, aber nicht zu ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$.

Verdichtung

Die oben beschriebenen Erweiterungen von . ${displaystyle mathbb {R} }$ sind Beispiele für Verdichtungen. Eine Kompaktifizierung eines topologischen Raums ist a topologische Einbettung dieses Raums mit der Eigenschaft, dass das Bild der Einbettung schließen befindet sich im Zielraum. Zum Beispiel das Beispiel von ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ oben sind mit der Einbettung modelliert arctan der reellen Zahlen im (kompakten) Intervall ${Anzeigestil [-pi /2,pi /2].}$ Der Bereich der Arkustangensfunktion ist das offene Intervall ${Anzeigestil (-pi /2,pi /2)}$ und das wiederum ist eine dichte Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls ${Anzeigestil [-pi /2,pi /2].}$

Die sogenannte Alexandrov-Verdichtung oder Einpunktverdichtung fügt jedem topologischen Raum hinzu ${Anzeigestil X}$ ein Punkt ${displaystyle infty }$ oben. Wenn der ursprüngliche Raum nicht kompakt war, dann ${displaystyle infty }$ ein Schlusspunkt von ${Anzeigestil X}$ im ${displaystyle Xcup {infty}.}$ Auf die reellen Zahlen angewendet ergibt dies einen Raum, der homöomorph (topologisch äquivalent) ist mit ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$. Angewandt auf die reale Ebene ${displaystyle mathbb {R} ^{2},}$ was topologisch gleich der Menge der komplexen Zahlen ist ${displaystyle mathbb {C} ,}$ bietet das die komplexe projektive Linie${displaystyle mathbb {C} mathbb {P} ^{1}}$ auf, auch bekannt als der Riemann-Atmosphäre.

Siehe auch

• Absolut unendlich
• Kontinuumshypothese
• Unendliche Sammlung
• Transfinite Zahl