WikiDer > Теорема Сколема – Нётер

Skolem–Noether theorem

В теория колец, раздел математики, Теорема Сколема – Нётер характеризует автоморфизмы из простые кольца. Это фундаментальный результат теории центральные простые алгебры.

Теорема была впервые опубликована Торальф Сколем в 1927 г. в своей статье Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (Немецкий: К теории ассоциативных систем счисления), а позже заново открыл Эмми Нётер.

утверждение

В общей постановке пусть А и B - простые унитарные кольца, и пусть k быть центром B. Центр k это поле поскольку данный Икс ненулевой в k, простота B следует, что ненулевой двусторонний идеал BxB = (х) это весь B, а значит, Икс это единица измерения. Если измерение из B над k конечно, т.е. если B это центральная простая алгебра конечной размерности, и А также k-алгебра, то дано k-алгебр гомоморфизмы

ж, г : АB,

существует единица б в B такой, что для всех а в А[1][2]

г(а) = б · ж(а) · б−1.

В частности, каждый автоморфизм центрального простого k-алгебра - это внутренний автоморфизм.[3][4]

Доказательство

Сначала предположим . потом ж и г определить действия А на ; позволять обозначить А-модули, полученные таким образом. поскольку карта ж инъективен простотой А, так А также конечномерна. Отсюда два простых А-модули изоморфны и конечные прямые суммы простых А-модули. Поскольку они имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что существует изоморфизм А-модули . Но такие б должен быть элементом . В общем случае матричная алгебра и что просто. По первой части применительно к картам , Существует такой, что

для всех и . Принимая , мы нашли

для всех z. То есть, б в и поэтому мы можем написать . Принимая на этот раз мы находим

,

что и искали.

Заметки

  1. ^ Лоренц (2008) стр.173
  2. ^ Фарб, Бенсон; Деннис, Р. Кейт (1993). Некоммутативная алгебра. Springer. ISBN 9780387940571.
  3. ^ Гилле и Самуэли (2006) стр.40
  4. ^ Лоренц (2008) стр.174

использованная литература