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Emmy Noether an einem unbekannten Datum vor 1910

Amalie Emmy Noether (Erlangen (Deutschland), 23. März1882 – Bryn Mawr (Vereinigte Staaten), 14. April1935) war ein Deutscher Mathematiker von jüdisch Abstammung. Ihre Arbeit im Bereich abstrakte Algebra hat der gesamten Algebra ein neues Aussehen gegeben. Sie zählt zu den besten Mathematikerinnen^[1] und auch Albert Einstein war voll des Lobes für sie^[2].

Vorwort

Noether ist bekannt für ihre bahnbrechenden Beiträge zur abstrakte Algebra und der theoretische Physik. Sie war von David Hilbert, Albert Einstein und andere als wichtigste Frau in der Geschichte der Mathematik berücksichtigt. Noether revolutionierte die Theorien der Ringe, Körper oder Felder und Algebren und gilt als Gründer der abstrakte Algebra. In der theoretischen Physik ist die Theorem von Noether die grundlegende Verbindung zwischen Symmetrie und Naturschutzgesetze.

Noether wurde in a . geboren jüdisch Familie. Ihr Vater war der führende Mathematiker Max Noether. Emmy wollte ursprünglich Französisch- und Englischlehrerin werden. Sie hat auch ihre Lehramtsprüfungen in Bayerischer Sprache bestanden Weiterführende Schulen. Dann entschloss sie sich jedoch, Mathematik an der . zu studieren Universität Erlangen, das Institut, an dem ihr Vater auch Professor war. Nach Abschluss ihrer Dissertation 1907 bei under Paul Gordon, arbeitete sie sieben Jahre lang unbezahlt am Mathematischen Institut Erlangen. Bis auf wenige Ausnahmen war es Frauen zu Beginn des 20. Jahrhunderts noch untersagt, wissenschaftliche Stellen anzutreten. 1915 war Noether David Hilbert und Felix Klein eingeladen an die Fakultät für Mathematik der of Universität Göttingen damals ein weltbekanntes Zentrum der mathematischen Forschung. Die Fakultät für Philosophie widersprach jedoch. Noether hielt vier Jahre lang unter Hilberts Namen Vorlesungen. Ihr Habilitation wurde 1919 genehmigt. Dann erhielt sie den Titel Privatdozent.

Bis zur Übernahme durch Hitler 1933 wurde Noether führendes Mitglied der mathematischen Fakultät in Göttingen bleibe; ihre Schüler wurden manchmal als die "Noether-Jungs" bezeichnet. Im Jahr 1924 wurde der Handel Niederländisch Mathematiker B. L. van der Waerden hoch zu ihr innerer Kreis. Er wurde bald zum führenden Verleger von Noethers Ideen: Ihre Arbeit bildete die Grundlage für den zweiten Band seines einflussreichen Buches von 1931, Moderne Algebra. Zur Zeit von Noethers Plenarsitzung Rede über die Internationaler Mathematikkongress im Zürich 1932 wurde ihre algebraische Erkenntnis auf der ganzen Welt anerkannt. Im folgenden Jahr beschloss die neue Nazi-Regierung, alle an deutschen Universitäten arbeitenden Juden zu entlassen. Noether ist jetzt in die Vereinigte Staaten, wo sie sind Bryn Mawr College im Pennsylvania ernannt. Zwei Jahre später musste sie sich einer riskanten Operation unterziehen Eierstockzyste unterziehen. Infolgedessen starb sie vier Tage nach der Operation am 14. April 1935 im Alter von 53 Jahren.

Noethers mathematisches Werk ist in drei „Perioden“ unterteilt.^[3] In der ersten Periode (1908-1919) leistete sie wichtige Beiträge zu den Theorien über algebraische Invarianten und Zahlenfelder. Ihre Arbeit zu Differentialinvarianten im Variationskonto, 'Theorem von Noether', wurde als "einer der wichtigsten jemals bewiesenen mathematischen Theoreme, die die Entwicklung der modernen Physik lenkten" bezeichnet. In der zweiten Periode (1920-1926) begann sie mit der Arbeit, die "das Gesicht der [abstrakten] Algebra veränderte". In ihrem klassischen Artikel Ideale Theorie in Ringbereichen (Theorie der Ideale in Ringgebieten, 1921) Noether entwickelte die Theorie der Ideale im Kommutative Ringe zu einem leistungsstarken Werkzeug mit bereichernden Anwendungen. Sie machte einen eleganten Gebrauch von der aufsteigender Kettenzustand. Objekte, die diese Bedingung erfüllen, werden ihr zu Ehren geehrt noethers erwähnt. In der dritten Periode (1927-1935) veröffentlichte sie wichtige Werke über nichtkommutative Algebren und hyperkomplexe Zahlen. Sie vereinte die Darstellungstheorie von Gruppen mit der Theorie der Module und Ideale. Neben ihren eigenen Veröffentlichungen teilte sie ihre Ideen großzügig mit. Ihr werden mehrere Forschungslinien zugeschrieben, die von anderen Mathematikern veröffentlicht wurden, unter anderem in Bereichen, die weit von ihrer Hauptarbeit entfernt sind, wie z algebraische Topologie.

Biografie

Vater

Emmys Vater Max Noether wurde 1844 in Mannheim geboren. Mit vierzehn bekam er Polio, mit dem Ergebnis, dass er für den Rest seines Lebens an einem Bein behindert bleiben würde. Er studierte Mathematik an der renommierten Universität Heidelberg. Er arbeitete mehrere Jahre als Privatlehrer in Heidelberg, bevor Sie zum Universität Erlangen, in der Nähe von Nürnberg im Bayern, ging dort als Assistenzprofessorin. 1888 wurde ihm schließlich eine ordentliche Professur verliehen. Er war eine der führenden Persönlichkeiten der Algebra Geometrie von damals; er hat viel recherchiert Invarianten von algebraische Sorten unter der Aktion von birationale Transformationen, aufbauend auf der Arbeit von u.a. Bernhard Riemann und Luigi Cremona.

Jugend

Emmy wurde am 23. März 1882 in Erlangen geboren. Sie war das erste Kind von Max und seiner Frau Ida Kaufman, beide jüdischer Abstammung. Emmy hätte drei weitere Brüder: Alfred, Fritz und Gustav Robert. Von 1889 bis 1897 besuchte Emmy die Höhere Töchter Schule in Erlangen, wo sie Arithmetik ebenfalls Deutsche, Englisch und Französisch empfangen. Zu Hause hat sie gelernt Klavier aber im Gegensatz zu ihrer Mutter war sie darin nicht überragend. Sie hat es sehr geliebt tanzen und sie liebte es, mit den Kindern ihres Vaters zu feiern. Nach der Schule entschied sie sich für ein Studium zur Fremdsprachenlehrerin. Sie hat noch drei Jahre studiert Englisch und Französisch und im April 1900 legte sie erfolgreich das bayerische Staatsexamen für beide Sprachen ab, woraufhin sie an den bayerischen Mädchenschulen unterrichten durfte.

Mathematikstudium

Bevor sie als Lehrerin antrat, entschied sich Emmy jedoch für ein Mathematikstudium. Dies war um 1900 in Deutschland für eine Frau nicht üblich: In den meisten anderen europäischen Ländern durften Frauen mehrere Jahrzehnte lang an einer Universität studieren, in Deutschland musste eine Frau für jede Vorlesung vom Professor zugelassen werden und diese Erlaubnis wurde nicht immer gegeben. Emmy durfte jedoch in Erlang am Unterricht teilnehmen, vielleicht dank des Einflusses ihres Vaters. Allerdings musste sie ihre Prüfungen am Realgymnasium ablegen Nürnberg ausziehen, starten, abheben, losfahren.

Im 1903 Sie ging nach Göttingen, wo sie Vorlesungen berühmter Mathematiker wie Hermann Minkowski, Felix Klein und David Hilbert. Im folgenden Jahr kehrte Noether jedoch nach Erlangen zurück, weil dort nun auch für Studentinnen die Möglichkeit gegeben wurde, Prüfungen abzulegen. Drei Jahre später, in 1907, promovierte sie bei Paul Gordon.

Zeitraum 1907-1915

Nach ihrer Beförderung blieb Noether an der Universität Erlangen arbeiten. Sie unterstützte ihren Vater, der an seinen körperlichen Gebrechen zu leiden begann, und ersetzte ihn regelmäßig in Vorträgen. Während dieser Zeit in Erlangen hat sie auch viel im Bereich der Forschung geforscht Invariante Theorie. Außerdem betreute sie zwei Doktoranden bei ihren Dissertationen.

Zeit in Göttingen

Im 1915, nach dem Tod ihrer Mutter ging Noether zu Göttingen. In Erlangen hatte sie die ganze Zeit unbezahlt gearbeitet, aber in Göttingen versuchten Klein und Hilbert, die beiden führenden Mathematiker in Göttingen, etwas Besseres für sie zu arrangieren. Dazu musste sie einen Vortrag halten, um als Privatdozentin eingesetzt werden zu können. Doch damit machte die Universität Schluss: Nach einem Gesetz von 1908 durften Frauen keine Privatlehrerinnen werden. Es war vor allem die philosophische und historische Fakultät, die sich Noethers Berufung entgegenstellte. Hilbert mischte sich in die Diskussion ein, indem er sagte: "Ich verstehe nicht, warum jemandes Geschlecht ein Argument gegen ihre Ernennung sein sollte. Schließlich sind wir hier eine Universität, kein Badehaus." Trotzdem arbeitete und lehrte Noether weiterhin in Göttingen. Der Unterricht, den sie gab, wurde unter dem Namen Hilbert erteilt. Dies war nicht so weit von der Wahrheit entfernt: Noether und Hilbert haben in dieser Zeit viel zusammengearbeitet und es sollte auch Jahre dauern, bis Noether sich zu der großen Mathematikerin entwickelt hat, die sie werden sollte.

Ab Mitte der zwanziger Jahre entstand in Göttingen eine Gruppe von Mathematikern, die auch außerhalb der Mathematik viel gemeinsam unternahmen, etwa Musikabende oder Bootsausflüge. Sie führten oft lange Diskussionen über mathematische und nicht-mathematische Themen durch den Pool von Fritz Klie. Neben Noether war Richard Courant, der Direktor der Fakultät für Mathematik ist die wichtigste Person in der Gruppe. Darüber hinaus haben Leute wie die Topologen Alexandrov, Heinz Hopf und zu einem späteren Zeitpunkt Hermann Weyl zu dieser Gruppe.

Noether war innerhalb dieser Gruppe eine markante Persönlichkeit, und das nicht nur, weil sie neben Courants Frau die einzige Frau war. Sie war keineswegs schlank und hatte eine sehr laute Stimme. Sie war aber auch ein sehr geselliger Mensch und schaffte es, viele andere Mathematiker zu stimulieren. Viele ihrer eigenen Forschungen wurden unter den Namen ihrer Kollegen und Studenten veröffentlicht.

Besuch in Moskau

Im Winter 1928-1929 folgte Noether einer Einladung der Moskauer Staatsuniversität, wo sie ihre Arbeit macht Pavel Alexandrov fortgesetzt. Neben ihrer Forschung hielt sie auch Vorlesungen im abstrakte Algebra und der algebraische Geometrie. Sie arbeitete dort unter anderem bei der TopologenLev Pontryagin und Nikolai Chebotaryov, die zur Entwicklung der Galois-Theorie später gelobt.^[4]

Obwohl Politik nicht im Mittelpunkt ihres Lebens stand, interessierte sich Noether sehr für politische Angelegenheiten. Laut Alexandrov demonstrierte Noether erhebliche Unterstützung für die Russische Revolution (1917). Sie hat sich sehr darüber gefreut Sowjetischer Fortschritt in Naturwissenschaften und Mathematik. Sie nahm dies als Hinweis auf die neuen Möglichkeiten, die durch die bolschewistisch Projekt. Diese Haltung verursachte ihr jedoch in Deutschland Probleme, die in ihrer Vertreibung aus einem Gasthaus, nachdem sich Studentenführer beschwert hatten, sie wollten nicht im selben Gebäude wie "eine marxistisch orientierte Jüdin" wohnen.^[5]

Noether plante, mit Unterstützung von Alexandrov nach Moskau zurückzukehren. Nachdem sie Deutschland 1933 verlassen hatte, versuchte Alexandrov, ihr einen Lehrstuhl an der Moskauer Staatsuniversität zu helfen. Dies legte er beim sowjetischen Bildungsministerium vor. Obwohl dieser Versuch erfolglos blieb, korrespondierten sie in den 1930er Jahren regelmäßig. 1935 plante Noether, die Sowjetunion zu besuchen. Nach dem Verlust seiner Stelle in Deutschland nahm ihr Bruder Fritz Noether eine Stelle am Institut für Mathematik und Mechanik in . an Tomski, in dem sibirisch Teil Russlands.^[6]

Letzte Jahre in Bryn Mawr

Im Januar 1933 kam Adolf Hitler an die Macht in Deutschland. Dies hatte bald große Folgen für die jüdischen Mitarbeiter der Universitäten. Einige, wie Courant, wurden gefeuert, andere wurden von pronazistischen Studenten erschwert. Unter diesen Studenten war Werner Weber, der Noether absolviert hatte. Sie glaubten, dass „arische Studenten arische Mathematik wollten und nicht jüdische Mathematik“. Noether versuchte, die Situation zu ignorieren und mit der Mathematik fortzufahren, aber im Sommer 1933 ihre Ernennung, wie die aller anderen jüdischen Mitarbeiter, wurde beendet.

Sie erhielt Angebote unter anderem von der Somerville College, Oxford und die Universität von Moskau, aber entschieden, zu gehen Bryn Mawr College to go, eine Universität nur für Frauen, in Pennsylvania in den Vereinigten Staaten. Für Noether eine völlig neue Situation: Nicht nur ihre Kolleginnen und Studenten waren allesamt Frauen, sondern sie hatte erstmals eine offizielle Festanstellung. Dies steht im Gegensatz zu Göttingen, wo sie nur „außerordentliche Assistenzprofessorin“ war. Die neue Situation passte sehr gut zu Noether, da sie sich mit einigen ihrer Kollegen von Bryn Mawr sehr gut anfreundete.

Im Sommer von 1934 sie kehrte noch einmal nach Deutschland zurück, wo sie feststellte, dass sich die Situation in Göttingen seit ihrer Abreise im Jahr zuvor unter anderem aufgrund des von den Nazis zur öffentlichen Ordnung gemachten Rassismus völlig verändert hatte. Fast alle ihre ehemaligen Freunde und Kollegen waren inzwischen weg, mit Ausnahme von David Hilbert, der ebenfalls mit der neuen Situation unzufrieden war. Sie besuchte auch Artin in Berlin. Mit Artin machte sie oft lange Spaziergänge, bei denen Noether Artin ihre mathematischen Erkenntnisse erzählte. Da Noether recht schnell sprach, musste sie es oft mehrmals erklären, bevor Artin es verstand. Nicht lange nachdem sie nach Amerika zurückgekehrt war, trat sie der Amerikanische Mathematische Gesellschaft und Dozent, um später weltberühmt zu werden Institut für Höhere Studien im Princeton.

Versterben

Im April 1935 entdeckten Ärzte a Tumor in Noethers Becken. Sie musste dringend operiert werden. Besorgt über die möglichen Komplikationen einer Operation schrieben sie zunächst zwei Tage lang Bettruhe vor dem. Während der Operation Am 10. April entdeckte der Chirurg a Eierstockzyste "die größe von a Melone".^[7] Zwei kleinere Tumoren in ihr Uterus waren gutartig und wurden nicht entfernt, auch um zu verhindern, dass die Operation zu lange dauert. Zuerst schien Noether sich normal zu erholen. Doch vier Tage später, am 14. April, traf sie bewusstlos, ihre Temperatur stieg schnell auf fast 43°C. Kurz darauf starb Emmy Noether. "Es ist nicht leicht zu sagen, was bei Dr. Noether genau passiert ist", schrieb einer der Ärzte. „Es ist möglich, dass es eine gemeinsame und virulente Infektion die die Basis des Gehirns betraf, wo sich die Wärmezentren befinden."^[7]

Die Mathematikerwelt war schockiert, zumal Noether nur wenigen Freunden von ihrer Krankheit erzählt hatte. Einige Tage nach Noethers Tod hielten ihre Freunde und Kollegen bei Bryn Mawr eine kleine Gedenkgottesdienst im Haus des College President Park. Hermann Weyl und Richard Brauer kam aus Princeton und sprach mit Wheeler und Taussky über ihren verstorbenen Kollegen. In den folgenden Monaten wurden eine Reihe von Nachrufe. Unter anderem Albert Einstein, Bartel van der Waerden, Hermann Weyl und Pavel Alexandrov zeigten ihren Respekt für Emmy Noether. Ihr Körper wurde eingeäschert und ihre Asche wurde unter dem Gehweg begraben, der sich um den Kreuzgang des Klosters erstreckte M. Carey Thomas Bibliothek zu Bryn Mawr.^[8]

Beiträge zu Mathematik und Physik

Mathematiker erinnern sich in erster Linie an Noether als abstrakter Algebraist und wegen ihrer Arbeit in der Topologie. Physiker kennen sie wegen ihr am besten berühmter Satz; dies wegen der weitreichenden Folgen davon Gestell für die theoretische Physik und dynamische Systeme. Noether hatte ein großes Talent für abstraktes Denken, das es ihr ermöglichte, mathematische Probleme auf neue und originelle Weise anzugehen.^[9] Ihre Freundin und Kollegin Hermann Weyl teilte seine wissenschaftliche Leistung in drei Epochen ein:

Der wissenschaftliche Output von Emmy Noether lässt sich in drei deutlich unterschiedliche Perioden einteilen:

1. die Periode der relativen Abhängigkeit (1907-1919);
2. Forschung um die allgemeine Idealtheorie (1920-1926);
3. das Studium nichtkommutativer Algebren, ihrer Darstellungen durch lineare Transformationen und ihre Anwendung auf das Studium kommutativer Zahlenkörper und ihrer arithmetischen Operationen (1927-1935).^[3]

In der ersten Periode (1907-1919) konzentrierte sich Noether hauptsächlich auf differentielle und algebraische Invarianten beschäftigt. Dieses Interesse begann mit ihrer Dissertation unter der Betreuung von Paul Gordon. Durch die enge Zusammenarbeit mit Gordans Nachfolger, Ernst Sigismund Fischer, lernte sie die Arbeit von David Hilbert. Unter seinem Einfluss erweiterte sich ihr mathematischer Horizont in eine allgemeinere und abstraktere Richtung. Nach ihrem Umzug nach Göttingen 1915 schuf sie ihre Pionierarbeit auf dem Gebiet der theoretischen Physik, die beiden, Sätze von Noether.

In der zweiten Periode (1920-1926) widmete sich Noether der Entwicklung der Theorie der mathematische Ringe.^[10]

In der dritten Periode (1927-1935) konzentrierte sich Noether auf die nicht-kommutative Algebra, lineare Transformationen, und kommutative Zahlenfelder.^[11]

Historischer Zusammenhang

Im Jahrhundert von 1832 bis zu Noethers Tod 1935 war die Mathematik - und genauer gesagt die Algebra - eine tiefgreifende Revolution, deren Nachhall noch zu spüren ist. In früheren Jahrhunderten beschränkten sich Mathematiker auf die Erforschung praktischer Methoden zur Lösung bestimmter Arten von Gleichungen, wie z dritter Grad, vierten Grades und Gleichungen fünften Grades, sowie zu den verwandtes Problem des Baus von regelmäßige Vielecke mit Kompass und Lineal, beginnen mit Carl Friedrich Gauß' beweisen im Jahr 1829, dass Primzahlen wie fünf im Gaußsche ganze Zahlen könnte sein aufgelöst, Evariste Galois' Einführung von Permutationsgruppen 1832,^[12]William Rowan Hamiltons Entdeckung der Quaternionen im Jahr 1843, und Arthur Cayleys Mit einer moderneren Definition von Gruppen im Jahr 1854 konzentrierte sich die Forschung zunehmend auf die Bestimmung der Eigenschaften von immer abstrakteren Systemen, die durch immer universellere Regeln definiert werden. Noethers wichtigste Beiträge zur Mathematik waren die Entwicklung dieses neuen Gebiets, der abstrakte Algebra.^[13]

Abstrakte Algebra und konzeptuelle Mathematik Math

Zwei der elementarsten Objekte in der abstrakte Algebra sein Gruppen und Ringe.

Die Strukturen von Gruppen und Ringen sind sehr allgemein und lassen sich auf viele reale und abstrakte Situationen anwenden. Jede Menge mit einer oder zwei darauf definierten Operationen, die alle Regeln für eine Gruppe oder einen Ring erfüllen, gehorcht somit allen Sätzen über Gruppen oder Ringe. Ganzzahlen und die Operationen der Addition und Multiplikation sind nur ein Beispiel. Zum Beispiel können die Elemente Computerdatenwörter wobei die erste Kombinationsoperation a . ist exklusive Disjunktion und der zweite logische Konjunktion ist. Thesen von abstrakter Algebra sind mächtig, weil sie allgemein sind; sie steuern eine Vielzahl von Systemen. Man könnte meinen, über Objekte, die mit so wenigen Eigenschaften definiert sind, nicht viel zu lernen, aber genau darin lag Noethers Gabe: das Maximum zu entdecken, das aus einer gegebenen Menge von Eigenschaften abgeleitet werden kann, oder umgekehrt, die minimale Menge, die wesentlichen Eigenschaften, die für eine bestimmte Beobachtung verantwortlich sind, zu identifizieren. Van der Waerden erinnerte in seinem Nachruf daran, dass Noether im Gegensatz zu den meisten Mathematikern, die durch Verallgemeinerung bekannter Beispiele zu Abstraktionen gelangen, eher direkt mit Abstraktionen arbeitete.^[14]

Die Maxime, die Emmy Noether in ihrer Arbeit leitete, lässt sich wie folgt formulieren: „Alle Beziehungen zwischen Zahlen, Funktionen und Operationen werden erst, nachdem sie von ihren spezifischen Objekten isoliert und als allgemeingültige Konzepte formuliert wurden, transparent, universell anwendbar und voll produktiv.

Dies ist die begriffliche Mathematik, die für Noether charakteristisch war. Dieser mathematische Stil wurde später von anderen Mathematikern übernommen und kam nach ihrem Tod in neuen Formen, wie z Kategorientheorie, blühen.

Erste Epoche - Zeitraum 1908-19

Invariante Theorie

sehen Invariante Theorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Im 1907 Noether promovierte zum Paul Gordon zu ihrer Dissertation ber die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form. Gordan war ein Freund von Max Noether und einer der Gründer der Invariante Theorie, ein Feld, in dem Emmy Noether eine herausragende Rolle spielen würde. Emmy war seine einzige Doktorandin. Zwei Teile ihrer Dissertation wurden zu ihren ersten beiden Veröffentlichungen. Nach ihrer Beförderung blieb Noether an der Universität Erlangen arbeiten. Während dieser Zeit in Erlangen forschte sie viel in der Invariantentheorie, insbesondere unter dem Einfluss von gordan, Hilbert und Fischer.

Galois-Theorie

Galois-Theorie bezieht sich auf Transformationen von Zahlenfelder das sind die Wurzeln einer Gleichung permutieren.

1918 veröffentlichte Noether einen bahnbrechenden Artikel über die inverses Galois-Problem.^[15] Anstatt die Galois-Gruppe von Transformationen eines gegebenen Körpers und ihrer Erweiterungen zu bestimmen, fragte sich Noether, ob es bei einem gegebenen Körper und einer Gruppe immer möglich ist, eine Erweiterung des Körpers zu finden, die die gegebene Gruppe als Galois-Gruppe hat. Sie reduzierte diese Forschungsfrage auf die sogenannte "Noethers Problem". Dies fragt, ob das feste Feld einer Untergruppe G des Permutationsgruppeso_nein, der auf diesem Feld k(X₁, ..., X_nein) funktioniert immer rein transzendentale Expansion des Feldes k ist. (Sie erwähnte dieses Problem zum ersten Mal in ihrem Artikel von 1913,^[16] wo sie das Problem ihrer Kollegin zugeschrieben hat Ernst Fischer.) Sie hat gezeigt, dass dies der Fall ist für nein=2, 3 oder 4. 1969 gegründet R.G. Schwan jedoch ein Gegenbeispiel zu Noethers Problem, mit nein=47 und G ein zyklische Gruppe der Ordnung 47^[17], obwohl diese Gruppe auf andere Weise als a Galois-Gruppe lässt sich über die rationalen Zahlen realisieren. Das inverse Galois-Problem ist bis heute (2012) ungelöst.^[18]

Theorem von Noether

sehen Theorem von Noether für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Noether wurde 1915 von David Hilbert und Felix Klein danach gefragt Göttingen kommen. Sie brauchten ihre Expertise in der Invariantentheorie, um ihnen zu helfen, das damals brandneue zu verstehen generelle Relativität, eine geometrische Theorie der Schwere, die hauptsächlich von Albert Einstein entwickelt worden war. Hilbert hatte festgestellt, dass in der Allgemeinen Relativitätstheorie die Energieerhaltungssatz schien verletzt zu sein. Dies lag daran, dass die Gravitationsenergie wiederum auch von der Schwerkraft angezogen wurde. Noether hat die Lösung für dieses Paradox gefunden. 1915 bewies sie ihr erstes Theorem von Noether. Obwohl diese Dissertation erst 1918 veröffentlicht wurde, wurde sie zu einem grundlegenden Werkzeug für die moderne Welt theoretische Physik. Noether löste das Problem nicht nur für die Allgemeine Relativitätstheorie, sondern stellte fest, dass "erhaltene" Größen für alle Systeme physikalischer Gesetze, die einige kontinuierliche Symmetrie besitzen.

Nach Erhalt ihrer Arbeit schrieb Einstein an Hilbert: „Gestern erhielt ich von Fräulein Noether einen sehr interessanten Artikel über Invarianten. Ich bin beeindruckt, dass man solche Dinge so allgemein verstehen kann Miss Noether. Sie scheint zu wissen, wovon sie redet."^[19]

Zur Veranschaulichung: Wenn sich ein physikalisches System, unabhängig davon, wie dieses System im Raum orientiert ist, gleich verhält, nennt man die physikalischen Gesetze, die diesen Raum bestimmen, rotationssymmetrisch; das Theorem von Noether dann zeige, dass es Drehimpuls des Systems muss erhalten bleiben.^[20] Das physikalische System selbst muss nicht symmetrisch sein, ein ungleichmäßiges Asteroid, das sich durch den Raum dreht, behält trotz seiner Asymmetrie seinen Drehimpuls. Die Symmetrie in den physikalischen Gesetzen, die dieses System regieren, ist genau für den Erhaltungssatz verantwortlich. Ein anderes Beispiel: Wenn ein physikalisches Experiment an jedem Ort und zu jeder Zeit das gleiche Ergebnis hat, dann sind seine physikalischen Gesetze unter stetigen Translationen in Raum und Zeit symmetrisch; nach dem Satz von Noether sind diese Symmetrien innerhalb dieses Systems verantwortlich für die Naturschutzgesetze von jeweils Impuls und Energie.

Der Satz von Noether ist zu einem grundlegenden Werkzeug in der modernen Welt geworden theoretische Physik, sowohl als Ergebnis der Einsicht in die Erhaltungssätze des Theorems als auch als praktische Rechenhilfe.^[21] Ihr Theorem ermöglicht es Forschern, die zu erhaltenden Größen durch die beobachteten Symmetrien eines physikalischen Systems zu bestimmen. Umgekehrt erleichtert das Theorem die Beschreibung eines physikalischen Systems, basierend auf Klassen der hypothetischen Naturgesetze. Nehmen wir zur Veranschaulichung an, dass ein neues physikalisches Phänomen entdeckt wurde. Der Satz von Noether bietet einen Test für theoretische Modelle dieses neuen Phänomens: Wenn die Theorie eine kontinuierliche Symmetrie hat, garantiert der Satz von Noether, dass die Theorie auch eine Erhaltungsgröße hat, und damit die Theorie korrekt ist, muss ein Erhaltungssatz möglich sein im Experimente.

Zweite Periode - Periode 1920–26

Begründer der abstrakten Algebra

sehen abstrakte Algebra für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Noethers Hauptforschung konzentrierte sich jedoch auf die Algebra, die sie mit solcher Abstraktion und Allgemeinheit anpackte, dass sie später den Spitznamen "Gründer der Moderne" erhielt. abstrakte Algebra' empfangen. In einem Artikel von 1921 betrachtete sie ein bestimmtes Kettenzustand von Ideale, was zur Definition von führte Noethersche Ringe.

Nach dem Erster Weltkrieg 1918 hatte sich in Deutschland politisch und gesellschaftlich viel verändert, was unter anderem dazu führte, dass sich die Stellung der Frauen stark verbessert hatte, so dass Frauen Privatlehrerinnen werden durften. Emmy Noether hat auch einen Termin bekommen als Privatlehrer.

Im Zuge der zwanziger Jahre Noether wurde in der Mathematik immer bekannter und mehrere ausländische Mathematiker kamen zu Besuch nach Göttingen. Einer von ihnen war Bartel van der Waerden, ein 21-jähriger Niederländer, der Amsterdam unten Brauer und ging auf seinen Rat 1924 nach Göttingen, um bei Noether Unterricht zu nehmen. Van der Waerden würde sein berühmtes Buch veröffentlichen Moderne Algebra Schreiben, das weitgehend auf der Arbeit von Noether und einigen ihrer Kollegen, wie Hilbert und Artin.Im 1925 Noether verbrachte Weihnachten in Blaricum in den Niederlanden. Dort lernte sie Brouwer kennen und interessierte sich für das Abstrakte Topologie. Sie machte eine Reihe an einem topologischen Raum Abelsche Gruppen, die wir jetzt Homologiegruppen zu erwähnen. Laut dem russischen Topologen Pavel Alexandrov, der ein Jahr später Noethers Kollege in Göttingen wurde, war die mathematische Welt zunächst skeptisch, erkannte aber bald, dass die Homologiegruppen viele interessante Anwendungen hatten.

Steigende und fallende Kettenbedingungen

Noether wurde in dieser Zeit durch den geschickten Umgang mit aufsteigenden oder absteigenden Kettenbedingungen bekannt, wobei aufsteigende und absteigende Kettenbedingungen sehr allgemein für alle Arten formuliert werden können mathematische Objekte Das teilweise bestellt könnte sein. Obwohl an der Oberfläche nicht sehr mächtig, zeigte Noether, wie man solche Bedingungen mit maximaler Wirkung nutzen kann, um beispielsweise zu zeigen, dass jede Ansammlung von Unterobjekten ein Maximum/Minimum-Element hat oder dass ein komplexes Objekt aus einer kleineren Anzahl generiert werden kann von Elementen. Solche Schlussfolgerungen sind oft entscheidende Schritte in einem Beweis.

Kommutative Ringe, Ideale und Module

Noethers Artikel, Ideale Theorie in Ringbereichen (Theorie der Ideale in Ringgebieten, 1921),^[22] ist die Grundlage der allgemeinen kommutativen Ringtheorie und gibt eine der ersten allgemeinen Definitionen von a Kommutativer Ring.^[23] Für Noethers Arbeit beschränkten sich die meisten Ergebnisse der kommutativen Algebra auf spezielle Beispiele von Kommutative Ringe, wie Polynomringe über Felder, Ringe oder algebraische ganze Zahlen. Noether bewies, dass in einem Ring, der die zunehmende Kettenbedingung an . erfüllt, Ideale erfüllt, wird jedes endliche Ideal erzeugt. Um diese Eigenschaft zu beschreiben, hat der französische Mathematiker Claude Chevalley 1943 der Begriff, Noetherischer Ring.^[23] Ein wichtiges Ergebnis in Noethers Artikel von 1921 ist außerdem die Theorem von Lasker-Noether. Dieser Satz erweitert den Satz von Lasker über die primäre Zerlegung von Idealen polynomialer Ringe auf alle Noetherschen Ringe. Der Satz von Lasker-Noether kann als Verallgemeinerung des Hauptsatz der Arithmetik, die besagt, dass alle positiven gerade Zahl als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden kann und dass diese Zerlegung eindeutig ist.

Noethers Arbeit Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Abstrakte Struktur der Idealtheorie in algebraische Zahlenfelder und Funktionsfelder, 1927)^[24] charakterisiert Ringe, in denen die Ideale eindeutig in Primideale aufgelöst werden können, als Dedekind-Domains: integrale Domänen mit Noethern, 0 oder 1-dimensional sind und das ganz geschlossen sind in ihren Quotientenfeldern. Dieser Artikel enthält auch das, was jetzt die Isomorphismussätze werden genannt. Sie beschreiben eine Reihe grundlegender natürliche Isomorphismen und einige andere grundlegende Ergebnisse zu Noetherse und Artinian-Module.

Zur Topologie beitragen

Wie beide von Pavel Alexandrov wenn Hermann Weyl in ihren Nachrufen vermerkt, Noethers Beiträge zu den Topologie ihre Großzügigkeit mit Ideen und auch wie sich herausstellte, dass ihre Erkenntnisse ganze Bereiche der Mathematik verändern konnten. In der Topologie untersuchen Mathematiker die Eigenschaften mathematischer Objekte, die unter Verformung invariant bleiben, Eigenschaften wie ihre Kohärenz.

Noether werden die grundlegenden Ideen zugeschrieben, die die algebraische Topologie aus der früheren kombinatorischen Topologie, insbesondere der Idee von Homologiegruppen.^[25] Nach Aleksandrovs Beschreibung besuchte Noether in den Sommern 1926 und 1927 Vorlesungen in Heinz Hopf und Alexandrow. Dort "machte sie ständig Bemerkungen, die oft tief und subtil waren."^[26] Aleksandrov fährt fort, indem er sagt:

Als ... sie zum ersten Mal mit einem systematischen Aufbau der kombinatorischen Topologie bekannt wurde, stellte sie sofort fest, dass es sich lohnen würde, Gruppen von algebraischen Komplexen und Zyklen eines gegebenen Polyeders und der Untergruppe der Zyklengruppe, die aus Zyklen besteht, die zu Null homolog sind, direkt untersucht werden; in plaats van de gebruikelijke definitie van Betti-getallen. Zij stelde onmiddellijk voor om de Betti-groep als complementaire (quotiënt)groep van de groep van alle cycli te definiëren door de ondergroep van cycli die homoloog aan nul zijn. Deze observatie lijkt nu vanzelfsprekend. Maar in die jaren (1925-1928) was dit een geheel nieuw gezichtspunt.^[27]

Derde tijdvak - periode 1927–35

Hypercomplexe getallen en representatietheorie

In de negentiende en vroege twintigste eeuw was er veel werk verricht aan hypercomplexe getallen en groepsrepresentaties. Maar de resultaten waren uiteenlopend. Noether verenigde de resultaten en gaf de eerste algemene representatietheorie van groepen en algebra.^[28] In het kort artikel classificeerde zij de structuurtheorie van associatieve algebra's en de representatietheorie van groepen in een enkele rekenkundige theorie van de modulen en idealen in ringen, die voldeed aan oplopende ketenvoorwaarden. Dit enkele werk van Noether was van fundamenteel belang voor de ontwikkeling van de moderne algebra.^[29]

Noncommutatieve algebra

Noether was ook verantwoordelijk voor een aantal andere ontwikkelingen op het gebied van de abstracte algebra. Samen met Emil Artin, Richard Brauer en Helmut Hasse stond zij aan de basis van de theorie van de centrale enkelvoudige algebra's.^[30]

Een baanbrekend artikel van Noether, Helmut Hasse en Richard Brauer had betrekking op delingsalgebra's.^[31] Dit zijn algebraïsche systemen waarin deling mogelijk is. Gedrieën bewezen zij twee belangrijke stellingen: een lokale-globale stelling, waarin gesteld wordt dat als een eindig dimensionale centrale delingsalgebra over een getallenlichaam overal lokaal splitst het ook globaal zal splitsen (en dus triviaal is). Hieruit deduceerden zij hun hoofdstelling: elke eindig dimensionale centraledelingsalgebra over een algebraïsch getallenlichaam F splitst over een cyclische cyclotomische uitbreiding.

Deze stellingen stellen ons in staat om alle eindig-dimensionale centrale delingsalgebra's te classificeren in een gegeven getallenlichaam. Een volgend artikel van Noether liet, als een speciaal geval van een meer algemene stelling, zien dat alle deelgebieden van een delingsalgebra Dsplijtlichamen zijn.^[32] Dit artikel bevatte ook de stelling van Skolem-Noether, waarin gesteld wordt dat elke twee inbeddingen van een uitbreiding van een veld k in een eindig dimensionale centrale enkelvoudige algebra over k conjugaat zijn. De stelling van Brauer-Noether^[33] geeft een karakterisering van de splijtlichamen van een centrale delingsalgebra over een veld.

Postume erkenning

In de loop van de jaren zou Noether steeds meer erkenning krijgen voor haar werk als wiskundige, vele wetenschappelijke biografieën zouden over haar verschijnen. Hoewel het feit dat ze een vrouw was haar vaak heeft tegengewerkt, heeft dat haar postuum behoorlijk veel belangstelling opgeleverd.

Werken

• Zur Invariantentheorie der Formen von n Variablen (1911)
• Uber Moduln in nicht-kommutativen Bereichen (1920)
• Idealtheorie in Ringbereichen (1921)
• Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (1929)

Referenties

• Een eerdere versie is gebaseerd op een artikel van Martijn Grooten, dat zich op zijn beurt op Struik, Brewer en MacTutor baseert:
• (nl) D.J. Struik, `Geschiedenis van de Wiskunde', Utrecht, 1990
• (en) J.W. Brewer, M.K. Smith, `Emmy Noether : A tribute to her life and work', New York, 1981
• (en) Israel Kleiner, A history of abstract algebra, hoofdstuk 6, pag 91-101, ISBN 978-0-8176-4684-4 , 2007 zie hier
• (en) James, I, Remarkable Mathematicians, From Euler to von Neumann, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-52094-2 , pag. 321-326 zie hier

Externe links

• (de) Invariante Variationsprobleme, Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-Phys. Klasse, 1918, pag. 235-257 zie hier
• (en) Emmy Noether op MacTutor