WikiDer > Сферически симметричное пространство-время

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Сферически-симметричное пространство-время» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Октябрь 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В физика, сферически симметричное пространство-время обычно используются для получения аналитических и численных решений Полевые уравнения Эйнштейна в присутствии радиально движущегося вещества или энергии. Поскольку сферически-симметричные пространства-времени по определению являются безвихревыми, они не являются реалистичными моделями черные дыры в природе. Однако их показатели значительно проще, чем показатели вращающегося пространства-времени, что значительно упрощает их анализ.

Сферически-симметричные модели не совсем неуместны: многие из них имеют Диаграммы Пенроуза похожи на вращающиеся пространства-времени, и они обычно имеют качественные особенности (такие как Коши горизонты), на которые не влияет вращение. Одно из таких приложений - изучение массовая инфляция из-за встречных потоков падающего вещества внутри черной дыры.

Формальное определение

А сферически симметричное пространство-время это пространство-время чей группа изометрии содержит подгруппу, которая изоморфный к группа вращения SO (3) и орбиты этой группы являются 2-сферами (обычные 2-мерные сферы в 3-х мерном Евклидово пространство). Затем изометрии интерпретируются как вращения, а сферически-симметричное пространство-время часто описывается как пространство-время, метрика которого «инвариантна относительно вращений». Метрика пространства-времени индуцирует метрику на каждой орбитальной 2-сфере (и эта индуцированная метрика должна быть кратной метрике 2-сферы). Условно метрика на двумерной сфере записывается в полярные координаты в качестве

${ displaystyle g _ { Omega} = d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2}}$,

и поэтому полная метрика включает член, пропорциональный этому.

Сферическая симметрия - характерная черта многих решений Полевые уравнения Эйнштейна из общая теория относительности, особенно Решение Шварцшильда и Решение Рейсснера – Нордстрема. Сферически-симметричное пространство-время можно охарактеризовать и иначе, а именно с помощью понятия Убивающие векторные поля, что в очень точном смысле сохранить метрику. Упомянутые выше изометрии на самом деле диффеоморфизмы локальных потоков векторных полей Киллинга и, таким образом, генерировать эти векторные поля. Для сферически-симметричного пространства-времени ${ displaystyle M}$, имеется ровно 3 вращающихся векторных поля Киллинга. Другими словами, размер Убийственная алгебра ${ Displaystyle К (М)}$ равно 3; то есть, ${ Displaystyle тусклый К (М) = 3}$. В общем, ни один из них не похож на время, поскольку это означало бы статическое пространство-время.

Известно (см. Теорема Биркгофа), что любое сферически-симметричное решение уравнения вакуумного поля обязательно изометрично подмножеству максимально расширенного Решение Шварцшильда. Это означает, что внешняя область вокруг сферически симметричного гравитирующего объекта должна быть статический и асимптотически плоский.

Сферически симметричные метрики

Обычно используется сферические координаты ${ Displaystyle х ^ { му} = (т, г, тета, фи)}$, чтобы записать метрику ( линейный элемент). Несколько карты координат возможны; к ним относятся:

• Координаты Шварцшильда
• Изотропные координаты, в котором световые конусы круглые, поэтому полезны для изучения нулевая пыль.
• Гауссовы полярные координаты, иногда используется для изучения статических сферически симметричных совершенных жидкостей.
• Окружной радиус, указанный ниже, удобен для изучения инфляции массы.

Окружной радиус метрический

Один популярный показатель^[1], используемых при изучении массовая инфляция, является

${ displaystyle ds ^ {2} = g _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu} = - { frac {dt ^ {2}} { alpha ^ {2}}} + { frac {1} { beta _ {r} ^ {2}}} left (dr- beta _ {t} { frac {dt} { alpha}} right) ^ {2} + r ^ {2} , g ( Omega).}$

Здесь, ${ displaystyle g ( Omega)}$ стандартная метрика на двумерной сфере единичного радиуса ${ Displaystyle Omega = ( theta, phi)}$. Радиальная координата ${ displaystyle r}$ определяется так, чтобы это был окружной радиус, то есть так, чтобы правильная окружность на радиусе ${ displaystyle r}$является ${ displaystyle 2 pi r}$. При таком выборе координат параметр ${ displaystyle beta _ {t}}$ определяется так, что ${ Displaystyle бета _ {т} = др / д тау}$ - собственная скорость изменения окружного радиуса (т. е. где ${ Displaystyle тау}$ это подходящее время). Параметр ${ displaystyle beta _ {r}}$ можно интерпретировать как радиальную производную окружного радиуса в свободно падающей раме; это становится явным в тетрадный формализм.

Ортонормированный тетрадный формализм

Обратите внимание, что указанная выше метрика записывается как сумма квадратов, и поэтому ее можно понимать как явное кодирование Vierbein, и, в частности, ортонормированная тетрада. То есть метрический тензор можно записать как откат из Метрика Минковского ${ displaystyle eta _ {ij}}$:

${ displaystyle g _ { mu nu} = eta _ {ij} , e _ {; mu} ^ {i} , e _ {; nu} ^ {j}}$

где ${ Displaystyle е _ {; му} ^ {я}}$ является обратным вербейном. Здесь и далее принято соглашение, что римские индексы относятся к плоской ортонормированной тетрадной системе отсчета, а греческие индексы относятся к системе координат. Обратный vierbein может быть непосредственно прочитан из вышеуказанной метрики как

${ Displaystyle е _ {; mu} ^ {t} dx ^ { mu} = { frac {dt} { alpha}}}$

${ displaystyle e _ {; mu} ^ {r} dx ^ { mu} = { frac {1} { beta _ {r}}} left (dr- beta _ {t} { frac {dt} { alpha}} right)}$

${ Displaystyle е _ {; mu} ^ { theta} dx ^ { mu} = rd theta}$

${ Displaystyle е _ {; mu} ^ { phi} dx ^ { mu} = r sin theta d phi}$

где подпись должна была быть ${ displaystyle (- +++)}$. Записанный в виде матрицы обратный вербейн имеет вид

${ displaystyle e _ {; mu} ^ {i} = { begin {bmatrix} { frac {1} { alpha}} & 0 & 0 & 0 - { frac { beta _ {t}} { alpha beta _ {r}}} & { frac {1} { beta _ {r}}} & 0 & 0 0 & 0 & r & 0 0 & 0 & 0 & r sin theta end {bmatrix}}}$

Сам по себе vierbein является инверсией (-transpose) обратного vierbein

${ displaystyle e_ {i} ^ {; mu} = { begin {bmatrix} alpha & beta _ {t} & 0 & 0 0 & beta _ {r} & 0 & 0 0 & 0 & { frac {1} {r}} & 0 0 & 0 & 0 & { frac {1} {r sin theta}} end {bmatrix}}}$

То есть, ${ displaystyle (е _ {; mu} ^ {i}) ^ {T} e_ {i} ^ {; nu} = e _ { mu} ^ {; ; i} e_ {i} ^ {; nu} = delta _ { mu} ^ { nu}}$ - единичная матрица.

Особенно простая форма вышеизложенного - главный мотивирующий фактор для работы с данной метрикой.

Вирбейн связывает векторные поля в системе координат с векторными полями в системе координат тетрад, как

${ displaystyle partial _ {i} = e_ {i} ^ {; mu} { frac { partial ; ;} { partial x ^ { mu}}}}$

Самые интересные из этих двух ${ displaystyle partial _ {t}}$ что является собственным временем в системе координат покоя, и ${ displaystyle partial _ {r}}$ которая является радиальной производной в системе покоя. По конструкции, как отмечалось ранее, ${ displaystyle beta _ {t}}$ была собственная скорость изменения окружного радиуса; теперь это можно явно записать как

${ displaystyle beta _ {t} = partial _ {t} r}$

Точно так же

${ displaystyle beta _ {r} = partial _ {r} r}$

который описывает градиент (в свободно падающей тетрадной системе отсчета) окружного радиуса в радиальном направлении. Это не общее единство; сравните, например, со стандартным решением Swarschild или решением Reissner – Nordström. Знак ${ displaystyle beta _ {r}}$ эффективно определяет, «какой путь вниз»; знак ${ displaystyle beta _ {r}}$ различает входящие и исходящие кадры, так что ${ displaystyle beta _ {r}> 0}$ это входящий фрейм, и ${ displaystyle beta _ {r} <0}$ это исходящий фрейм.

Эти два соотношения для окружного радиуса дают еще одну причину, по которой эта конкретная параметризация метрики удобна: она имеет простую интуитивно понятную характеристику.

Форма подключения

В форма подключения в тетрадной системе отсчета можно записать через Символы Кристоффеля ${ displaystyle Gamma _ {ijk}}$ в тетрадной системе отсчета, которые задаются

${ displaystyle Gamma _ {rtt} = - partial _ {r} ln alpha}$

${ displaystyle Gamma _ {rtr} = - beta _ {t} { frac { partial ln alpha} { partial r}} + { frac { partial beta _ {t}} { частичный r}} - partial _ {t} ln beta _ {r}}$

${ Displaystyle Gamma _ { theta t theta} = Gamma _ { phi t phi} = { frac { beta _ {t}} {r}}}$

${ displaystyle Gamma _ { theta r theta} = Gamma _ { phi r phi} = { frac { beta _ {r}} {r}}}$

${ displaystyle Gamma _ { phi theta phi} = { frac { cot theta} {r}}}$

а все остальные ноль.

Уравнения Эйнштейна

Полный набор выражений для Тензор Римана, то Тензор Эйнштейна и й Кривизна Вейля Скаляр можно найти в Гамильтон и Авелино.^[1] Уравнения Эйнштейна становятся

${ displaystyle nabla _ {t} beta _ {t} = - { frac {M} {r ^ {2}}} - 4 pi rp}$

${ displaystyle nabla _ {t} beta _ {r} = 4 pi rf}$

куда ${ displaystyle nabla _ {t}}$ ковариантная производная по времени (и ${ displaystyle nabla}$ в Леви-Чивита связь), ${ displaystyle p}$ радиальное давление (нет изотропное давление!) и ${ displaystyle f}$ радиальный поток энергии. Масса ${ Displaystyle М (г)}$ это Масса Миснера-Торна или же внутренняя масса, данный

${ displaystyle { frac {2M} {r}} - 1 = beta _ {t} ^ {2} - beta _ {r} ^ {2}}$

Поскольку эти уравнения фактически двумерны, их можно решить без огромных трудностей для различных предположений о природе падающего материала (то есть, для предположения о сферически-симметричной черной дыре, которая аккрецирует заряженную или нейтральную пыль, газ плазма или темная материя высокой или низкой температуры, т.е. материал с различными уравнения состояния.)

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Стационарное пространство-время
• Симметрии пространства-времени
• Пространство Де Ситтера

Рекомендации

• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87033-2. См. Раздел 6.1 для обсуждения сферической симметрии..