WikiDer > Представление в пространстве состояний

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В техника управления, а представление в пространстве состояний математическая модель физической системы как набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой первым порядком дифференциальные уравнения или же разностные уравнения. Переменные состояния - это переменные, значения которых меняются с течением времени в зависимости от значений, которые они имеют в любой момент времени, и от внешних значений входных переменных. Значения выходных переменных зависят от значений переменных состояния.

"пространство состояний" это Евклидово пространство^{[нужна цитата]} в котором переменные на осях являются переменными состояния. Состояние системы можно представить в виде вектора в этом пространстве.

Чтобы абстрагироваться от количества входов, выходов и состояний, эти переменные выражаются как векторов. Кроме того, если динамическая система линейно, инвариантно во времени и конечномерно, то дифференциал и алгебраические уравнения может быть написано в матрица форма.^[1][2]Метод пространства состояний характеризуется значительной алгебраизацией общих теория систем, что позволяет использовать векторно-матричные структуры Кронекера. Возможности этих структур могут быть эффективно применены к исследовательским системам с модуляцией или без нее.^[3] Представление в пространстве состояний (также известное как "область времени подход ») обеспечивает удобный и компактный способ моделирования и анализа систем с несколькими входами и выходами. ${ displaystyle p}$ входы и ${ displaystyle q}$ выходы, иначе нам пришлось бы записывать ${ displaystyle q times p}$ Преобразования Лапласа закодировать всю информацию о системе. в отличие от частотная область В подходе использование представления в пространстве состояний не ограничивается системами с линейными компонентами и нулевыми начальными условиями.

Модель пространства состояний может применяться в таких предметах, как экономика.^[4], статистика^[5], информатика и электротехника^[6], и нейробиология^[7]. В эконометрика, например, модели пространства состояний могут использоваться для разложения Временные ряды в тренд и цикл, объединить отдельные индикаторы в составной индекс^[8], определить поворотные точки бизнес-цикла и оценить ВВП с использованием скрытых и ненаблюдаемых временных рядов^[9][10]. Многие приложения полагаются на Фильтр Калмана для получения оценок текущих неизвестных переменных состояния, используя их предыдущие наблюдения.^[11][12]

Переменные состояния

внутренний переменные состояния - это наименьшее возможное подмножество системных переменных, которое может представлять все состояние системы в любой момент времени.^[13] Минимальное количество переменных состояния, необходимых для представления данной системы, ${ displaystyle n}$, обычно равна порядку определяющего дифференциального уравнения системы, но не обязательно. Если система представлена ​​в форме передаточной функции, минимальное количество переменных состояния равно порядку знаменателя передаточной функции после того, как оно было уменьшено до надлежащей дроби. Важно понимать, что преобразование реализации в пространстве состояний в форму передаточной функции может привести к потере некоторой внутренней информации о системе и может предоставить описание системы, которая является стабильной, когда реализация в пространстве состояний нестабильна в определенных точках. В электрических цепях количество переменных состояния часто, хотя и не всегда, совпадает с количеством элементов накопления энергии в цепи, таких как конденсаторы и индукторы. Определенные переменные состояния должны быть линейно независимыми, т.е. никакая переменная состояния не может быть записана как линейная комбинация других переменных состояния, иначе система не сможет быть решена.

Линейные системы

Блок-схема представления линейных уравнений в пространстве состояний

Наиболее общее представление линейной системы в пространстве состояний с ${ displaystyle p}$ входы, ${ displaystyle q}$ выходы и ${ displaystyle n}$ переменные состояния записываются в следующем виде:^[14]

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {B} (t) mathbf {u} (t )}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {D} (t) mathbf {u} (t)}$

куда:

${ Displaystyle mathbf {х} ( cdot)}$ называется "вектором состояния", ${ displaystyle mathbf {x} (t) in mathbb {R} ^ {n}}$;

${ Displaystyle mathbf {у} ( cdot)}$ называется "выходным вектором", ${ Displaystyle mathbf {у} (т) в mathbb {R} ^ {q}}$;

${ Displaystyle mathbf {и} ( cdot)}$ называется «входным (или управляющим) вектором», ${ Displaystyle mathbf {и} (т) в mathbb {R} ^ {p}}$;

${ Displaystyle mathbf {A} ( cdot)}$ это «матрица состояний (или системы)», ${ Displaystyle OperatorName {dim} [ mathbf {A} ( cdot)] = п раз п}$,

${ Displaystyle mathbf {B} ( cdot)}$ "входная матрица", ${ Displaystyle OperatorName {dim} [ mathbf {B} ( cdot)] = п раз p}$,

${ Displaystyle mathbf {C} ( cdot)}$ это "выходная матрица", ${ Displaystyle OperatorName {dim} [ mathbf {C} ( cdot)] = д раз п}$,

${ Displaystyle mathbf {D} ( cdot)}$ - это "матрица сквозных (или прогнозных)" (в случаях, когда модель системы не имеет прямого сквозного подключения, ${ Displaystyle mathbf {D} ( cdot)}$ - нулевая матрица), ${ Displaystyle OperatorName {dim} [ mathbf {D} ( cdot)] = q times p}$,

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t): = { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} mathbf {x} (t)}$.

В этой общей формулировке все матрицы могут изменяться во времени (т.е. их элементы могут зависеть от времени); однако в общем LTI В этом случае матрицы будут инвариантными во времени. Временная переменная ${ displaystyle t}$ может быть непрерывным (например, ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$) или дискретные (например, ${ Displaystyle т в mathbb {Z}}$). В последнем случае переменная времени ${ displaystyle k}$ обычно используется вместо ${ displaystyle t}$. Гибридные системы учитывают временные области, которые имеют как непрерывную, так и дискретную части. В зависимости от сделанных предположений представление модели в пространстве состояний может принимать следующие формы:

Тип системы	Модель пространства состояний
Непрерывный инвариантный во времени	${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t) + mathbf {B} mathbf {u} (t)}$ ${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} mathbf {x} (t) + mathbf {D} mathbf {u} (t)}$
Непрерывный временной вариант	${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {B} (t) mathbf {u} (t )}$ ${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {D} (t) mathbf {u} (t)}$
Явный дискретный инвариантный во времени	${ Displaystyle mathbf {x} (к + 1) = mathbf {A} mathbf {x} (k) + mathbf {B} mathbf {u} (k)}$ ${ Displaystyle mathbf {Y} (к) = mathbf {C} mathbf {x} (k) + mathbf {D} mathbf {u} (k)}$
Явный дискретный временной вариант	${ Displaystyle mathbf {x} (к + 1) = mathbf {A} (k) mathbf {x} (k) + mathbf {B} (k) mathbf {u} (k)}$ ${ Displaystyle mathbf {y} (к) = mathbf {C} (k) mathbf {x} (k) + mathbf {D} (k) mathbf {u} (k)}$
Домен Лапласа из непрерывный инвариантный во времени	${ Displaystyle s mathbf {X} (s) - mathbf {x} (0) = mathbf {A} mathbf {X} (s) + mathbf {B} mathbf {U} (s)}$ ${ Displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {C} mathbf {X} (s) + mathbf {D} mathbf {U} (s)}$
Z-домен из дискретный инвариантный во времени	${ Displaystyle Z mathbf {X} (z) -z mathbf {x} (0) = mathbf {A} mathbf {X} (z) + mathbf {B} mathbf {U} (z) }$ ${ Displaystyle mathbf {Y} (z) = mathbf {C} mathbf {X} (z) + mathbf {D} mathbf {U} (z)}$

Пример: случай LTI с непрерывным временем

Характеристики устойчивости и естественного отклика непрерывного времени Система LTI (т.е. линейные с матрицами, постоянными по времени) могут быть изучены из собственные значения матрицы ${ displaystyle mathbf {A}}$. Устойчивость инвариантной во времени модели пространства состояний можно определить, глядя на функция передачи в факторизованном виде. Тогда это будет выглядеть примерно так:

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = k { frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) (s-z_ {3})} {(s-p_ { 1}) (s-p_ {2}) (s-p_ {3}) (s-p_ {4})}}.}$

Знаменатель передаточной функции равен характеристический многочлен найдено, взяв детерминант из ${ displaystyle s mathbf {I} - mathbf {A}}$,

${ displaystyle lambda (s) = | s mathbf {I} - mathbf {A} |.}$

Корни этого многочлена ( собственные значения) - передаточная функция системы полюса (т.е. особенности где величина передаточной функции не ограничена). Эти полюса можно использовать для анализа работоспособности системы. асимптотически устойчивый или же незначительно стабильный. Альтернативный подход к определению устойчивости, который не предполагает вычисления собственных значений, заключается в анализе системного Ляпуновская устойчивость.

Нули в числителе ${ displaystyle { textbf {G}} (s)}$ аналогичным образом можно использовать для определения того, является ли система минимальная фаза.

Система все еще может быть вход-выход стабильный (видеть BIBO стабильный), хотя он внутренне нестабилен. Это может иметь место, если нестабильные полюса компенсируются нулями (т. Е. Если эти особенности в передаточной функции равны съемный).

Управляемость

Условие управляемости состояния подразумевает, что можно - с помощью допустимых входов - управлять состояниями от любого начального значения к любому конечному значению в течение некоторого конечного временного окна. Непрерывная инвариантная во времени линейная модель в пространстве состояний - это управляемый если и только если

${ displaystyle operatorname {rank} { begin {bmatrix} mathbf {B} & mathbf {A} mathbf {B} & mathbf {A} ^ {2} mathbf {B} & dots & mathbf {A} ^ {n-1} mathbf {B} end {bmatrix}} = n,}$

куда классифицировать - количество линейно независимых строк в матрице, где п - количество переменных состояния.

Наблюдаемость

Наблюдаемость - это мера того, насколько хорошо внутренние состояния системы могут быть выведены на основе информации о ее внешних выходах. Наблюдаемость и управляемость системы являются математическими двойниками (то есть, поскольку управляемость обеспечивает доступность входа, который переводит любое начальное состояние в любое желаемое конечное состояние, наблюдаемость обеспечивает, что знание выходной траектории дает достаточно информации для прогнозирования начального состояния системы. ).

Непрерывная инвариантная во времени линейная модель в пространстве состояний - это наблюдаемый если и только если

${ displaystyle operatorname {rank} { begin {bmatrix} mathbf {C} mathbf {C} mathbf {A} vdots mathbf {C} mathbf {A} ^ {n -1} end {bmatrix}} = n.}$

Функция передачи

"функция передачи"непрерывной инвариантной во времени линейной модели в пространстве состояний может быть получена следующим образом:

Во-первых, взяв Преобразование Лапласа из

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t) + mathbf {B} mathbf {u} (t)}$

дает

${ Displaystyle s mathbf {X} (s) - mathbf {x} (0) = mathbf {A} mathbf {X} (s) + mathbf {B} mathbf {U} (s). }$

Далее мы упрощаем для ${ Displaystyle mathbf {X} (s)}$, давая

${ Displaystyle (s mathbf {I} - mathbf {A}) mathbf {X} (s) = mathbf {x} (0) + mathbf {B} mathbf {U} (s)}$

и поэтому

${ Displaystyle mathbf {X} (s) = (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {x} (0) + (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {B} mathbf {U} (s).}$

Замена на ${ Displaystyle mathbf {X} (s)}$ в выходном уравнении

${ Displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {C} mathbf {X} (s) + mathbf {D} mathbf {U} (s),}$

давая

${ displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {C} ((s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {x} (0) + (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {B} mathbf {U} (s)) + mathbf {D} mathbf {U} (s).}$

Предполагая нулевые начальные условия ${ Displaystyle mathbf {x} (0) = mathbf {0}}$ и система с одним входом и одним выходом (SISO), то функция передачи определяется как соотношение вывода и ввода ${ Displaystyle G (s) = Y (s) / U (s)}$. Для система с несколькими входами и выходами (MIMO)Однако это соотношение не определено. Следовательно, при нулевых начальных условиях матрица передаточной функции происходит от

${ Displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {G} (s) mathbf {U} (s)}$

используя метод приравнивания коэффициентов, который дает

${ Displaystyle mathbf {G} (s) = mathbf {C} (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {B} + mathbf {D}}$.

Как следствие, ${ Displaystyle mathbf {G} (s)}$ матрица размерности ${ displaystyle q times p}$ который содержит передаточные функции для каждой комбинации ввода-вывода. Из-за простоты этой матричной записи представление в пространстве состояний обычно используется для систем с множеством входов и множеством выходов. В Матрица системы Розенброка обеспечивает мост между представлением в пространстве состояний и его функция передачи.

Канонические реализации

Любая данная передаточная функция, которая строго правильно может быть легко перенесен в пространство состояний с помощью следующего подхода (этот пример для 4-мерной системы с одним входом и одним выходом):

Для данной передаточной функции разверните ее, чтобы отобразить все коэффициенты в числителе и знаменателе. Это должно привести к следующей форме:

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = { frac {n_ {1} s ^ {3} + n_ {2} s ^ {2} + n_ {3} s + n_ {4}} { s ^ {4} + d_ {1} s ^ {3} + d_ {2} s ^ {2} + d_ {3} s + d_ {4}}}.}$

Теперь коэффициенты можно вставить непосредственно в модель пространства состояний с помощью следующего подхода:

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - d_ {4} & - d_ {3} & - d_ {2} & -d_ {1} end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 0 0 0 1 end {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} n_ {4} & n_ {3} & n_ {2} & n_ {1} end {bmatrix}} { textbf {x}} ( t).}$

Эта реализация в пространстве состояний называется управляемая каноническая форма потому что результирующая модель гарантированно управляема (то есть, поскольку элемент управления входит в цепочку интеграторов, он имеет возможность перемещать каждое состояние).

Коэффициенты передаточной функции также можно использовать для построения канонической формы другого типа

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -d_ {4} 1 & 0 & 0 & -d_ {3} 0 & 1 & 0 & -d_ {2} 0 & 0 & 1 & - d_ {1} end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} n_ {4} n_ {3} n_ {2} n_ {1} конец {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t).}$

Эта реализация в пространстве состояний называется наблюдаемая каноническая форма потому что результирующая модель гарантированно будет наблюдаемой (т. е. поскольку выходные данные выходят из цепочки интеграторов, каждое состояние влияет на выход).

Правильные передаточные функции

Функции передачи, которые только правильный (и нет строго правильно) также может быть реализовано довольно легко. Хитрость здесь в том, чтобы разделить передаточную функцию на две части: строго правильную часть и постоянную.

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = { textbf {G}} _ { mathrm {SP}} (s) + { textbf {G}} ( infty).}$

Затем строго правильная передаточная функция может быть преобразована в каноническую реализацию в пространстве состояний с использованием методов, показанных выше. Реализация константы в пространстве состояний тривиально ${ Displaystyle { textbf {y}} (т) = { textbf {G}} ( infty) { textbf {u}} (т)}$. Вместе мы получаем реализацию в пространстве состояний с матрицами А, B и C определяется строго правильной частью, а матрица D определяется константой.

Вот пример, чтобы немного прояснить ситуацию:

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = { frac {s ^ {2} + 3s + 3} {s ^ {2} + 2s + 1}} = { frac {s + 2} { s ^ {2} + 2s + 1}} + 1}$

что дает следующую управляемую реализацию

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} -2 & -1 1 & 0 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} 1 & 2 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 1 end {bmatrix} } { textbf {u}} (t)}$

Обратите внимание, как вывод также напрямую зависит от ввода. Это связано с ${ Displaystyle { textbf {G}} ( infty)}$ константа в передаточной функции.

Обратная связь

Типичная модель в пространстве состояний с обратной связью

Распространенный метод обратной связи - умножение результата на матрицу K и установив это как вход в систему: ${ Displaystyle mathbf {и} (т) = К mathbf {у} (т)}$.Поскольку значения K неограничены, значения могут быть легко инвертированы для негативный отзыв.Присутствие отрицательного знака (общепринятое обозначение) является чисто условным, и его отсутствие не влияет на конечный результат.

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) + B mathbf {u} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) + D mathbf {u} (t)}$

становится

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) + BK mathbf {y} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) + DK mathbf {y} (t)}$

решение выходного уравнения для ${ Displaystyle mathbf {у} (т)}$ и подстановка в уравнение состояния приводит к

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left (A + BK left (I-DK right) ^ {- 1} C right) mathbf {x} (t) }$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = left (I-DK right) ^ {- 1} C mathbf {x} (t)}$

Преимущество этого в том, что собственные значения из А можно контролировать, установив K соответственно через собственное разложение ${ Displaystyle влево (A + BK влево (I-DK right) ^ {- 1} C вправо)}$Это предполагает, что замкнутая система управляемый или что нестабильные собственные значения А можно сделать стабильным за счет соответствующего выбора K.

Пример

Для строго правильной системы D равно нулю. Другая довольно распространенная ситуация - когда все состояния являются выходами, т.е. у = Икс, что дает C = я, то Единичная матрица. Тогда это привело бы к более простым уравнениям

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left (A + BK right) mathbf {x} (t)}$

${ Displaystyle mathbf {у} (т) = mathbf {х} (т)}$

Это сокращает необходимое собственное разложение до ${ displaystyle A + BK}$.

Обратная связь с входом уставки (задания)

Обратная связь по выходу с заданным значением

Помимо обратной связи, вход, ${ Displaystyle г (т)}$, можно добавить так, что ${ displaystyle mathbf {u} (t) = - K mathbf {y} (t) + mathbf {r} (t)}$.

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) + B mathbf {u} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) + D mathbf {u} (t)}$

становится

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) -BK mathbf {y} (t) + B mathbf {r} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) -DK mathbf {y} (t) + D mathbf {r} (t)}$

решение выходного уравнения для ${ Displaystyle mathbf {у} (т)}$ и подстановка в уравнение состояния приводит к

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left (A-BK left (I + DK right) ^ {- 1} C right) mathbf {x} (t) + B left (IK left (I + DK right) ^ {- 1} D right) mathbf {r} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = left (I + DK right) ^ {- 1} C mathbf {x} (t) + left (I + DK right) ^ {- 1} Д mathbf {r} (t)}$

Одно довольно распространенное упрощение этой системы - удаление D, что сводит уравнения к

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left (A-BKC right) mathbf {x} (t) + B mathbf {r} (t)}$

${ Displaystyle mathbf {у} (т) = С mathbf {х} (т)}$

Пример движущегося объекта

Классическая линейная система - это система одномерного движения объекта (например, тележки).Законы движения Ньютона для объекта, движущегося горизонтально на плоскости и прикрепленного к стене пружиной:

${ displaystyle m { ddot {y}} (t) = u (t) -b { dot {y}} (t) -ky (t)}$

куда

• ${ Displaystyle у (т)}$ это позиция; ${ Displaystyle { точка {y}} (т)}$ скорость; ${ Displaystyle { ddot {y}} (т)}$ это ускорение
• ${ Displaystyle и (т)}$ это приложенная сила
• ${ displaystyle b}$ коэффициент вязкого трения
• ${ displaystyle k}$ жесткость пружины
• ${ displaystyle m}$ это масса объекта

Тогда уравнение состояния станет

${ displaystyle left [{ begin {matrix} mathbf {{ dot {x}} _ {1}} (t) mathbf {{ dot {x}} _ {2}} (t) end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} 0 & 1 - { frac {k} {m}} & - { frac {b} {m}} end {matrix} } right] left [{ begin {matrix} mathbf {x_ {1}} (t) mathbf {x_ {2}} (t) end {matrix}} right] + left [ { begin {matrix} 0 { frac {1} {m}} end {matrix}} right] mathbf {u} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = left [{ begin {matrix} 1 & 0 end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} mathbf {x_ {1}} (t ) mathbf {x_ {2}} (t) end {matrix}} right]}$

куда

• ${ Displaystyle x_ {1} (т)}$ представляет положение объекта
• ${ Displaystyle х_ {2} (т) = { точка {х}} _ {1} (т)}$ это скорость объекта
• ${ displaystyle { dot {x}} _ {2} (t) = { ddot {x}} _ {1} (t)}$ это ускорение объекта
• выход ${ Displaystyle mathbf {у} (т)}$ это положение объекта

В управляемость тест тогда

${ displaystyle left [{ begin {matrix} B&AB end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} left [{ begin {matrix}} 0 { frac {1} {m}} end {matrix}} right] & left [{ begin {matrix} 0 & 1 - { frac {k} {m}} & - { frac {b} {m}} end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} 0 { frac {1} {m}} end {matrix}} right] end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} 0 & { frac {1} {m}} { frac {1} {m}} & - { frac {b} {m ^ {2}}} end { матрица}} right]}$

который имеет полное звание для всех ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle m}$. Это означает, что если известно начальное состояние системы (${ Displaystyle у (т)}$, ${ Displaystyle { точка {y}} (т)}$, ${ Displaystyle { ddot {y}} (т)}$), а если ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle m}$ константы, то есть пружина ${ displaystyle k}$ который может переместить тележку в любое другое положение в системе.

В наблюдаемость тест тогда

${ displaystyle left [{ begin {matrix} C CA end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} left [{ begin {matrix} 1 & 0 end {matrix}} } right] left [{ begin {matrix} 1 & 0 end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} 0 & 1 - { frac {k} {m}} & - { frac {b} {m}} end {matrix}} right] end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} 1 & 0 0 & 1 end {matrix}} right ]}$

который также имеет полный ранг, следовательно, эта система и управляема, и наблюдаема.

Нелинейные системы

Более общую форму модели пространства состояний можно записать как две функции.

${ Displaystyle mathbf { точка {х}} (т) = mathbf {f} (т, х (т), и (т))}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {h} (t, x (t), u (t))}$

Первое - это уравнение состояния, а второе - выходное уравнение. ${ Displaystyle е ( cdot, cdot, cdot)}$ представляет собой линейную комбинацию состояний и входов, тогда уравнения можно записать в матричной записи, как указано выше. ${ Displaystyle и (т)}$ аргумент функции может быть опущен, если система не принудительно (то есть у нее нет входов).

Пример маятника

Классическая нелинейная система - это простая не принудительная маятник

${ displaystyle m ell ^ {2} { ddot { theta}} (t) = - m ell g sin theta (t) -k ell { dot { theta}} (t)}$

куда

• ${ Displaystyle тета (т)}$ угол маятника по отношению к направлению силы тяжести
• ${ displaystyle m}$ - масса маятника (масса стержня маятника принимается равной нулю)
• ${ displaystyle g}$ это ускорение свободного падения
• ${ displaystyle k}$ коэффициент трения в точке поворота
• ${ displaystyle ell}$ - радиус маятника (до центра тяжести массы ${ displaystyle m}$)

Тогда уравнения состояния имеют вид

${ Displaystyle { точка {х}} _ {1} (т) = х_ {2} (т)}$

${ displaystyle { dot {x}} _ {2} (t) = - { frac {g} { ell}} sin {x_ {1}} (t) - { frac {k} {m ell}} {x_ {2}} (t)}$

куда

• ${ Displaystyle х_ {1} (т) = тета (т)}$ это угол маятника
• ${ Displaystyle х_ {2} (т) = { точка {х}} _ {1} (т)}$ - скорость вращения маятника
• ${ displaystyle { dot {x}} _ {2} = { ddot {x}} _ {1}}$ - вращательное ускорение маятника

Вместо этого уравнение состояния можно записать в общем виде

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left ({ begin {matrix} { dot {x}} _ {1} (t) { dot {x}}) _ {2} (t) end {matrix}} right) = mathbf {f} (t, x (t)) = left ({ begin {matrix} x_ {2} (t) - { frac {g} { ell}} sin {x_ {1}} (t) - { frac {k} {m ell}} {x_ {2}} (t) end {matrix}} верно).}$

В равновесие/стационарные точки системы, когда ${ displaystyle { dot {x}} = 0}$ и поэтому точки равновесия маятника - это те, которые удовлетворяют

${ displaystyle left ({ begin {matrix} x_ {1} x_ {2} end {matrix}} right) = left ({ begin {matrix} n pi 0 end { матрица}} справа)}$

для целых чисел п.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Язык Wolfram функции для линейные модели в пространстве состояний, аффинные модели в пространстве состояний, и нелинейные модели в пространстве состояний.