WikiDer > Факторизация Штейна

Stein factorization

В алгебраической геометрии Факторизация Штейна, представлен Карл Штайн (1956) для случая комплексных пространств, утверждает, что собственный морфизм может быть факторизован как композиция конечного отображения и собственного морфизма со связными слоями. Грубо говоря, факторизация Штейна стягивает связные компоненты слоев отображения в точки.

Заявление

Одна из версий схем гласит следующее :(EGA, III.4.3.1)

Позволять Икс быть схема, S локально нетерова схема и а правильный морфизм. Тогда можно написать

куда это конечный морфизм и - правильный морфизм, так что

Само существование этого разложения нетрудно. Смотри ниже. Но, по Теорема Зарисского о связности, последняя часть выше говорит о том, что волокно подключается для любого . Следует:

Следствие: Для любого , множество компонент связности волокна находится в биекции с множеством точек в слое .

Доказательство

Набор:

где SpecS это относительный Спецификация. Конструкция дает естественную карту , что конечно, поскольку последовательна и ж правильно. Морфизм ж факторы через грамм и один получает , что правильно. По конструкции, . Затем используется теорема о формальных функциях чтобы показать, что из последнего равенства следует соединил волокна. (Эту часть иногда называют теоремой Зарисского о связности.)

Смотрите также

Рекомендации