WikiDer > Теорема о формальных функциях

Theorem on formal functions

В алгебраическая геометрия, то теорема о формальных функциях заявляет следующее:[1]

Позволять быть правильный морфизм из нётерские схемы связной связкой на Икс. Позволять быть закрытой подсхемой S определяется и формальное завершение относительно и . Тогда для каждого каноническое (непрерывное) отображение:
является изоморфизмом (топологического) -модули, где
  • Левый член .
  • Каноническое отображение получается предельным переходом.

Теорема используется для вывода некоторых других важных теорем: Факторизация Штейна и версия Основная теорема Зарисского это говорит, что правильный бирациональный морфизм в нормальный сорт является изоморфизмом. Некоторые другие следствия (с обозначениями, как указано выше):

Следствие:[2] Для любого , топологически,

где пополнение слева по .

Следствие:[3] Позволять р быть таким, чтобы для всех . потом

Corollay:[4] Для каждого , существует открытая окрестность U из s такой, что

Следствие:[5] Если , тогда подключен для всех .

Теорема также приводит к Теорема существования Гротендика, что придает эквивалентность категории когерентных пучков на схеме и категории когерентных пучков при ее формальном пополнении (в частности, дает алгебрализуемость).

Наконец, можно ослабить гипотезу теоремы; ср. Illusie. Согласно Иллюзи (стр. 204), доказательство, данное в EGA III, принадлежит Серру. Оригинальное доказательство (принадлежащее Гротендику) так и не было опубликовано.

Построение канонического отображения

Пусть настройка будет как в леде. В доказательстве используется следующее альтернативное определение канонического отображения.

Позволять - канонические отображения. Тогда у нас есть карта изменения базы из -модули

.

куда индуцируется . С согласован, мы можем идентифицировать с . С также когерентен (как ж правильно), выполняя ту же идентификацию, следующее гласит:

.

С помощью куда и , также получаем (после перехода к пределу):

куда такие же, как и раньше. Можно проверить, что состав двух карт - это одна и та же карта в леде. (см. EGA III-1, раздел 4)

Примечания

  1. ^ EGA III-1, 4.1.5
  2. ^ EGA III-1, 4.2.1
  3. ^ Hartshorne, Гл. III. Следствие 11.2.
  4. ^ Тот же аргумент, что и в предыдущем следствии.
  5. ^ Hartshorne, Гл. III. Следствие 11.3.

Рекомендации