WikiDer > Bellos Theorem

Theorem von Bell Bell oder der Theorem von Bell Bell^[1] ist ein zu John Bello besagter Satz, der vereinfacht besagt, dass Quantenmechanik kann nicht mit versteckt erklärt werden lokal Variablen. Genauer gesagt: jede "klassische" Theorie, die lokale, realistische (d. h. nicht-stochastisch) Variablen liefert messbare Ergebnisse, die mit den Ergebnissen der Quantenmechanik nicht kompatibel sind.

Das Theorem erlaubt grundsätzlich die experimentelle Prüfung der EPR-Paradoxon möglich, aber es gab bisher kein Experiment, das alle Bedingungen für den Satz, obwohl das Experiment von Alain Aspekt von 1982 in der Nähe.^[2]

Vorwort

Laut Quantenmechanik können zwei Experimente, die bis ins kleinste Detail gleich aufgebaut sind, dennoch unterschiedliche Ergebnisse liefern. Ein Beispiel ist das Steuern einer Vertikalen polarisiertLichtteilchen durch eine Polarisationsfilter das macht mit der Vertikalen einen Winkel von 45 Grad. In diesem Experiment wird in 50% der Fälle festgestellt, dass das Lichtteilchen transmittiert wird, während in den anderen 50% der Fälle das Lichtteilchen absorbiert wird. Das Schicksal eines einzelnen Lichtteilchens lässt sich laut Quantenmechanik nicht vorhersagen, da alle Lichtteilchen vor dem Filter völlig identisch sind. Sie haben kein Unterscheidungsmerkmal, das bestimmt, ob sie passieren dürfen oder nicht. Gerade in den Anfangsjahren der Quantenmechanik wurde dies von vielen Physikern als Zeichen dafür gewertet, dass die Theorie nicht vollständig ist. Sie argumentierten, dass die Ergebnisse von Experimenten vorherbestimmt und durch bis dahin verborgene Variablen, die sogenannten versteckte Variablen. In den 1930er Jahren erfunden und veröffentlicht Einstein, Podolsky und Rosen ein Gedankenexperiment^[3] mit denen sie die Absurdität des quantenmechanischen Weltbildes ans Licht bringen wollten.

In den 1960er Jahren entwickelte der britische Mathematiker und Physiker Glocke^[1] für einen später zu diskutierenden Versuchsaufbau a Ungleichheit die erfüllt werden musste, wenn das Ergebnis des Experiments tatsächlich durch versteckte Variablen vorbestimmt war. 1982 führte der Physiker ein solches Experiment durch Alain Aspekt^[2] so sorgfältig durchgeführt, dass die Hypothese der versteckten Variablen nun als verworfen gelten kann (streng genommen scheint eine Rettung noch möglich, erfordert aber ziemlich weit hergeholte Annahmen).

Polarisiertes Licht

Licht gilt als transversale Welle, was bedeutet, dass die Schwingungsrichtung senkrecht zur Fahrtrichtung verläuft. Als die z-Richtung ist definiert als die Richtung, in die sich das Licht bewegt, die Schwingungsrichtung ist in der xy-eben. Wenn Licht von der Sonne oder von einer Glühbirne kommt, gibt es Schwingungen in alle Richtungen. Geht dieses Licht durch a Polarisationsfilter, dann wird eine Vibrationsrichtung ausgewählt. Das austretende Licht wird dann polarisiert. Die Intensität des durchgelassenen Lichts ist halb so groß wie die des einfallenden Lichts, die andere Hälfte wird vom Filter absorbiert. Wenn ein zweiter Filter hinter dem ersten Filter platziert wird, lässt er das gesamte Licht, das durch den ersten Filter gegangen ist, passieren, vorausgesetzt, der zweite Filter hat die gleiche Ausrichtung wie der erste Filter. Wenn der zweite Filter jedoch senkrecht zum ersten Filter steht, blockiert er jegliches Licht, das es geschafft hat, den ersten Filter zu passieren. Im Allgemeinen gilt, wenn der zweite Filter a Ecke${Anzeigestil Varphi }$ beim ersten Filter die Intensität des Lichts, das den zweiten Filter passiert, um den Faktor ${displaystyle cos ^{2}varphi }$ ist reduziert.

Licht besteht aus einem Strom von Lichtteilchen, sogenannten Photonen. Einzelne Photonen haben auch eine Polarisationsrichtung. Wenn zwei Polarisationsfilter schräg hintereinander platziert werden ${Anzeigestil Varphi }$, die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon den zweiten Filter passiert, sofern es den ersten Filter passiert hat, ist ${displaystyle cos ^{2}varphi }$.

Verschränkte Photonen

verstricktPhotonen sind zwei Photonen, die genau gleich sind Quantenzustand gelegen. Unter experimentellen Bedingungen ist es möglich, solche Paare zu erzeugen und in entgegengesetzte Richtungen (zB links und rechts) zu schießen. Platzierst du links und rechts ein? Polarisationsfilter, so dass beide Photonen auf ihrem Weg auf einen Filter treffen, dann, wenn die Filter parallel ausgerichtet sind, werden die Photonen entweder gestoppt oder beide dürfen passieren. Stehen die Filter jedoch senkrecht aufeinander, wird immer eines der Photonen passieren, während das andere blockiert wird. Im allgemeinen Fall, dass die Filter schräg zueinander stehen, ${Anzeigestil Varphi }$ miteinander machen, da ist eins Gelegenheit von ${displaystyle cos ^{2}varphi }$ dass beide Photonen das gleiche Schicksal erleiden, und eine Wahrscheinlichkeit von ${displaystyle sin^{2}varphi }$ dass ihr Schicksal widersprüchlich ist.

Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon

Theoretisch ist es möglich, zwei verschränkte Teilchen beliebig weit voneinander zu trennen, ohne die Verschränkung aufzuheben. Angenommen, die verschränkten Photonen sind Lichtjahre voneinander entfernt (auf beiden Seiten des Labors, in dem sie hergestellt wurden). Nehmen wir weiter an, ein Wissenschaftler misst die Polarisationsrichtung des linken Photons, indem er es durch einen Polarisationsfilter schickt. Zur gleichen Zeit (wieder relativ zum Labor) misst sein Kollege die Polarisationsrichtung des rechten Photons, indem er es durch einen Filter mit der gleichen Orientierung schickt. Laut Quantenmechanik werden beide Messungen das gleiche Ergebnis zeigen. Da die Photonen so weit voneinander entfernt sind, dass sie keine Zeit haben, sich gegenseitig mitzuteilen, welcher Art von Test sie ausgesetzt waren, ist es schwer vorstellbar, wie die Photonen zu demselben Verhalten gelangen (dh sie dürfen bestehen oder gestoppt werden). ), wenn dies tatsächlich, wie die Quantenmechanik behauptet, ein reiner Zufallsprozess ist und ihr zukünftiges Verhalten nicht bereits an ihrem gemeinsamen Ursprung eingeprägt war. Dieses Gedankenexperiment wurde von Einstein, Podolsky und Rosen durchgeführt^[3] entwickelt, um zu zeigen, dass die quantenmechanische Sichtweise nicht richtig sein kann. Sie widersetzten sich der Hypothese der versteckten Variablen.

Nach dieser Hypothese haben sich die beiden verschränkten Photonen zum Zeitpunkt ihrer Co-Generation bereits „abgestimmt“, wie sie reagieren, wenn sie auf einen schräg stehenden Filter treffen. ${Anzeigestil Varphi }$ mit der Vertikalen für jeden Wert von ${Anzeigestil Varphi }$. Dies scheint auf den ersten Blick eine befriedigende Erklärung dafür zu sein, dass die Photonen zu wissen scheinen, wie ihr Partner auf den Filter reagiert, auch wenn aufgrund der Entfernung kein Kontakt mehr möglich ist. Diese Erklärung hat jedoch ihren Preis, da sie die möglichen Ergebnisse von Experimenten einschränkt.

Versuchsaufbau

Mit den Buchstaben ein, B und C Im Folgenden sind Positionen eines Polarisationsfilters angegeben. ein entspricht der vertikalen Position, B mit einer Haltung, die einen Winkel von 22,5 Grad zur Vertikalen bildet, und C mit einer Haltung, die einen Winkel von 45 Grad mit der Vertikalen bildet. In dem durchzuführenden Experiment werden nacheinander N verschränkte Photonenpaare erzeugt. Die Begründung basiert auf der Wahrheit der Hypothese der versteckten Variablen. Diese Hypothese besagt, dass für jedes Paar bereits bei seiner Erstellung festgelegt ist, ob es durch einen Filter in der Position . gestoppt wird oder nicht ein, B oder C. Die Photonenpaare, die nicht durch den Modus gestoppt werden ein, B oder C, bilden Mengen, die wir auch mit den Buchstaben bezeichnen ${Anzeigestil A}$, ${Anzeigestil B}$ und ${Anzeigestil C}$. Die Ergänzung ${displaystyle {ar {A}}}$ enthält die Photonenpaare, die den Modus durchlaufen ein gestoppt werden. Analog für die Komplemente ${displaystyle {ar {B}}}$ und ${displaystyle {ar {C}}}$. Auf dieser Grundlage können die Paare in acht Kategorien eingeteilt werden. In der ersten Kategorie, ${Anzeigestil ABC}$, sind die Paare, die von keinem der drei Filter blockiert werden. In der zweiten Kategorie ${Displaystil AB{ und {C}}}$ sind alle Paare, die nur den Filter passieren C gestoppt werden; und so weiter bis einschließlich der achten Kategorie ${displaystyle { ar {A}}{ ar {B}}{ ar {C}}}$ die die Paare enthält, die von allen drei Filtern blockiert werden.

Es ist wichtig zu wissen, dass es für ein gegebenes Paar nicht möglich ist, experimentell zu bestimmen, zu welcher Kategorie es gehört. Dies liegt daran, dass sich der Zustand des Photons ändert, wenn das Photon einen Filter passiert. Untersucht wird, ob das Photon den Filter passiert X wenn es diesen Filter zuerst in seinem Pfad trifft. Passiert das Photon jedoch zuerst den Filter Ja gesendet und erst dann durch Filter X, das Ergebnis kann anders ausfallen. Auch Experimente zeigen, dass dies der Fall ist. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon mit einer Polarisationsrichtung von -45 Grad den Filter passiert C kommt, gleich Null, aber wenn dasselbe Photon zuerst den Filter passiert ein durchgeht (50% Chance, dass es durchgeht) dann die Chance, dass es durchgeht C wird 50 % betragen. Es gibt also Photonen, die den Filter nicht passieren können C wenn sie es zuerst auf ihrem Weg treffen, aber nur, wenn sie zuerst Filter A passiert haben. Daraus folgt, dass die versteckten Variablen ihren Wert ändern (können), wenn das Photon einen Filter passiert. Für gewöhnliche (nicht verschränkte) Photonen kann daher nur der Wert einer der drei versteckten Variablen experimentell gemessen werden ein, b oder c bestimmt werden (wobei variabel X beschreibt, ob das Photon den Filter passiert X gehen). Für Photonen, die einen Zwillingsbruder in Form eines Photons haben, mit dem sie verschränkt sind, lassen sich die Werte von zwei der drei genannten versteckten Variablen ermitteln.

Auf den ersten Blick mag die obige Argumentation unnötig kompliziert erscheinen. Aus der Tatsache, dass ein Photon absorbiert wird (und somit verschwindet), wenn es keinen Filter passiert, folgt auch, dass es nicht möglich ist, für alle Photonen experimentell zu bestimmen, welche Werte die versteckten Variablen sind. ein, b und c haben. Dieses einfache Argument gilt jedoch nicht, wenn die Photonen durch Elektronen und die Polarisation durch den Spin ersetzt werden, da Elektronen bei der Messung ihres Spins bestehen bleiben, unabhängig vom Ergebnis der Messung. Für Elektronen gilt jedoch das kompliziertere Argument aus dem vorigen Abschnitt, so dass die Schlussfolgerung, dass von den drei betrachteten versteckten Variablen nur zwei experimentell bestimmt werden können, auch im allgemeinen Fall zutrifft.

Bell . Ungleichung

Dies ändert jedoch nichts an der Tatsache, dass nach der Hypothese der versteckten Variablen tatsächlich feststeht, was ein gegebenes Photon tun würde, wenn es ein Filter mit Position . wäre ein, B oder C treffen würde, so dass es durchaus sinnvoll ist, von einer Einteilung in die acht oben genannten Gruppen zu sprechen, auch wenn diese Gruppen nicht bestimmbar sind. Die Anzahl der Paare, die alle drei Filter passieren würden, wird nun bezeichnet ${Anzeigestil |ABC|}$, mit ${displaystyle |AB{overline {C}}|}$ die Anzahl der Paare, die Filter passieren ein und B würde gehen aber nicht durch C, und so weiter. Da für jedes Paar nur die Reaktion auf zwei Filter experimentell bestimmt werden kann, ist es sinnvoll, auch Größen wie ${displaystyle |A{overline {B}}|}$ definieren. Dies ist die Anzahl der Paare, die durchkommen ein und nicht von B geht egal was es machen würde wenn der filter C begegnen würde. Es gibt

${displaystyle |A{ ar {B}}|=|A{ ar {B}}C| |A{ ar {B}}{ ar {C}}|}$.

Die Bellsche Ungleichung wird in Bezug auf diese Größen formuliert. Sie liest

${Displaystil |A{ oder {B}}| |B{ ar {C}}|geq |A{ ar {C}}|}$.

Der einfachste Weg, dies zu beweisen, ist mit a Venn-Diagramm. Daraus geht hervor, dass:

${displaystyle A{ ar {B}}=A{ ar {B}}Ccup A{ ar {B}}{ ar {C}}}$,

${displaystyle B{ ar {C}}=AB{ ar {C}}cup { ar {A}}B{ ar {C}}}$

und

${displaystyle A{ ar {C}}=AB{ ar {C}}cup A{ ar {B}}{ ar {C}}}$,

so dass

${displaystyle |A{ ar {B}}|geq |A{ ar {B}}{ ar {C}}|}$,

${displaystyle |B{ ar {C}}|geq |AB{ ar {C}}|}$

und

${displaystyle |A{ ar {C}}|=|AB{ ar {C}}| |A{ ar {B}}{ ar {C}}|leq |A{ ar {B}}| |B{ oder {C}}|}$

Um experimentell die Komponenten der Bellschen Ungleichung zu bestimmen, wird die Gruppe der verschränkten Photonen in drei Untergruppen unterteilt. Für die erste Untergruppe wird der linke Filter auf gesetzt ein gesetzt, und der Richter bestätigte B (oder umgekehrt, es spielt keine Rolle), für die zweite Untergruppe ist die Linke in Position ein gesetzt, und der Richter bestätigte C, für die dritte Untergruppe wird die Linke in Position B gesetzt, und der Richter bestätigte C. Dann wird für jede Untergruppe gezählt, wie viele Photonen durch beide Filter gehen, wie viele durch den linken, aber nicht den rechten und so weiter.

Auf den ersten Blick scheint es, als ob die Zahl |AB| erhält man, indem man für die erste Untergruppe zählt, wie viele Photonen beide Filter passieren. Dies ist jedoch nicht der Fall, da Photonen aus der zweiten Untergruppe den Filter passieren ein Dorthin wird es wahrscheinlich einige geben, die auch durch Filter gehen B gestorben wäre (obwohl das nie bekannt sein wird), und diese müssen bei der Bestimmung berücksichtigt werden |AB|. Unser Versuchsaufbau erlaubt es uns daher nicht, die Komponenten der Bell-Ungleichung zu bestimmen. Da dies überhaupt nicht möglich ist, wird die Bellsche Ungleichung in eine etwas schwächere (probabilistische) Form umformuliert, indem beide Seiten der Gleichung durch die Gesamtzahl der verschränkten Paare dividiert werden. Die Ungleichung wird dann

${Displaystyle Operatorname {P} (A{overline {B}}) Operatorname {P} (B{overline {C}})geq Operatorname {P} (A{overline {C}})}$

Die stillschweigende Annahme ist, dass bei der Erzeugung der verschränkten Photonen die versteckten Variablen aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgewählt werden, die für jedes Paar gleich ist. Es gibt kleine (zufällige) Variationen in den Bedingungen, unter denen die Photonen erzeugt werden, und diese führen dazu, dass jedes Paar unterschiedliche Werte für seine versteckten Variablen erhält. Die Produktion der Paare lässt sich am besten mit dem Werfen einer Münze vergleichen, deren Ergebnis (Kopf oder Zahl) dann analog zu den Werten ist, die die versteckten Variablen bei der Produktion der Photonen erhalten. Kleine unfreiwillige Variationen in der Art und Weise, wie die Münze geworfen wird, haben einen großen Einfluss auf das Ergebnis, aber wenn die Münze häufig geworfen wird, kann das Ergebnis in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden.

Chance P(A~B) wird nun geschätzt durch für die erste Untergruppe (für die der linke Filter auf gesetzt ist) ein war an und der richtige Filter an Position B) zählen, wie viele Paare das linke Photon durchlässt, während das rechte angehalten wird, und dividiere diese Zahl durch die Anzahl der Photonen in dieser Untergruppe. Die anderen beiden Wahrscheinlichkeiten werden analog geschätzt.

Vorhersage durch Quantenmechanik

Die Größe dieser Wahrscheinlichkeiten kann mit der Quantenmechanik erforscht werden. Betrachten Sie zwei Achsen X und ja beide stehen senkrecht zur Bewegungsrichtung des Photons und die senkrecht zueinander stehen. Der Zustand eines Photons, das entlang der polarisiert ist X-Richtung wird bezeichnet mit |x>, der Zustand eines Photons, das entlang der polarisiert ist ja-Richtung mit |y>. Jeder Polarisationszustand kann dann als Linearkombination von beiden (auch Superposition genannt) geschrieben werden, nämlich

${displaystyle left|sightangle =left|xightangle cos varphi left|yightangle sin varphi}$

Dies entspricht einer Polarisationsrichtung, die einen Winkel φ mit der X-Achse macht. Wenn nun ein Photon im Zustand |s> wird an einen Filter gesendet, der sich im X-richtungsorientiert, dann wird es mit der Wahrscheinlichkeit cos . passieren²φ, und es wird mit Wahrscheinlichkeit absorbiert sin². Wenn die Polarisationsrichtung des Photons mit dem Filter einen Winkel von 45 Grad bildet, besteht eine Chance von 50 %, dass das Photon durchgelassen wird. Wenn das Photon danach den Filter passiert hat, ist seine Polarisationsrichtung immer parallel zum Filter, unabhängig von seinem anfänglichen Polarisationszustand. Der Filter ändert somit die Polarisation des Photons.

Angenommen, zwei Filter werden hintereinander platziert, und dann wird versucht, ein Photon nacheinander durch beide Filter zu schicken. Bilden die beiden Filter einen Winkel miteinander, so folgt aus obigem, dass das Photon, wenn es das erste Filter passiert, eine Wahrscheinlichkeit von cos . hat²φ muss auch den zweiten Filter passieren. Betrachten Sie nun zwei verschränkte Photonen, die jeweils an einen Filter gesendet werden. Die Filter bilden einen Winkel φ miteinander. Nach der Quantenmechanik ist auch in diesem Fall die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon seinen Filter passiert, unter der Bedingung, dass das andere passiert, gleich cos². Wenn der Aufbau, mit dem die verschränkten Paare erzeugt werden, keine tief verwurzelte Vorzugsrichtung hat, beträgt die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon übertragen wird, 50 %. Es wird davon ausgegangen, dass dem Rechnung getragen wurde (diese Annahme kann leicht experimentell überprüft werden).

Nun können die in der Bell-Gleichung auftretenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden (vorausgesetzt, die Quantenmechanik ist korrekt), beginnend mit P(A~B). Dies ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon einen Filter passiert ein wird bestanden (50%) multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass es den Filter passiert B wird nicht bestanden, wenn es von Filter A passiert wird. Der Winkel zwischen beiden Filtern beträgt 22,5 Grad, die bedingte Wahrscheinlichkeit ist also sin² (45/2) = 1/2 (1 - 1/√(2)) = 14,6%. Daraus folgt

${Displaystyle-Operatorname {P} (A{overline {B}})=7.3/$

Da Filter B und C machen den gleichen Winkel zueinander wie Filter ein und B gilt auch

${Displaystyle-Operatorname {P} (B{overline {C}})=7.3/$

Dann ist die rechte Seite der Ungleichung, nämlich P(A~C), berechnet. Die Filter ein und C bilden einen Winkel von 45 Grad miteinander, so dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon den Filter passiert C darf passieren, sofern der andere Filter passiert ein darf passieren ist gleich sin²(45) = 50%. Nach der Quantenmechanik:

${Displaystyle-Operatorname {P} (A{ ar {C}})=25/$

Diese drei Wahrscheinlichkeiten erfüllen die Bellsche Ungleichung nicht. Experimente haben gezeigt, dass die Quantenmechanik die Wahrscheinlichkeiten richtig vorhersagt. Daraus folgt, dass die Annahme, die zu Bells Ungleichung geführt hat, nämlich die Existenz versteckter Variablen, die vorgeben, wie die Photonen reagieren, wenn sie auf einen Filter treffen, falsch ist. Damit bleibt jedoch das uns von Einstein, Podolsky und Rosen vorgelegte Rätsel, wie die Photonen voneinander wissen, ob sie den Filter passiert haben, ungelöst. Mit den Worten von Richard Feynman: "Ich denke, ich kann mit Sicherheit sagen, dass niemand die Quantenmechanik versteht".

Apropos, Gerard 't Hooft versuchen, die Bell-Ungleichungen im Rahmen eines deterministischen Systems mit versteckten Parametern zu verteidigen.^[4]

Verweise