WikiDer > Satz von Euklid

Das Satz von Euklid ist Mathematiker Gestell die lautet: "Es gibt unendlich viele Primzahlen." Der Satz ist benannt nach dem griechischMathematikerEuklid, wer in seiner arbeit Elemente in Buch IX erwähnt Proposition 20 den Satz.

Beweise

Aus dem Absurden:

Angenommen, die Anzahl der Primzahlen ist endlich, sodass nur die Zahlen ${Displaystil P_{0},P_{1},Punkte,P_{k}}$ prim sein.

Addiere 1 zum Produkt aller Primzahlen. Das Ergebnis ${displaystyle N=P_{0}cdot P_{1}cdot ldots cdot P_{k} 1}$ größer als die größte Primzahl ist, also keine Primzahl ist. Diese Zahl ist also durch eine Primzahl teilbar (siehe die Hauptsatz der Arithmetik, die besagt, dass jede natürliche Zahl > 1 einen Primteiler hat). Sie ist jedoch durch keine der Primzahlen teilbar ${Displaystil P_{0},P_{1},Punkte,P_{k}}$, denn geteilt durch eine davon ist der Rest 1. Sie ist also durch eine andere Primzahl teilbar, was ein Widerspruch ist, was den Satz beweist.