WikiDer > Проблема моментов Стилтьеса

В математика, то Стилтьес проблема момента, названный в честь Томас Джоаннес Стилтьес, ищет необходимые и достаточные условия для последовательности {м_п, : п = 0, 1, 2, ...}, чтобы иметь вид

${ displaystyle m_ {n} = int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} , d mu (x)}$

по какой-то мере μ. Если такая функция μ существует, спрашивают, уникальна ли она.

Существенная разница между этим и другими известными момент проблемы состоит в том, что он находится на полупрямой [0, ∞), тогда как в Проблема моментов Хаусдорфа рассматривается ограниченный интервал [0, 1], а в Проблема моментов гамбургера рассматривается вся прямая (−∞, ∞).

Существование

Позволять

${ displaystyle Delta _ {n} = left [{ begin {matrix} m_ {0} & m_ {1} & m_ {2} & cdots & m_ {n} m_ {1} & m_ {2} & m_ { 3} & cdots & m_ {n + 1} m_ {2} & m_ {3} & m_ {4} & cdots & m_ {n + 2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots m_ {n} & m_ {n + 1} & m_ {n + 2} & cdots & m_ {2n} end {matrix}} right]}$

и

${ displaystyle Delta _ {n} ^ {(1)} = left [{ begin {matrix} m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} & cdots & m_ {n + 1} m_ { 2} & m_ {3} & m_ {4} & cdots & m_ {n + 2} m_ {3} & m_ {4} & m_ {5} & cdots & m_ {n + 3} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots m_ {n + 1} & m_ {n + 2} & m_ {n + 3} & cdots & m_ {2n + 1} end {matrix}} right].}$

Потом {м_п : п = 1, 2, 3, ...} - моментная последовательность некоторой меры на ${ displaystyle [0, infty)}$ с бесконечной поддержкой тогда и только тогда, когда для всех п, обе

${ displaystyle det ( Delta _ {n})> 0 mathrm {и} det left ( Delta _ {n} ^ {(1)} right)> 0.}$

{ м_п : п = 1, 2, 3, ...} - моментная последовательность некоторой меры на ${ displaystyle [0, infty)}$ с конечной поддержкой размера м если и только если для всех ${ Displaystyle п leq m}$, обе

${ Displaystyle Det ( Delta _ {n})> 0 mathrm {и} det left ( Delta _ {n} ^ {(1)} right)> 0}$

и для всего большего ${ displaystyle n}$

${ displaystyle det ( Delta _ {n}) = 0 mathrm {и} det left ( Delta _ {n} ^ {(1)} right) = 0.}$

Уникальность

Есть несколько достаточных условий единственности, например, Состояние Карлемана, который утверждает, что решение единственно, если

${ displaystyle sum _ {n geq 1} m_ {n} ^ {- 1 / (2n)} = infty ~.}$

Рекомендации

• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Фурье-анализ, самосопряженность, Методы современной математической физики, 2, Academic Press, стр. 341 (упражнение 25), ISBN 0-12-585002-6