В математика , то Полиномы Стирлинга семья многочлены которые обобщают важные последовательности чисел, появляющиеся в комбинаторика и анализ , которые тесно связаны с Числа Стирлинга , то Числа Бернулли , а обобщенный Полиномы Бернулли . Есть несколько вариантов Полином Стирлинга последовательность, рассматриваемая ниже, в первую очередь, включая Последовательность Шеффера форма последовательности, S k ( Икс ) { Displaystyle S_ {k} (х)} Полиномы Стирлинга (свертки) , σ п ( Икс ) { Displaystyle sigma _ {п} (х)} обычный производящей функции и которые используются при обобщении Числа Стирлинга (обоих видов) на произвольные сложный -значные входы. Мы считаем "сверточный полином второй в последнем подразделе статьи вариант этой последовательности и ее свойства. Остальные варианты полиномов Стирлинга изучаются в дополнительных ссылках на статьи, приведенные в ссылках.
Определение и примеры
Для неотрицательного целые числа k , полиномы Стирлинга, S k Икс ), площадь Последовательность Шеффера за ( грамм ( т ) , ж ¯ ( т ) ) := ( е − т , бревно ( т 1 − е − т ) ) { displaystyle (g (t), { bar {f}} (t)): = left (e ^ {- t}, log left ({ frac {t} {1-e ^ {- t}}} right) right)} [1]
( т 1 − е − т ) Икс + 1 = ∑ k = 0 ∞ S k ( Икс ) т k k ! . { displaystyle left ({t over {1-e ^ {- t}}} right) ^ {x + 1} = sum _ {k = 0} ^ { infty} S_ {k} (x ) {t ^ {k} over k!}.} Полиномы Стирлинга являются частным случаем Полиномы Норлунда (или же обобщенные полиномы Бернулли ) [2]
( т е т − 1 ) а е z т = ∑ k = 0 ∞ B k ( а ) ( z ) т k k ! , { displaystyle left ({t over {e ^ {t} -1}} right) ^ {a} e ^ {zt} = sum _ {k = 0} ^ { infty} B_ {k} ^ {(a)} (z) {t ^ {k} над k!},} заданный соотношением S k ( Икс ) = B k ( Икс + 1 ) ( Икс + 1 ) { Displaystyle S_ {к} (х) = В_ {к} ^ {(х + 1)} (х + 1)}
Первые 10 многочленов Стирлинга приведены в следующей таблице:
k S k ( Икс ) 0 1 1 1 2 ( Икс + 1 ) 2 1 12 ( 3 Икс 2 + 5 Икс + 2 ) 3 1 8 ( Икс 3 + 2 Икс 2 + Икс ) 4 1 240 ( 15 Икс 4 + 30 Икс 3 + 5 Икс 2 − 18 Икс − 8 ) 5 1 96 ( 3 Икс 5 + 5 Икс 4 − 5 Икс 3 − 13 Икс 2 − 6 Икс ) 6 1 4032 ( 63 Икс 6 + 63 Икс 5 − 315 Икс 4 − 539 Икс 3 − 84 Икс 2 + 236 Икс + 96 ) 7 1 1152 ( 9 Икс 7 − 84 Икс 5 − 98 Икс 4 + 91 Икс 3 + 194 Икс 2 + 80 Икс ) 8 1 34560 ( 135 Икс 8 − 180 Икс 7 − 1890 Икс 6 − 840 Икс 5 + 6055 Икс 4 + 8140 Икс 3 + 884 Икс 2 − 3088 Икс − 1152 ) 9 1 7680 ( 15 Икс 9 − 45 Икс 8 − 270 Икс 7 + 182 Икс 6 + 1687 Икс 5 + 1395 Икс 4 − 1576 Икс 3 − 2684 Икс 2 − 1008 Икс ) { displaystyle { begin {array} {r | l} k & S_ {k} (x) hline 0 & 1 1 & { scriptstyle { frac {1} {2}}} (x + 1) 2 & { scriptstyle { frac {1} {12}}} (3x ^ {2} + 5x + 2) 3 & { scriptstyle { frac {1} {8}}} (x ^ {3} + 2x ^ {2} + x) 4 & { scriptstyle { frac {1} {240}}} (15x ^ {4} + 30x ^ {3} + 5x ^ {2} -18x-8) 5 & { scriptstyle { frac {1} {96}}} (3x ^ {5} + 5x ^ {4} -5x ^ {3} -13x ^ {2} -6x) 6 & { scriptstyle { гидроразрыв {1} {4032}}} (63x ^ {6} + 63x ^ {5} -315x ^ {4} -539x ^ {3} -84x ^ {2} + 236x + 96) 7 & { scriptstyle { frac {1} {1152}}} (9x ^ {7} -84x ^ {5} -98x ^ {4} + 91x ^ {3} + 194x ^ {2} + 80x) 8 & { scriptstyle { frac {1} {34560}}} (135x ^ {8} -180x ^ {7} -1890x ^ {6} -840x ^ {5} + 6055x ^ {4} + 8140x ^ {3} + 884x ^ {2} -3088x-1152) 9 & { scriptstyle { frac {1} {7680}}} (15x ^ {9} -45x ^ {8} -270x ^ {7} + 182x ^ {6} + 1687x ^ {5} + 1395x ^ {4} -1576x ^ {3} -2684x ^ {2} -1008x) end {array}}} Еще один вариант полиномов Стирлинга рассматривается в [3] Полиномы свертки Стирлинга ниже). В частности, в статье И. Гесселя и Р. П. Стэнли определены модифицированные полиномиальные последовательности Стирлинга: ж k ( п ) := S ( п + k , п ) { displaystyle f_ {k} (n): = S (n + k, n)} грамм k ( п ) := c ( п , п − k ) { Displaystyle g_ {к} (п): = с (п, п-к)} c ( п , k ) := ( − 1 ) п − k s ( п , k ) { Displaystyle с (п, к): = (- 1) ^ {п-к} s (п, к)} беззнаковый Числа Стирлинга первого рода , с точки зрения двух Число Стирлинга треугольники для неотрицательных целых чисел п ≥ 1 , k ≥ 0 { Displaystyle п geq 1, к geq 0} k ≥ 0 { Displaystyle к geq 0} ж k ( п ) { displaystyle f_ {k} (n)} грамм k ( п ) { displaystyle g_ {k} (n)} п ∈ Z + { Displaystyle п в mathbb {Z} ^ {+}} 2 k { displaystyle 2k} двойной факториал срок ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) ) / ( 2 k ) ! { Displaystyle (1 cdot 3 cdot 5 cdots (2k-1)) / (2k)!}
Характеристики
Ниже B k ( Икс ) { displaystyle B_ {k} (x)} Полиномы Бернулли и B k = B k ( 0 ) { displaystyle B_ {k} = B_ {k} (0)} Числа Бернулли по соглашению B 1 = B 1 ( 0 ) = − 1 2 ; { displaystyle B_ {1} = B_ {1} (0) = - { tfrac {1} {2}};} s м , п { displaystyle s_ {m, n}} Число Стирлинга первого рода ; и S м , п { displaystyle S_ {m, n}} Числа Стирлинга второго рода .
S k ( − м ) = ( − 1 ) k ( k + м − 1 k ) S k + м − 1 , м − 1 0 < м ∈ Z S k ( − 1 ) = δ k , 0 S k ( 0 ) = ( − 1 ) k B k S k ( 1 ) = ( − 1 ) k + 1 ( ( k − 1 ) B k + k B k − 1 ) S k ( 2 ) = ( − 1 ) k 2 ( ( k − 1 ) ( k − 2 ) B k + 3 k ( k − 2 ) B k − 1 + 2 k ( k − 1 ) B k − 2 ) S k ( k ) = k ! { Displaystyle { begin {align} S_ {k} (- m) & = { frac {(-1) ^ {k}} {k + m-1 choose k}} S_ {k + m-1 , m-1} && 0 Если м ∈ Z { displaystyle m in mathbb {Z}} м ≥ п { Displaystyle м geq п} [4] S п ( м ) = ( − 1 ) п B п ( м + 1 ) ( 0 ) , { Displaystyle S_ {n} (m) = (- 1) ^ {n} B_ {n} ^ {(m + 1)} (0),} и: S п ( м ) = ( − 1 ) п ( м п ) s м + 1 , м + 1 − п . { displaystyle S_ {n} (m) = {(- 1) ^ {n} over {m choose n}} s_ {m + 1, m + 1-n}.} Последовательность S k ( Икс − 1 ) { Displaystyle S_ {k} (х-1)} биномиальный тип , поскольку S k ( Икс + у − 1 ) = ∑ я = 0 k ( k я ) S я ( Икс − 1 ) S k − я ( у − 1 ) . { displaystyle S_ {k} (x + y-1) = sum _ {i = 0} ^ {k} {k choose i} S_ {i} (x-1) S_ {ki} (y-1 ).} Более того, эта основная рекурсия выполняется: S k ( Икс ) = ( Икс − k ) S k ( Икс − 1 ) Икс + k S k − 1 ( Икс + 1 ) . { Displaystyle S_ {k} (x) = (x-k) {S_ {k} (x-1) over x} + kS_ {k-1} (x + 1).} S k ( Икс ) = ∑ п = 0 k ( − 1 ) k − п S k + п , п ( Икс + п п ) ( Икс + k + 1 k − п ) ( k + п п ) = ∑ п = 0 k ( − 1 ) п s k + п + 1 , п + 1 ( Икс − k п ) ( Икс − k − п − 1 k − п ) ( k + п k ) = k ! ∑ j = 0 k ( − 1 ) k − j ∑ м = j k ( Икс + м м ) ( м j ) L k + м ( − k − j ) ( − j ) { Displaystyle { begin {align} S_ {k} (x) & = sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kn} S_ {k + n, n} {{x + n выбрать n} {x + k + 1 выбрать kn} over {k + n выбрать n}} [6pt] & = sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} s_ {k + n + 1, n + 1} {{xk choose n} {xkn-1 choose kn} over {k + n choose k}} [6pt] & = k! sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} sum _ {m = j} ^ {k} {x + m choose m} {m choose j} L_ {k + m} ^ {(- kj)} (- j) [6pt] end {align}}} Здесь, L п ( α ) { Displaystyle L_ {п} ^ {( альфа)}} Полиномы Лагерра . Также имеют место следующие отношения: ( k + м k ) S k ( Икс − м ) = ∑ я = 0 k ( − 1 ) k − я ( k + м я ) S k − я + м , м ⋅ S я ( Икс ) , { Displaystyle {к + м выбрать k} S_ {k} (xm) = sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {ki} {k + m choose i} S_ {k -i + m, m} cdot S_ {i} (x),} ( k − м k ) S k ( Икс + м ) = ∑ я = 0 k ( k − м я ) s м , м − k + я ⋅ S я ( Икс ) . { displaystyle {km choose k} S_ {k} (x + m) = sum _ {i = 0} ^ {k} {km choose i} s_ {m, m-k + i} cdot S_ {i} (x).} Из дифференцирования производящей функции легко следует, что S k ′ ( Икс ) = − ∑ j = 0 k − 1 ( k j ) S j ( Икс ) B k − j k − j . { Displaystyle S_ {k} ^ { prime} (x) = - sum _ {j = 0} ^ {k-1} {k choose j} S_ {j} (x) { frac {B_ { kj}} {kj}}.} Полиномы свертки Стирлинга
Определение и примеры Другой вариант полиномиальной последовательности Стирлинга соответствует частному случаю сверточные полиномы изучено по статье Кнута [5] Конкретная математика ссылка. Сначала определим эти полиномы через Числа Стирлинга первого рода в качестве
σ п ( Икс ) = [ Икс Икс − п ] ⋅ 1 Икс ( Икс − 1 ) ⋯ ( Икс − п ) . { displaystyle sigma _ {n} (x) = left [{ begin {matrix} x xn end {matrix}} right] cdot { frac {1} {x (x-1) cdots (xn)}}.} Следовательно, эти многочлены удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, заданному формулой
( Икс + 1 ) σ п ( Икс + 1 ) = ( Икс − п ) σ п ( Икс ) + Икс σ п − 1 ( Икс ) , п ≥ 1. { displaystyle (x + 1) sigma _ {n} (x + 1) = (xn) sigma _ {n} (x) + x sigma _ {n-1} (x), n geq 1.} Эти Стирлинги "свертка "полиномы могут использоваться для определения чисел Стирлинга, [ Икс Икс − п ] { displaystyle scriptstyle { left [{ begin {matrix} x x-n end {matrix}} right]}} { Икс Икс − п } { Displaystyle scriptstyle { left {{ begin {matrix} x x-n end {matrix}} right }}} п ≥ 0 { Displaystyle п geq 0} произвольный комплексные ценности Икс { displaystyle x} п ≥ 0 { Displaystyle п geq 0}
п σ п ( Икс ) 0 1 Икс 1 1 2 2 3 Икс − 1 24 3 Икс 2 − Икс 48 4 15 Икс 3 − 30 Икс 2 + 5 Икс + 2 5760 { displaystyle { begin {array} {r | c} n & sigma _ {n} (x) hline 0 & { frac {1} {x}} 1 & { frac {1} {2 }} 2 & { frac {3x-1} {24}} 3 & { frac {x ^ {2} -x} {48}} 4 & { frac {15x ^ {3} -30x ^ {2} + 5x + 2} {5760}} end {массив}}} Производящие функции Этот вариант полиномиальной последовательности Стирлинга имеет особенно красивую обычную производящие функции следующих форм:
( z е z е z − 1 ) Икс = ∑ п ≥ 0 Икс σ п ( Икс ) z п ( 1 z пер 1 1 − z ) Икс = ∑ п ≥ 0 Икс σ п ( Икс + п ) z п . { displaystyle { begin {align} left ({ frac {ze ^ {z}} {e ^ {z} -1}} right) ^ {x} & = sum _ {n geq 0} x sigma _ {n} (x) z ^ {n} left ({ frac {1} {z}} ln { frac {1} {1-z}} right) ^ {x } & = sum _ {n geq 0} x sigma _ {n} (x + n) z ^ {n}. end {выравнивается}}} В более общем смысле, если S т ( z ) { Displaystyle { mathcal {S}} _ {т} (г)} пер ( 1 − z S т ( z ) т − 1 ) = − z S т ( z ) т { displaystyle ln left (1-z { mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {t-1} right) = - z { mathcal {S}} _ {t} (z ) ^ {t}}
S т ( z ) Икс = ∑ п ≥ 0 Икс σ п ( Икс + т п ) z п . { displaystyle { mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {x} = sum _ {n geq 0} x sigma _ {n} (x + tn) z ^ {n}.} У нас также есть идентификатор связанной серии [6]
∑ п ≥ 0 ( − 1 ) п − 1 σ п ( п − 1 ) z п = z пер ( 1 + z ) = 1 + z 2 − z 2 12 + ⋯ , { displaystyle sum _ {n geq 0} (- 1) ^ {n-1} sigma _ {n} (n-1) z ^ {n} = { frac {z} { ln (1 + z)}} = 1 + { frac {z} {2}} - { frac {z ^ {2}} {12}} + cdots,} и производящие функции, связанные с полиномом Стирлинга (Шеффера), заданные формулой
∑ п ≥ 0 ( − 1 ) п + 1 м ⋅ σ п ( п − м ) z п = ( z пер ( 1 + z ) ) м { displaystyle sum _ {n geq 0} (- 1) ^ {n + 1} m cdot sigma _ {n} (nm) z ^ {n} = left ({ frac {z} { ln (1 + z)}} right) ^ {m}} ∑ п ≥ 0 ( − 1 ) п + 1 м ⋅ σ п ( м ) z п = ( z 1 − е − z ) м . { displaystyle sum _ {n geq 0} (- 1) ^ {n + 1} m cdot sigma _ {n} (m) z ^ {n} = left ({ frac {z} { 1-e ^ {- z}}} right) ^ {m}.} Свойства и отношения Для целых чисел 0 ≤ k ≤ п { Displaystyle 0 Leq К Leq N} р , s ∈ C { displaystyle r, s in mathbb {C}}
( р + s ) σ п ( р + s + т п ) = р s ∑ k = 0 п σ k ( р + т k ) σ п − k ( s + т ( п − k ) ) { Displaystyle (г + s) сигма _ {п} (г + s + tn) = рс сумма _ {к = 0} ^ {п} сигма _ {к} (г + тк) сигма _ { nk} (s + t (nk))} и
п σ п ( р + s + т п ) = s ∑ k = 0 п k σ k ( р + т k ) σ п − k ( s + т ( п − k ) ) . { displaystyle n sigma _ {n} (r + s + tn) = s sum _ {k = 0} ^ {n} k sigma _ {k} (r + tk) sigma _ {nk} ( s + t (nk)).} Когда п , м ∈ N { displaystyle n, m in mathbb {N}} σ п ( м ) { Displaystyle sigma _ {п} (м)} Числа Стирлинга
{ п м } = ( − 1 ) п − м + 1 п ! ( м − 1 ) ! σ п − м ( − м ) ( когда м < 0 ) [ п м ] = п ! ( м − 1 ) ! σ п − м ( п ) ( когда м > п ) , { Displaystyle { begin {align} left {{ begin {matrix} n m end {matrix}} right } & = (- 1) ^ {n-m + 1} { frac {n!} {(m-1)!}} sigma _ {nm} (- m) ({ text {when}} m <0) left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] & = { frac {n!} {(m-1)!}} sigma _ {nm} (n) ({ text {when}} m> n) , end {align}}} и их отношения к Числа Бернулли данный
σ п ( м ) = ( − 1 ) м + п − 1 м ! ( п − м ) ! ∑ 0 ≤ k < м [ м м − k ] B п − k п − k , п ≥ м > 0 σ п ( м ) = − B п п ⋅ п ! , м = 0. { displaystyle { begin {align} sigma _ {n} (m) & = { frac {(-1) ^ {m + n-1}} {m! (nm)!}} sum _ { 0 leq k 0 sigma _ {n} (m) & = - { frac {B_ {n}} {n cdot n!}}, m = 0. end {align}}} Смотрите также
Рекомендации
^ См. Раздел 4.8.8 Темное исчисление (1984) ссылка приведена ниже. ^ Видеть Полиномы Норлунда на MathWorld. ^ Гессель и Стэнли (1978). «Многочлены Стирлинга» . J. Combin. Теория Сер. А . 53 : 24–33. Дои :10.1016/0097-3165(78)90042-0 ^ Раздел 4.4.8 Темное исчисление . ^ Кнут, Д. Э. (1992). «Полиномы свертки». Mathematica J . 2 : 67–78. arXiv :математика / 9207221 Bibcode :1992математика ...... 7221K . сверточный полином семейства, определяемые специальными производящими функциями вида F ( z ) Икс { Displaystyle F (г) ^ {х}} F ( 0 ) = 1 { Displaystyle F (0) = 1} биномиальный степенной ряд , B т ( z ) = 1 + z B т ( z ) т { displaystyle { mathcal {B}} _ {t} (z) = 1 + z { mathcal {B}} _ {t} (z) ^ {t}} древовидные многочлены , то Номера звонков , B ( п ) { Displaystyle B (п)} Полиномы Лагерра . За F п ( Икс ) := [ z п ] F ( z ) Икс { Displaystyle F_ {n} (х): = [z ^ {n}] F (z) ^ {x}} п ! ⋅ F п ( Икс ) { Displaystyle п! cdot F_ {п} (х)} биномиальный тип z F п ( Икс + т п ) ( Икс + т п ) = [ z п ] F т ( z ) Икс { displaystyle { frac {zF_ {n} (x + tn)} {(x + tn)}} = [z ^ {n}] { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {x }} т ∈ C { Displaystyle т в mathbb {C}} F т ( z ) { Displaystyle { mathcal {F}} _ {т} (г)} функциональное уравнение формы F т ( z ) = F ( Икс F т ( z ) т ) { displaystyle { mathcal {F}} _ {t} (z) = F left (x { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {t} right)} ^ Раздел 7.4 Конкретная математика . Erdeli, A .; Magnus, W .; Оберхеттингер, Ф. и Трикоми, Ф. Г. Высшие трансцендентные функции. Том III . Нью-Йорк. Грэм; Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: основа компьютерных наук . С. Роман (1984). Темное исчисление . внешняя ссылка
![{ Displaystyle { begin {align} S_ {k} (- m) & = { frac {(-1) ^ {k}} {k + m-1 choose k}} S_ {k + m-1 , m-1} && 0 <m in mathbb {Z} [6pt] S_ {k} (- 1) & = delta _ {k, 0} [6pt] S_ {k} (0) & = (- 1) ^ {k} B_ {k} [6pt] S_ {k} (1) & = (- 1) ^ {k + 1} ((k-1) B_ {k} + kB_ {k-1}) [6pt] S_ {k} (2) & = { tfrac {(-1) ^ {k}} {2}} ((k-1) (k-2) B_ { k} + 3k (k-2) B_ {k-1} + 2k (k-1) B_ {k-2}) [6pt] S_ {k} (k) & = k! [6pt] конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11d50b1266b6fea254e93291e75bd9d27d23b2)
![{ Displaystyle { begin {align} S_ {k} (x) & = sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kn} S_ {k + n, n} {{x + n выбрать n} {x + k + 1 выбрать kn} over {k + n выбрать n}} [6pt] & = sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} s_ {k + n + 1, n + 1} {{xk choose n} {xkn-1 choose kn} over {k + n choose k}} [6pt] & = k! sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} sum _ {m = j} ^ {k} {x + m choose m} {m choose j} L_ {k + m} ^ {(- kj)} (- j) [6pt] end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b294559318300e34f8b63e528ecaa5d67e169760)
![{ displaystyle sigma _ {n} (x) = left [{ begin {matrix} x xn end {matrix}} right] cdot { frac {1} {x (x-1) cdots (xn)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2d0037b8db31ce9bc95c552c3d5ecf3e013079)
![{ displaystyle scriptstyle { left [{ begin {matrix} x x-n end {matrix}} right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c854ccf1db132e85dd532931b5eb0be57701b2c)
![{ Displaystyle { begin {align} left {{ begin {matrix} n m end {matrix}} right } & = (- 1) ^ {n-m + 1} { frac {n!} {(m-1)!}} sigma _ {nm} (- m) ({ text {when}} m <0) left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] & = { frac {n!} {(m-1)!}} sigma _ {nm} (n) ({ text {when}} m> n) , конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef5f2ea4399342d521307f2157c2a858f5c7002)
![{ displaystyle { begin {align} sigma _ {n} (m) & = { frac {(-1) ^ {m + n-1}} {m! (nm)!}} sum _ { 0 leq k <m} left [{ begin {matrix} m mk end {matrix}} right] { frac {B_ {nk}} {nk}}, n geq m> 0 sigma _ {n} (m) & = - { frac {B_ {n}} {n cdot n!}}, m = 0. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffb378e8d1a37613f664c9a7db301eca4c6dbdc)
![{ Displaystyle F_ {n} (х): = [z ^ {n}] F (z) ^ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef6b79d2221950286dadafc59714241f1c793b5)
![{ displaystyle { frac {zF_ {n} (x + tn)} {(x + tn)}} = [z ^ {n}] { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {x }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884463c817f173365c4fb7fe5f364ed4d101392f)
