WikiDer > Полиномы Бернулли

Bernoulli polynomials

В математика, то Полиномы Бернулли, названный в честь Джейкоб Бернулли, объедините Числа Бернулли и биномиальные коэффициенты. Они используются для последовательного расширения функций, а с Формула Эйлера – МакЛорина.

Эти многочлены встречаются при изучении многих специальные функции и, в частности, Дзета-функция Римана и Дзета-функция Гурвица. Они Последовательность апелляций (т.е. Последовательность Шеффера для обычных производная оператор). Для многочленов Бернулли число пересечений Икс-ось в единичный интервал не повышается со степенью. В пределе большой степени они приближаются при соответствующем масштабировании к функции синуса и косинуса.

Полиномы Бернулли

Подобный набор многочленов, основанный на производящей функции, представляет собой семейство Полиномы Эйлера.

Представления

Многочлены Бернулли Bп можно определить как производящая функция. Они также допускают множество производных представлений.

Производящие функции

Производящая функция для полиномов Бернулли равна

Производящая функция для полиномов Эйлера равна

Явная формула

за п ≥ 0, где Bk являются Числа Бернулли, и Ek являются Числа Эйлера.

Представление дифференциальным оператором

Многочлены Бернулли также задаются формулами

куда D = d/dx дифференцирование по Икс и дробь расширяется как формальный степенной ряд. Следует, что

ср. интегралы ниже. Точно так же многочлены Эйлера задаются формулой

Представление интегральным оператором

Многочлены Бернулли также являются единственными многочленами, определяемыми

В интегральное преобразование

на многочленах ж, просто составляет

Это можно использовать для создания формулы обращения ниже.

Другая явная формула

Явная формула для полиномов Бернулли дается формулой

Это похоже на выражение ряда для Дзета-функция Гурвица в комплексной плоскости. Действительно, есть связь

куда ζ(sq) - дзета-функция Гурвица. Последний обобщает многочлены Бернулли, учитывая нецелые значенияп.

Внутреннюю сумму можно понимать как пth форвардная разница из Иксм; то есть,

где Δ - оператор прямой разницы. Таким образом, можно написать

Эта формула может быть получена из приведенного выше тождества следующим образом. Поскольку оператор прямой разности Δ равен

куда D дифференцирование по Икс, у нас, из Серия Меркатор,

Пока это работает на ммногочлен степени, такой как Иксм, можно позволить п перейти от 0 только дом.

Интегральное представление для полиномов Бернулли дается формулой Интеграл Норлунда – Райса, что следует из выражения в виде конечной разности.

Явная формула для полиномов Эйлера дается формулой

Сказанное выше следует аналогично, используя тот факт, что

Суммы псилы

Используя либо указанное выше интегральное представление из или личность , у нас есть

(при условии, что 00 = 1). Видеть Формула Фаульхабера для получения дополнительной информации об этом.

Числа Бернулли и Эйлера

В Числа Бернулли даны

Это определение дает за .

Альтернативное соглашение определяет числа Бернулли как

Эти два соглашения различаются только для поскольку .

В Числа Эйлера даны

Явные выражения для низких степеней

Первые несколько полиномов Бернулли:

Первые несколько полиномов Эйлера:

Максимум и минимум

На более высоком п, величина вариации Bп(Икс) между Икс = 0 и Икс = 1 становится большим. Например,

что показывает, что значение при Икс = 0 (и при Икс = 1) составляет −3617/510 ≈ −7,09, а при Икс = 1/2, значение 118518239/3342336 ≈ +7,09. Д. Х. Лемер[1] показал, что максимальное значение Bп(Икс) от 0 до 1 подчиняется

пока не п 2 по модулю 4, и в этом случае

(куда это Дзета-функция Римана), а минимум подчиняется

пока не п 0 по модулю 4, и в этом случае

Эти пределы довольно близки к фактическим максимумам и минимумам, и Лемер также дает более точные пределы.

Различия и производные

Многочлены Бернулли и Эйлера подчиняются многим соотношениям из темный камень:

(Δ - оператор прямой разницы). Также,

Эти полиномиальные последовательности находятся Последовательности апелляций:

Переводы

Эти тождества также эквивалентны утверждению, что эти полиномиальные последовательности Последовательности апелляций. (Полиномы Эрмита другой пример.)

Симметрии

Чжи-Вэй Сунь и Хао Пань [2] установил следующее удивительное соотношение симметрии: если р + s + т = п и Икс + у + z = 1, тогда

куда

Ряд Фурье

В Ряд Фурье полиномов Бернулли также является Серия Дирихле, заданный разложением

Обратите внимание на простой большой п ограничиваются тригонометрическими функциями с соответствующим масштабированием.

Это частный случай аналогичного вида для Дзета-функция Гурвица

Это расширение действительно только для 0 ≤Икс ≤ 1, когда п ≥ 2 и справедливо для 0 <Икс <1 когда п = 1.

Также может быть вычислен ряд Фурье полиномов Эйлера. Определение функций

и

за , многочлен Эйлера имеет ряд Фурье

и

Обратите внимание, что и являются нечетными и четными соответственно:

и

Они связаны с Функция ци Лежандра в качестве

и

Инверсия

Многочлены Бернулли и Эйлера могут быть обращены, чтобы выразить одночлен в терминах полиномов.

В частности, как видно из приведенного выше раздела о интегральные операторы, следует, что

и

Связь с падающим факториалом

Многочлены Бернулли могут быть разложены в терминах падающий факториал в качестве

куда и

обозначает Число Стирлинга второго рода. Вышеупомянутое можно инвертировать, чтобы выразить падающий факториал через многочлены Бернулли:

куда

обозначает Число Стирлинга первого рода.

Теоремы умножения

В теоремы умножения были даны Йозеф Людвиг Раабе в 1851 г .:

Для натурального числа м≥1,

Интегралы

Два определенных интеграла, связывающих полиномы Бернулли и Эйлера с числами Бернулли и Эйлера:[нужна цитата]

Периодические многочлены Бернулли

А периодический многочлен Бернулли пп(Икс) - многочлен Бернулли, вычисляемый на дробная часть аргумента Икс. Эти функции используются для обеспечения оставшийся срок в Формула Эйлера – Маклорена связывая суммы с интегралами. Первый многочлен - это пилообразная функция.

Строго говоря, эти функции вовсе не являются полиномами, и правильнее было бы называть их периодическими функциями Бернулли, и п0(Икс) даже не функция, являясь производной от зуба пилы и, следовательно, Гребень Дирака.

Следующие свойства представляют интерес, действительны для всех :

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Д. Х. Лемер, "О максимумах и минимумах многочленов Бернулли", Американский математический ежемесячный журнал, том 47, страницы 533–538 (1940)
  2. ^ Чжи-Вэй Сунь; Хао Пань (2006). «Тождества относительно многочленов Бернулли и Эйлера». Acta Arithmetica. 125: 21–39. arXiv:математика / 0409035. Bibcode:2006AcAri.125 ... 21S. Дои:10.4064 / aa125-1-3.

Внешняя ссылка