WikiDer > Ядро суммируемости

Summability kernel

В математике ядро суммируемости семейство или последовательность периодических интегрируемых функций, удовлетворяющих определенному набору свойств, перечисленных ниже. Некоторые ядра, такие как Ядро Фейера, особенно полезны в Анализ Фурье. Ядра суммируемости связаны с приближение идентичности; определения приближения идентичности различаются,[1] но иногда определение приближения тождества принимается таким же, как для ядра суммируемости.

Определение

Позволять . А ядро суммируемости это последовательность в это удовлетворяет

  1. (равномерно ограниченный)
  2. в качестве , для каждого .

Обратите внимание, что если для всех , т.е. это ядро положительной суммируемости, то второе требование следует автоматически от первой.

Если вместо этого мы примем соглашение , первое уравнение принимает вид , а верхний предел интегрирования по третьему уравнению следует расширить до .

Мы также можем рассмотреть скорее, чем ; то проинтегрируем (1) и (2) по , и (3) над .

Примеры

Свертки

Позволять - ядро ​​суммируемости, а обозначить свертка операция.

  • Если (непрерывные функции на ), тогда в , т.е. равномерно, как .
  • Если , тогда в , в качестве .
  • Если радиально убывающая симметричная и , тогда точечно п.в., в качестве . Это использует Максимальная функция Харди – Литтлвуда. Если не радиально убывающая симметричная, а убывающая симметризация удовлетворяет , то п.в. сходимость сохраняется, если использовать аналогичные аргументы.

Рекомендации

  1. ^ Перейра, Мария; Уорд, Лесли (2012). Гармонический анализ: от Фурье к вейвлетам. Американское математическое общество. п. 90.