WikiDer > Группа когомологий Тейта

В математика, Группы когомологий Тейта представляют собой слегка измененную форму обычного группы когомологий конечной группы, объединяющей группы гомологий и когомологий в одну последовательность. Их представил Джон Тейт (1952, п. 297), и используются в теория поля классов.

Определение

Если грамм это конечная группа и А а грамм-модуль, то существует естественное отображение N из ${displaystyle H_ {0} (G, A)}$ к ${displaystyle H ^ {0} (G, A)}$ принимая представителя а к ${displaystyle sum _ {gin G} ga}$ (сумма по всем грамм-конъюгаты а). В Группы когомологий Тейта ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A)}$ определены

• ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A) = H ^ {n} (G, A)}$ за ${displaystyle ngeq 1}$,
• ${displaystyle {hat {H}} ^ {0} (G, A) = имя оператора {coker} N =}$ частное от ${displaystyle H ^ {0} (G, A)}$ по нормам элементов А,
• ${displaystyle {hat {H}} ^ {- 1} (G, A) = ker N =}$ частное от нормы 0 элементов А по основным элементам А,
• ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A) = H _ {- (n + 1)} (G, A)}$ за ${displaystyle nleq -2}$.

Характеристики

Если

${displaystyle 0longrightarrow Alongrightarrow Blongrightarrow Clongrightarrow 0}$

это короткая точная последовательность грамм-модулей, то мы получаем обычную длинную точную последовательность групп когомологий Тейта:

${displaystyle cdots longrightarrow {hat {H}} ^ {n} (G, A) longrightarrow {hat {H}} ^ {n} (G, B) longrightarrow {hat {H}} ^ {n} (G, C ) longrightarrow {шляпа {H}} ^ {n + 1} (G, A) longrightarrow {шляпа {H}} ^ {n + 1} (G, B) cdots}$

Если А индуцированный грамм модуля, то все группы когомологий Тейта А исчезнуть.

Нулевая группа когомологий Тейта А является

(Фиксированные точки грамм на А) / (Очевидные неподвижные точки грамм действующий на А)

где под "очевидной" неподвижной точкой мы понимаем точки вида ${displaystyle sum ga}$. Другими словами, группа нулевых когомологий в некотором смысле описывает неочевидные неподвижные точки грамм действующий на А.

Группы когомологий Тейта характеризуются тремя вышеуказанными свойствами.

Теорема Тэйта

Теорема Тэйта (Тейт 1952 г.) дает условия, при которых умножение на класс когомологий является изоморфизмом между группами когомологий. Есть несколько немного разных его версий; версия, которая особенно удобна для теория поля классов как следует:

Предположим, что А является модулем над конечной группой грамм и а является элементом ${displaystyle H ^ {2} (G, A)}$, такое, что для каждой подгруппы E из грамм

• ${displaystyle H ^ {1} (E, A)}$ тривиально, и
• ${displaystyle H ^ {2} (E, A)}$ генерируется ${displaystyle operatorname {Res} (a)}$, который имеет порядок E. Затем залить продукт в чашку а это изоморфизм
• ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, mathbb {Z}) longrightarrow {hat {H}} ^ {n + 2} (G, A)}$

для всех п; другими словами, градуированные когомологии Тейта А изоморфна когомологиям Тейта с целыми коэффициентами со сдвигом степени на 2.

Когомологии Тейт-Фаррелла

Ф. Томас Фаррелл расширенные группы когомологий Тейта на случай всех групп грамм конечных виртуальная когомологическая размерность. В теории Фаррелла группы ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A)}$ изоморфны обычным группам когомологий всякий раз, когда п больше виртуальной когомологической размерности группы грамм. Конечные группы имеют виртуальную когомологическую размерность 0, и в этом случае группы когомологий Фаррелла такие же, как у Тейта.

Смотрите также

• Фактор Herbrand
• Формирование класса

Рекомендации

• М. Ф. Атья и К. Т. К. Уолл, «Когомологии групп», в Алгебраическая теория чисел Дж. В. С. Касселс, А. Фрелих ISBN 0-12-163251-2, Глава IV. См. Раздел 6.
• Браун, Кеннет С. (1982). Когомологии групп. Тексты для выпускников по математике. 87. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6. Г-Н 0672956.
• Фаррелл, Ф. Томас (1977). «Расширение когомологий тэйта на класс бесконечных групп». Журнал чистой и прикладной алгебры. 10 (2): 153–161. Дои:10.1016/0022-4049(77)90018-4. Г-Н 0470103.
• Тейт, Джон (1952), "Группы когомологий многомерной теории полей классов", Анналы математики, 2, 56: 294–297, Дои:10.2307/1969801, JSTOR 1969801, Г-Н 0049950