WikiDer > Упаковка тетраэдра

Tetrahedron packing

В геометрия, упаковка тетраэдров проблема размещения одинаковых регулярных тетраэдры во всем трехмерном пространстве, чтобы заполнить максимально возможную часть пространства.

Наиболее плотной из известных в настоящее время структур упаковки правильных тетраэдров является двойная решетка из треугольные бипирамиды и заполняет 85,63% пространства

В настоящее время лучшая нижняя граница оптимального фракция упаковки правильных тетраэдров составляет 85,63%.[1] Тетраэдры не плитка Космос,[2] и верхняя граница ниже 100% (а именно, 1 - (2.6 ...) · 10−25) не поступало.[3]

Исторические результаты

Тетраэдрическая упаковка

Аристотель утверждал, что тетраэдры могут полностью заполнять пространство.[4] [5]

В 2006 г. Конвей и Торквато показали, что фракция упаковки около 72% может быть получена путем построения не-Бравэ решеточной упаковки тетраэдров (с множеством частиц с обычно разными ориентациями на повторяющуюся единицу), и, таким образом, они показали, что лучшая упаковка тетраэдров не может быть решеточной упаковкой. (с одной частицей на повторяющийся блок, так что каждая частица имеет общую ориентацию).[6] Эти конструкции насадки почти вдвое увеличили оптимальную долю упаковки решетки Бравэ (36,73%), полученную Хойлманом.[7] В 2007 и 2010 годах Чайкин с коллегами экспериментально показали, что кубики, похожие на тетраэдр, могут беспорядочно упаковываться в ограниченный контейнер с долей упаковки от 75% до 76%.[8] В 2008 году Чен был первым, кто предложил упаковку твердых правильных тетраэдров, которые были упакованы более плотно, чем сферы, что численно продемонстрировало долю упаковки 77,86%.[9][10] Дальнейшее улучшение было сделано в 2009 году Торквато и Цзяо, которые сжали структуру Чена с помощью компьютерного алгоритма до доли упаковки 78,2021%.[11]

В середине 2009 года Хаджи-Акбари и др. показал, используя MC моделирование изначально случайных систем, в которых при плотностях упаковки> 50% равновесная жидкость из твердых тетраэдров спонтанно превращается в додекагональную квазикристалл, который можно сжать до 83,24%. Они также сообщили о стекловидной, неупорядоченной упаковке при плотности, превышающей 78%. Для периодического приближения квазикристалла с элементарной ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки 85,03%.[12]

В конце 2009 года Каллус, Эльзер и Гравел обнаружили новое, гораздо более простое семейство насадок с плотностью набивки 85,47%.[13] Эти набивки также явились основой слегка улучшенной набивки, полученной Торквато и Цзяо в конце 2009 года с долей набивки 85,55%,[14] и Чен, Энгель и Глотцер в начале 2010 г. с долей упаковки 85,63%.[1] Результат Чена, Энгеля и Глотцера в настоящее время является самой плотной из известных упаковок твердых правильных тетраэдров.

Связь с другими проблемами упаковки

Поскольку самая ранняя нижняя граница, известная для упаковки тетраэдров, была меньше, чем у сферы, было высказано предположение, что правильные тетраэдры могут быть контрпримером к Гипотеза Улама что оптимальная плотность для упаковка конгруэнтных сфер меньше, чем у любого другого выпуклого тела. Однако более свежие результаты показали, что это не так.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Чен, Элизабет Р .; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2010). «Плотные кристаллические димерные упаковки правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия. 44 (2): 253–280. arXiv:1001.0586. Дои:10.1007 / s00454-010-9273-0.
  2. ^ Струик, Д. Дж. (1925). "Het проблема" De Impletione Loci'". Nieuw Archief voor Wiskunde. 2 сер. 15: 121–134. JFM 52.0002.04.
  3. ^ Саймон Гравел; Вейт Эльзер; Йоав Каллус (2010). «Верхняя граница плотности упаковки правильных тетраэдров и октаэдров». Дискретная и вычислительная геометрия. 46 (4): 799–818. arXiv:1008.2830. Дои:10.1007 / s00454-010-9304-х.
  4. ^ Джеффри Лагариас и Чуаньмин Цзун (2012-12-04). "Тайны упаковки правильной тетраэдры" (PDF).
  5. ^ Пресс-релиз (03.12.2014). «Джеффри Лагариас и Чуанмин Цзун получат приз Конанта 2015 года».
  6. ^ Конвей, Дж. Х. (2006). «Упаковка, облицовка и покрытие тетраэдрами». Труды Национальной академии наук. 103 (28): 10612–10617. Bibcode:2006PNAS..10310612C. Дои:10.1073 / pnas.0601389103. ЧВК 1502280. PMID 16818891.
  7. ^ Хойлман, Дуглас Дж. (1970). «Плотнейшая решетчатая упаковка тетраэдров». Бюллетень Американского математического общества. 76: 135–138. Дои:10.1090 / S0002-9904-1970-12400-4.
  8. ^ Джаошвили, Александр; Эсакия, Андрия; Поррати, Массимо; Чайкин, Пол М. (2010). «Эксперименты по случайной упаковке четырехгранных игральных костей». Письма с физическими проверками. 104 (18): 185501. Bibcode:2010PhRvL.104r5501J. Дои:10.1103 / PhysRevLett.104.185501. HDL:10919/24495. PMID 20482187.
  9. ^ Чен, Элизабет Р. (2008). «Плотная упаковка правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия. 40 (2): 214–240. arXiv:0908.1884. Дои:10.1007 / s00454-008-9101-y.
  10. ^ Кон, Генри (2009). «Математическая физика: в тесноте». Природа. 460 (7257): 801–802. Bibcode:2009Натура.460..801С. Дои:10.1038 / 460801a. PMID 19675632.
  11. ^ Torquato, S .; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки Платоновых и Архимедовых тел». Природа. 460 (7257): 876–879. arXiv:0908.4107. Bibcode:2009Натура.460..876Т. Дои:10.1038 / природа08239. PMID 19675649.
  12. ^ Хаджи-Акбари, Амир; Энгель, Майкл; Киз, Аарон С .; Чжэн, Сяоюй; Petschek, Rolfe G .; Палфи-Мухорай, Питер; Глотцер, Шэрон С. (2009). «Неупорядоченные, квазикристаллические и кристаллические фазы плотноупакованных тетраэдров». Природа. 462 (7274): 773–777. arXiv:1012.5138. Bibcode:2009Натура 462..773H. Дои:10.1038 / природа08641. PMID 20010683.
  13. ^ Каллус, Йоав; Elser, Veit; Гравий, Саймон (2010). «Плотные периодические упаковки тетраэдров с малыми повторяющимися звеньями». Дискретная и вычислительная геометрия. 44 (2): 245–252. arXiv:0910.5226. Дои:10.1007 / s00454-010-9254-3.
  14. ^ Torquato, S .; Цзяо, Ю. (2009). "Аналитические конструкции семейства плотных упаковок тетраэдров и роль симметрии". arXiv:0912.4210 [cond-mat.stat-mech].

внешняя ссылка