WikiDer > Полиномы Тушара

Touchard polynomials

В Полиномы Тушара, изученный Жак Тушар (1939), также называемый экспоненциальные полиномы или же Полиномы Белла, составляют полиномиальная последовательность из биномиальный тип определяется

куда это Число Стирлинга второго рода, т.е. количество перегородки набора размера п в k непересекающиеся непустые подмножества.[1][2][3][4]

Характеристики

Основные свойства

Значение в 1 из п-й многочлен Тушара - это пth Номер звонка, т.е. количество перегородки набора размера п:

Если Икс это случайная переменная с распределение Пуассона с математическим ожиданием λ, то его п-й момент E (Иксп) = Тп(λ), что приводит к определению:

Используя этот факт, можно быстро доказать, что это полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип, т.е. удовлетворяет последовательности тождеств:

Многочлены Тушара составляют единственную полиномиальную последовательность биномиального типа с коэффициентом при Икс равно 1 в каждом полиноме.

Многочлены Тушара удовлетворяют формуле типа Родрига:

Многочлены Тушара удовлетворяют условию отношение повторения

и

В случае Икс = 1, это сводится к рекуррентной формуле для Номера звонков.

С использованием теневое обозначение Тп(Икс)=Тп(Икс) эти формулы становятся:

В производящая функция многочленов Тушара

что соответствует производящая функция чисел Стирлинга второго рода.

Многочлены Тушара имеют контурный интеграл представление:

Нули

Все нули полиномов Тушара действительны и отрицательны. Этот факт наблюдал Л. Х. Харпер в 1967 году.[5]

Наименьший ноль ограничен снизу (по модулю) величиной[6]

хотя предполагается, что наименьший нуль линейно растет с индексом п.

В Мера Малера полиномов Тушара можно оценить следующим образом:[7]

куда и самые маленькие из двух k индексы такие, что и максимальны соответственно.

Обобщения

  • Полный Полином Белла можно рассматривать как многомерное обобщение полинома Тушара , поскольку
  • Многочлены Тушара (и тем самым Номера звонков) можно обобщить, используя действительную часть указанного выше интеграла, до нецелого порядка:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Роман, Стивен (1984). Темное исчисление. Дувр. ISBN 0-486-44139-3.
  2. ^ Бояджиев, Христо Н. "Экспоненциальные многочлены, числа Стирлинга и вычисление некоторых гамма-интегралов". Аннотация и прикладной анализ. 2009: 1–18. arXiv:0909.0979. Bibcode:2009АбАпА2009 .... 1Б. Дои:10.1155/2009/168672.
  3. ^ Брендт, Брюс С. «РАМАНУДЖАН ВЫСТУПАЕТ РУКУ ОТ МОГИЛЫ, ЧТОБЫ ВЫЙТИ ОТ ВАС ТЕОРЕМЫ» (PDF). Получено 23 ноября 2013.
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Полином Белла». MathWorld.
  5. ^ Харпер, Л. Х. (1967). «Поведение Стирлинга асимптотически нормальное». Анналы математической статистики. 38 (2): 410–414. Дои:10.1214 / aoms / 1177698956.
  6. ^ Мезу, Иштван; Корчино, Роберто Б. (2015). «Оценка нулей полиномов Белла и г-Белла». Прикладная математика и вычисления. 250: 727–732. Дои:10.1016 / j.amc.2014.10.058.
  7. ^ Иштван, Мезо. «О мере Малера полиномов Белла». Получено 7 ноября 2017.