WikiDer > Полиномы Белла

В комбинаторный математика, то Полиномы Белла, названный в честь Эрик Темпл Белл, используются при изучении множества разделов. Они связаны с Стирлинг и Номера звонков. Они также встречаются во многих приложениях, например, в Формула Фаа ди Бруно.

Полиномы Белла

Экспоненциальные полиномы Белла

В частичный или же неполный экспоненциальные полиномы Белла являются треугольная решетка многочленов, заданных

${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n-k + 1}) = сумма {п! over j_ {1}! j_ {2}! cdots j_ {n-k + 1}!} left ({x_ {1} over 1!} right) ^ {j_ {1}} left ( {x_ {2} over 2!} right) ^ {j_ {2}} cdots left ({x_ {n-k + 1} over (n-k + 1)!} right) ^ { j_ {n-k + 1}},}$

где сумма берется по всем последовательностям j₁, j₂, j₃, ..., j_п−k+1 неотрицательных целых чисел, при которых выполняются эти два условия:

${ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + 3j_ {3} + cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Сумма

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2} , точки, x_ {n-k + 1})}$

называется пth полный экспоненциальный полином Белла.

Обыкновенные полиномы Белла

Точно так же частичный обычный Полином Белла, в отличие от обычного экспоненциального полинома Белла, определенного выше, задается формулой

${ displaystyle { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n-k + 1}) = sum { frac {k!} { j_ {1}! j_ {2}! cdots j_ {n-k + 1}!}} x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} cdots x_ {n -k + 1} ^ {j_ {n-k + 1}},}$

где сумма пробегает все последовательности j₁, j₂, j₃, ..., j_п−k+1 неотрицательных целых чисел, таких что

${ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Обычные многочлены Белла могут быть выражены через экспоненциальные многочлены Белла:

${ displaystyle { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n-k + 1}) = { frac {k!} {n! }} B_ {n, k} (1! Cdot x_ {1}, 2! Cdot x_ {2}, ldots, (n-k + 1)! Cdot x_ {n-k + 1}). }$

В общем, многочлен Белла относится к экспоненциальному многочлену Белла, если явно не указано иное.

Комбинаторное значение

Экспоненциальный полином Белла кодирует информацию, относящуюся к способам разделения множества. Например, если мы рассмотрим набор {A, B, C}, его можно разделить на два непустых, неперекрывающихся подмножества, которые также называются частями или блоками, тремя разными способами:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Таким образом, мы можем закодировать информацию об этих разделах как

${ displaystyle B_ {3,2} (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} x_ {2}.}$

Здесь индексы B_3,2 сообщает нам, что мы рассматриваем разбиение набора из 3 элементов на 2 блока. Нижний индекс каждого Икс_я указывает на наличие блока с я элементы (или блок размера я) в данном разделе. Так вот, Икс₂ указывает на наличие блока с двумя элементами. По аналогии, Икс₁ указывает на наличие блока с одним элементом. Показатель Икс_я^j указывает, что есть j такие блоки размера я в одном разделе. Здесь, поскольку оба Икс₁ и Икс₂ имеет экспоненту 1, это означает, что в данном разделе есть только один такой блок. Коэффициент одночлен указывает, сколько существует таких разделов. В нашем случае есть 3 раздела набора из 3 элементов на 2 блока, где в каждом разделе элементы разделены на два блока размером 1 и 2.

Поскольку любой набор можно разделить на единый блок только одним способом, приведенная выше интерпретация будет означать, что B_п,1 = Икс_п. Точно так же, поскольку существует только один способ, которым набор с п элементы можно разделить на п синглтоны B_п,п = Икс₁^п.

В качестве более сложного примера рассмотрим

${ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}.}$

Это говорит нам о том, что если набор из 6 элементов разделен на 2 блока, то у нас может быть 6 разделов с блоками размера 1 и 5, 15 разделов с блоками размера 4 и 2 и 10 разделов с 2 блоками размера 3.

Сумма индексов в одночленах равна общему количеству элементов. Таким образом, количество одночленов, которые входят в частичный многочлен Белла, равно количеству способов, которыми целое число п можно выразить как сумму k положительные целые числа. Это то же самое, что и целочисленный раздел из п в k части. Например, в приведенных выше примерах целое число 3 можно разделить на две части только как 2 + 1. Таким образом, имеется только один моном в B_3,2. Однако целое число 6 можно разделить на две части: 5 + 1, 4 + 2 и 3 + 3. Таким образом, есть три одночлена в B_6,2. В самом деле, индексы переменных в одночлене такие же, как и в целочисленном разбиении, указывая размеры различных блоков. Общее количество одночленов, входящих в полный многочлен Белла B_п таким образом, равно общему количеству целых разбиенийп.

Также степень каждого монома, которая представляет собой сумму показателей каждой переменной в мономе, равна количеству блоков, на которые разделен набор. То есть, j₁ + j₂ + ... = k . Таким образом, для полного полинома Белла B_п, можно выделить частичный полином Белла B_{п, к} собрав все эти одночлены со степенью k.

Наконец, если не учитывать размеры блоков и поставить все Икс_я = Икс, то суммирование коэффициентов частичного полинома Белла B_п,k даст общее количество способов, которыми набор с п элементы можно разделить на k блоки, что совпадает с Числа Стирлинга второго рода. Кроме того, суммирование всех коэффициентов полного полинома Белла B_п даст нам общее количество способов, которыми набор с п элементы могут быть разделены на неперекрывающиеся подмножества, что совпадает с числом Белла.

В общем, если целое число п является разделенный в сумму, в которой фигурирует "1" j₁ раз появляется "2" j₂ раз и так далее, то количество перегородки набора размера п которые коллапсируют на этот раздел целого числа п когда члены множества становятся неразличимыми, это соответствующий коэффициент в полиноме.

Примеры

Например, у нас есть

${ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}}$

потому что есть

6 способов разделить набор из 6 на 5 + 1,

15 способов разделить набор из 6 на 4 + 2 и

10 способов разделить набор из 6 на 3 + 3.

По аналогии,

${ displaystyle B_ {6,3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 60x_ {3} x_ { 2} x_ {1} + 15x_ {2} ^ {3}}$

потому что есть

15 способов разделить набор из 6 на 4 + 1 + 1,

60 способов разделить набор из 6 на 3 + 2 + 1, и

15 способов разделить набор из 6 на 2 + 2 + 2.

Характеристики

Производящая функция

Экспоненциальные частичные полиномы Белла могут быть определены двойным разложением его производящей функции в ряд:

${ displaystyle { begin {align} Phi (t, u) & = exp left (u sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}) } {j!}} right) = sum _ {n geq k geq 0} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) { frac { t ^ {n}} {n!}} u ^ {k} & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} sum _ {k = 1} ^ {n} u ^ {k} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}). end {выравнивается}}}$

Другими словами, то же самое - разложением в ряд k-я степень:

${ displaystyle { frac {1} {k!}} left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} справа) ^ {k} = sum _ {n = k} ^ { infty} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) { frac {t ^ {n}} {n!}}, qquad k = 0,1,2, ldots}$

Полный экспоненциальный полином Белла определяется формулой ${ Displaystyle Phi (т, 1)}$, или другими словами:

${ displaystyle Phi (t, 1) = exp left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} right ) = sum _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Таким образом п-й полный полином Белла имеет вид

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = left. left ({ frac { partial} { partial t}} right) ^ {n} exp left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} right) right | _ {t = 0}.}$

Точно так же обычный частичный многочлен Белла может быть определен производящей функцией

${ Displaystyle { шляпа { Phi}} (т, и) = ехр влево (и сумма _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} t ^ {j} right) = сумма _ {n geq k geq 0} { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n} { frac {u ^ {k}} {k!}}.}$

Или, что то же самое, разложением в ряд k-я степень:

${ displaystyle left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} t ^ {j} right) ^ {k} = sum _ {n = k} ^ { infty} { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n}.}$

Смотрите также преобразования производящей функции для полинома Белла производящей функции разложения композиций последовательности производящие функции и полномочия, логарифмы, и экспоненты производящей функции последовательности. Каждая из этих формул цитируется в соответствующих разделах Comtet.^[1]

Повторяющиеся отношения

Полные полиномы Белла могут быть периодически определяется как

${ displaystyle B_ {n + 1} (x_ {1}, ldots, x_ {n + 1}) = sum _ {i = 0} ^ {n} {n select i} B_ {ni} (x_ {1}, ldots, x_ {ni}) x_ {i + 1}}$

с начальным значением ${ displaystyle B_ {0} = 1}$.

Частичные полиномы Белла также можно эффективно вычислить с помощью рекуррентного соотношения:

${ displaystyle B_ {n, k} = sum _ {i = 1} ^ {n-k + 1} { binom {n-1} {i-1}} x_ {i} B_ {ni, k- 1},}$

куда

${ Displaystyle B_ {0,0} = 1;}$

${ displaystyle B_ {n, 0} = 0 { text {for}} n geq 1;}$

${ displaystyle B_ {0, k} = 0 { text {for}} k geq 1.}$

Полные многочлены Белла также удовлетворяют следующей рекуррентной дифференциальной формуле:^[2]

${ displaystyle { begin {align} B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = { frac {1} {n-1}} left [ sum _ {i = 2 } ^ {n} right. & sum _ {j = 1} ^ {i-1} (i-1) { binom {i-2} {j-1}} x_ {j} x_ {ij} { frac { partial B_ {n-1} (x_ {1}, dots, x_ {n-1})} { partial x_ {i-1}}} [5pt] & left. { } + sum _ {i = 2} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {i-1} { frac {x_ {i + 1}} { binom {i} {j}}} { frac { partial ^ {2} B_ {n-1} (x_ {1}, dots, x_ {n-1})} { partial x_ {j} partial x_ {ij}}} right . [5pt] & left. {} + Sum _ {i = 2} ^ {n} x_ {i} { frac { partial B_ {n-1} (x_ {1}, dots, x_ {n-1})} { partial x_ {i-1}}} right]. end {выравнивается}}}$

Детерминантные формы

Полный полином Белла может быть выражен как детерминанты:

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = det { begin {bmatrix} x_ {1} & {n-1 select 1} x_ {2} & {n -1 choose 2} x_ {3} & {n-1 choose 3} x_ {4} & cdots & cdots & x_ {n} - 1 & x_ {1} & {n-2 choose 1 } x_ {2} & {n-2 choose 2} x_ {3} & cdots & cdots & x_ {n-1} 0 & -1 & x_ {1} & {n-3 choose 1} x_ {2} & cdots & cdots & x_ {n-2} 0 & 0 & -1 & x_ {1} & cdots & cdots & x_ {n-3} 0 & 0 & 0 & -1 & cdots & cdots & x_ {n-4} \ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & -1 & x_ {1} end {bmatrix}}}$

и

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = det { begin {bmatrix} { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & { Frac {x_ {3}} {2!}} & { Frac {x_ {4}} {3!}} & Cdots & cdots & { frac { x_ {n}} {(n-1)!}} - 1 & { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & { frac {x_ {3}} {2!}} & cdots & cdots & { frac {x_ {n-1}} {(n-2)!}} 0 & -2 & { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & cdots & cdots & { frac {x_ {n-2}} {(n-3 )!}} 0 & 0 & -3 & { frac {x_ {1}} {0!}} & Cdots & cdots & { frac {x_ {n-3}} {(n-4)! }} 0 & 0 & 0 & -4 & cdots & cdots & { frac {x_ {n-4}} {(n-5)!}} \ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & - (n-1) & { frac {x_ {1}} {0!}} end {bmatrix}}.}.$

Числа Стирлинга и числа Белла

Значение полинома Белла B_п,k(Икс₁,Икс₂, ...) на последовательности факториалы равно беззнаковому Число Стирлинга первого рода:

${ Displaystyle B_ {n, k} (0!, 1!, точки, (nk)!) = c (n, k) = | s (n, k) | = left [{n на вершине k} верно].}$

Значение полинома Белла B_п,k(Икс₁,Икс₂, ...) на последовательности единиц равно a Число Стирлинга второго рода:

${ Displaystyle B_ {n, k} (1,1, точки, 1) = S (n, k) = left {{n atop k} right }.}$

Сумма этих значений дает значение полного полинома Белла от последовательности единиц:

${ Displaystyle B_ {n} (1,1, точки, 1) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (1,1, dots, 1) = sum _ {k = 1} ^ {n} left {{n atop k} right },}$

какой пth Номер звонка.

Обратные отношения

Если мы определим

${ displaystyle y_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}),}$

тогда у нас есть обратная зависимость

${ displaystyle x_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} (y_ {1}, ldots , y_ {n-k + 1}).}$

Полиномы Тушара

Многочлен Тушара ${ displaystyle T_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} left {{n attop k} right } cdot x ^ {k}}$ может быть выражено как значение полного полинома Белла для всех аргументов Икс:

${ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, dots, x).}$

Свертка идентичности

Для последовательностей Икс_п, у_п, п = 1, 2, ..., определим свертка к:

${ displaystyle (x { mathbin { diamondsuit}} y) _ {n} = sum _ {j = 1} ^ {n-1} {n choose j} x_ {j} y_ {n-j}.}$

Границы суммирования равны 1 и п - 1, а не 0 и п .

Позволять ${ Displaystyle х_ {п} ^ {к алмазный костюм} ,}$ быть п-й член последовательности

${ displaystyle displaystyle underbrace {x { mathbin { diamondsuit}} cdots { mathbin { diamondsuit}} x} _ {k { text {факторы}}}. ,}$

потом^[3]

${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, dots, x_ {n-k + 1}) = {x_ {n} ^ {k diamondsuit} over k!}. ,}$

Например, вычислим ${ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2})}$. У нас есть

${ Displaystyle х = (x_ {1} , x_ {2} , x_ {3} , x_ {4} , точки)}$

${ displaystyle x { mathbin { diamondsuit}} x = (0, 2x_ {1} ^ {2} , 6x_ {1} x_ {2} , 8x_ {1} x_ {3} + 6x_ {2} ^ {2} , точки)}$

${ displaystyle x { mathbin { diamondsuit}} x { mathbin { diamondsuit}} x = (0 , 0 , 6x_ {1} ^ {3} , 36x_ {1} ^ {2 } x_ {2} , точки)}$

и поэтому,

${ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {(x { mathbin { diamondsuit}} x { mathbin { diamondsuit}} x) _ {4} } {3!}} = 6x_ {1} ^ {2} x_ {2}.}$

Другие личности

• ${ displaystyle B_ {n, k} (1!, 2!, ldots, (n-k + 1)!) = { binom {n-1} {k-1}} { frac {n!} {k!}} = L (n, k)}$ что дает Номер Ла.
• ${ displaystyle B_ {n, k} (1,2,3, ldots, n-k + 1) = { binom {n} {k}} k ^ {n-k}}$ что дает идемпотентное число.
• ${ Displaystyle B_ {n, k} (- x_ {1}, x_ {2}, - x_ {3}, ldots, (- 1) ^ {nk} x_ {n-k + 1}) = (- 1) ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {n-k + 1})}$ и ${ displaystyle B_ {n} (- x_ {1}, x_ {2}, - x_ {3}, ldots, (- 1) ^ {n-1} x_ {n}) = (- 1) ^ { n} B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {n})}$.
• Полные полиномы Белла удовлетворяют соотношению биномиального типа:

  ${ displaystyle B_ {n} (x_ {1} + y_ {1}, ldots, x_ {n} + y_ {n}) = sum _ {i = 0} ^ {n} {n choose i} B_ {ni} (x_ {1}, ldots, x_ {ni}) B_ {i} (y_ {1}, ldots, y_ {i}),}$

  ${ displaystyle B_ {n, k} { Bigl (} { frac {x_ {q + 1}} { binom {q + 1} {q}}}, { frac {x_ {q + 2}}) { binom {q + 2} {q}}}, ldots { Bigr)} = { frac {n! (q!) ^ {k}} {(n + qk)!}} B_ {n + qk, k} ( ldots, 0,0, x_ {q + 1}, x_ {q + 2}, ldots).}$

Это исправляет пропуск фактора ${ Displaystyle (д!) ^ {к}}$ в книге Контета.^[4]

• Когда ${ Displaystyle 1 Leq а <п}$,

${ displaystyle B_ {n, na} (x_ {1}, ldots, x_ {a + 1}) = sum _ {j = a + 1} ^ {2a} { frac {j!} {a! }} { binom {n} {j}} (x_ {1}) ^ {nj} B_ {a, ja} { Bigl (} { frac {x_ {2}} {2}}, { frac {x_ {3}} {3}}, ldots, { frac {x_ {2 (a + 1) -j}} {2 (a + 1) -j}} { Bigr)}.}.}$

• Частные случаи частичных полиномов Белла:

${ displaystyle { begin {align} B_ {n, 1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = {} & x_ {n} [8pt] B_ {n, 2} (x_ { 1}, ldots, x_ {n-1}) = {} & { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} { binom {n} {k} } x_ {k} x_ {nk} [8pt] B_ {n, n} (x_ {1}) = {} & (x_ {1}) ^ {n} [8pt] B_ {n, n -1} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & { binom {n} {2}} (x_ {1}) ^ {n-2} x_ {2} [8pt] B_ {n, n-2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {} & { binom {n} {3}} (x_ {1}) ^ {n-3} x_ {3} +3 { binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} (x_ {2}) ^ {2} [8pt] B_ {n, n-3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & { binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} x_ {4 } +10 { binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {2} x_ {3} +15 { binom {n} {6}} (x_ {1} ) ^ {n-6} (x_ {2}) ^ {3} [8pt] B_ {n, n-4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} , x_ {5}) = {} & { binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {5} +5 { binom {n} {6}} (x_ {1}) ^ {n-6} { bigl [} 3x_ {2} x_ {4} +2 (x_ {3}) ^ {2} { bigr]} + 105 { binom {n} {7 }} (x_ {1}) ^ {n-7} (x_ {2}) ^ {2} x_ {3} {} & {} + 105 { binom {n} {8}} (x_ { 1}) ^ {n-8} (x_ {2}) ^ {4}. End {align}}}$

Примеры

Первые несколько полных полиномов Белла:

${ displaystyle { begin {align} B_ {0} = {} & 1, [8pt] B_ {1} (x_ {1}) = {} & x_ {1}, [8pt] B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & x_ {1} ^ {2} + x_ {2}, [8pt] B_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3}) = {} & x_ {1} ^ {3} + 3x_ {1} x_ {2} + x_ {3}, [8pt] B_ {4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & x_ {1} ^ {4} + 6x_ {1} ^ {2} x_ {2} + 4x_ {1} x_ {3} + 3x_ {2} ^ {2 } + x_ {4}, [8pt] B_ {5} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} & x_ {1} ^ {5} + 10x_ {2} x_ {1} ^ {3} + 15x_ {2} ^ {2} x_ {1} + 10x_ {3} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} x_ {2 } + 5x_ {4} x_ {1} + x_ {5} [8pt] B_ {6} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) = {} & x_ {1} ^ {6} + 15x_ {2} x_ {1} ^ {4} + 20x_ {3} x_ {1} ^ {3} + 45x_ {2} ^ {2 } x_ {1} ^ {2} + 15x_ {2} ^ {3} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} & {} + 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} ^ {2} + 15x_ {4} x_ {2} + 6x_ {5} x_ {1} + x_ {6}, [8pt] B_ {7} (x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}, x_ {7}) = {} & x_ {1} ^ {7} + 21x_ {1} ^ {5} x_ {2 } + 35x_ {1} ^ {4} x_ {3} + 105x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2} + 35x_ {1} ^ {3} x_ {4} & {} + 210x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + 105x_ {1} x_ {2} ^ {3} + 21x_ {1} ^ {2} x_ {5} + 105x_ {1} x_ {2 } x_ {4} & {} + 70x_ {1} x_ {3} ^ {2} + 105x_ {2} ^ {2} x_ {3} + 7x_ {1} x_ {6} + 21x_ {2} x_ {5} + 35x_ {3} x_ {4} + x_ {7}. end {align}}}$

Приложения

Формула Фаа ди Бруно

Формула Фаа ди Бруно можно сформулировать в терминах полиномов Белла следующим образом:

${ displaystyle {d ^ {n} over dx ^ {n}} f (g (x)) = sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) B_ {n, k} left (g '(x), g' '(x), dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) right).}$

Точно так же версия формулы Фаа ди Бруно в виде степенного ряда может быть сформулирована с использованием полиномов Белла следующим образом. Предполагать

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} over n!} x ^ {n} qquad { text {and}} qquad g (x ) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {b_ {n} over n!} x ^ {n}.}$

потом

${ displaystyle g (е (x)) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, dots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n}.}$

В частности, полные многочлены Белла появляются в экспоненте формальный степенной ряд:

${ displaystyle exp left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} {a_ {i} over i!} x ^ {i} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} {B_ {n} (a_ {1}, dots, a_ {n}) over n!} x ^ {n},}$

который также представляет экспоненциальная производящая функция полных многочленов Белла на фиксированной последовательности аргументов ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots}$.

Реверс серии

Пусть две функции ж и грамм быть выраженным в формальных степенных рядах как

${ displaystyle f (w) = sum _ {k = 0} ^ { infty} f_ {k} { frac {w ^ {k}} {k!}}, qquad { text {и}} qquad g (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} g_ {k} { frac {z ^ {k}} {k!}},}$

такой, что грамм композиционно инверсия ж определяется грамм(ж(ш)) = ш или же ж(грамм(z)) = z. Если ж₀ = 0 и ж₁ 0, то явный вид коэффициентов обратного может быть задан в терминах полиномов Белла как^[5]

${ displaystyle g_ {n} = { frac {1} {f_ {1} ^ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} n ^ { bar {k}} B_ {n-1, k} ({ hat {f}} _ {1}, { hat {f}} _ {2}, ldots, { hat {f}} _ {nk}), qquad n geq 2,}$

с ${ displaystyle { hat {f}} _ {k} = { frac {f_ {k + 1}} {(k + 1) f_ {1}}},}$ и ${ Displaystyle п ^ { бар {к}} = п (п + 1) cdots (п + к-1)}$ - возрастающий факториал, и ${ displaystyle g_ {1} = { frac {1} {f_ {1}}}.}$

Асимптотическое разложение интегралов типа Лапласа

Рассмотрим интеграл вида

${ displaystyle I ( lambda) = int _ {a} ^ {b} e ^ {- lambda f (x)} g (x) , mathrm {d} x,}$

куда (а,б) - действительный (конечный или бесконечный) интервал, λ - большой положительный параметр, а функции ж и грамм непрерывны. Позволять ж иметь единый минимум в [а,б], который происходит в Икс = а. Предположим, что при Икс → а⁺,

${ Displaystyle е (х) сим е (а) + сумма _ {к = 0} ^ { infty} а_ {к} (х-а) ^ {к + альфа},}$

${ displaystyle g (x) sim sum _ {k = 0} ^ { infty} b_ {k} (x-a) ^ {k + beta -1},}$

с α > 0, Re (β)> 0; и что расширение ж могут быть дифференцированы по срокам. Тогда теорема Лапласа – Эрдели утверждает, что асимптотическое разложение интеграла я(λ) дан кем-то

${ displaystyle I ( lambda) sim e ^ {- lambda f (a)} sum _ {n = 0} ^ { infty} Gamma { Big (} { frac {n + beta} { alpha}} { Big)} { frac {c_ {n}} { lambda ^ {(n + beta) / alpha}}} qquad { text {as}} quad lambda rightarrow infty,}$

где коэффициенты c_п выражаются в терминах а_п и б_п с использованием частичного обычный Полиномы Белла, заданные формулой Кэмпбелла – Фромана – Валлеса – Войдило:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} { alpha a_ {0} ^ {(n + beta) / alpha}}} sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {nk} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {- { frac {n + beta} { alpha}}} {j}} { frac {1} {a_ {0} ^ {j} }} { hat {B}} _ {k, j} (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k-j + 1}).}$

Симметричные полиномы

В элементарный симметричный многочлен ${ displaystyle e_ {n}}$ и симметричный полином степенной суммы ${ displaystyle p_ {n}}$ могут быть связаны друг с другом с помощью полиномов Белла следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} e_ {n} & = { frac {1} {n!}} ; B_ {n} (p_ {1}, - 1! p_ {2}, 2! p_ { 3}, - 3! P_ {4}, ldots, (- 1) ^ {n-1} (n-1)! P_ {n}) & = { frac {(-1) ^ {n }} {n!}} ; B_ {n} (- p_ {1}, - 1! p_ {2}, - 2! p_ {3}, - 3! p_ {4}, ldots, - (n -1)! P_ {n}), end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} p_ {n} & = { frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} sum _ {k = 1} ^ {n } (- 1) ^ {k-1} (k-1)! ; B_ {n, k} (e_ {1}, 2! E_ {2}, 3! E_ {3}, ldots, (n -k + 1)! e_ {n-k + 1}) & = (- 1) ^ {n} ; n ; sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} ; { hat {B}} _ {n, k} (- e_ {1}, dots, -e_ {n-k + 1}). end {выравнивается}}}$

Эти формулы позволяют выразить коэффициенты монических многочленов через многочлены Белла его нулей. Например, вместе с Теорема Кэли – Гамильтона они приводят к выражению определителя п × п квадратная матрица А по следам его полномочий:

${ displaystyle det (A) = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} B_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n}) , ~ qquad { text {where}} s_ {k} = - (k-1)! operatorname {tr} (A ^ {k}).}$

Индекс цикла симметрических групп

В индекс цикла из симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$ может быть выражено через полные многочлены Белла следующим образом:

${ displaystyle Z (S_ {n}) = { frac {B_ {n} (0! , a_ {1}, 1! , a_ {2}, dots, (n-1)! , a_ {n})} {n!}}.}$

Моменты и кумулянты

Сумма

${ displaystyle mu _ {n} '= B_ {n} ( kappa _ {1}, dots, kappa _ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} ( kappa _ {1}, dots, kappa _ {n-k + 1})}$

это пй сырой момент из распределение вероятностей чей первый п кумулянты находятся κ₁, ..., κ_п. Другими словами, пй момент - это п-й полный многочлен Белла, вычисленный на первом п кумулянты. Точно так же пth кумулянт может быть задан в терминах моментов как

${ displaystyle kappa _ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} ( mu '_ { 1}, ldots, mu '_ {n-k + 1}).}$

Полиномы Эрмита

Вероятностные Полиномы Эрмита можно выразить через полиномы Белла как

${ displaystyle operatorname {He} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, ldots, 0),}$

куда Икс_я = 0 для всех я > 2; таким образом позволяя комбинаторную интерпретацию коэффициентов многочленов Эрмита. В этом можно убедиться, сравнив производящую функцию многочленов Эрмита

${ displaystyle exp left (xt - { frac {t ^ {2}} {2}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} operatorname {He} _ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}}$

с полиномами Белла.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа

Для любой последовательности а₁, а₂, …, а_п скаляров, пусть

${ displaystyle p_ {n} (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (a_ {1}, dots, a_ {n-k + 1}) x ^ { k}.}$

Тогда эта полиномиальная последовательность имеет вид биномиальный тип, т.е. удовлетворяет биномиальному тождеству

${ displaystyle p_ {n} (x + y) = sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} p_ {k} (x) p_ {n-k} (y).}$

Пример: За а₁ = … = а_п = 1, многочлены ${ Displaystyle p_ {п} (х)}$ представлять Полиномы Тушара.

В общем, мы имеем такой результат:

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа имеют этот вид.

Если мы определим формальный степенной ряд

${ displaystyle h (x) = sum _ {k = 1} ^ { infty} {a_ {k} over k!} x ^ {k},}$

тогда для всех п,

${ displaystyle h ^ {- 1} left ({d over dx} right) p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x).}$

Программного обеспечения

Полиномы Белла реализованы в:

• Mathematica в качестве Живот
• Клен в качестве НеполныйBellB
• SageMath в качестве bell_polynomial

Смотрите также

• Белл матрица
• Экспоненциальная формула

Примечания

Рекомендации