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In einem lineares zeitinvariantes System beschreibt die Übertragungsfunktion, ebenfalls Übertragungsfunktion oder Systemfunktion genannt, die Beziehung zwischen der Eingabe und Ausgabe der System im sogenannten Laplace-Bereich. Die Übertragungsfunktion ist die laplace verwandelt des impulsive Reaktion vom System. Im Laplace-Bereich wird die Laplace-Transformation der Antwort durch Multiplizieren der Transformation der Anregung mit der Übertragungsfunktion erhalten.

Diskrete Systeme

In einem lineares zeitinvariantes diskretes System wird die Antwort ${Anzeigestil y}$ erhalten als die Faltung der Erregung ${Anzeigestil x}$ mit der Impulsantwort ${displaystyle h}$:

${displaystyle y[n]=sum _{m=-infty }^{ infty}h[m],x[n-m]}$

Die Übertragungsfunktion: ${displaystyle H:mathbb {C} oder mathbb {C} }$ ist der z-transformiert von ${displaystyle h}$:

${displaystyle H(z)=sum _{m=-infty}^{infty}h[m],z^{-m}}$

Für die z-transformierte ${Anzeigestil X}$ von ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil Y}$ von ${Anzeigestil y}$ gilt:

${Anzeigestil Y(z)=H(z)X(z)}$

Letztendlich:

${displaystyle H(z)X(z)=sum _{m=-infty }^{ infty}h[m],z^{-m}sum _{n=-infty }^{ infty }x[n] ,z^{-n}=}$

${displaystyle =sum _{n=-infty }^{ infty }sum _{m=-infty }^{ infty }h[m],x[n],z^{-(n·m)}=}$

${displaystyle =sum _{k=-infty }^{ infty }sum _{m=-infty }^{ infty }h[m],x[k-m],z^{-k}=}$

${displaystyle =sum _{k=-infty }^{ infty}y[k],z^{-k}=Y(z)}$

Kontinuierliche Systeme

In einem lineares zeitinvariantes kontinuierliches System wird die Antwort ${Anzeigestil y}$ erhalten als die Faltung der Erregung ${Anzeigestil x}$ mit der Impulsantwort ${displaystyle h}$:

${displaystyle y(t)=(h*x)(t)=int _{-infty}^{infty}h(s)x(t-s),mathrm {d} s}$

Die Übertragungsfunktion: ${displaystyle H:mathbb {C} oder mathbb {C}}$ ist die Laplace-Transformation von ${displaystyle h}$:

${displaystyle H(s)=int _{-infty}^{ infty}h(t)e^{-st}mathrm {d} t}$

Für den Laplace Transformed ${Anzeigestil X}$ von ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil Y}$ von ${Anzeigestil y}$ gilt:

${Anzeigestil Y(s)=H(s)X(s)}$

Letztendlich:

${displaystyle H(s)X(s)=int _{-infty }^{ infty }h(u)e^{-su}mathrm {d} uint _{-infty }^{ infty }x(v)e ^{-sv}mathrm {d} v=}$

${displaystyle =int _{u=-infty}^{ infty}int _{v=-infty }^{ infty}h(u)x(v)e^{-s(uv)}mathrm {d} umathrm { d} v=}$

${displaystyle =int _{w=-infty }^{ infty }int _{u=-infty }^{ infty }h(u)x(wu)mathrm {d} u,e^{-sw}mathrm {d } w=}$

${displaystyle =int _{w=-infty }^{ infty}y(w),e^{-sw}mathrm {d} w=Y(s)}$