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Faltung (zusammenklappen) ist a Mathematikerbearbeiten, bezeichnet durch ${Anzeigestil ,*,}$ (Sternchen) oder ${displaystyle ,otimes ,}$, auf zwei Funktionen Daraus ergibt sich eine neue Funktion: die Faltung von beiden. Synonym für Faltung ist Duhamel-Integral oder -Summe, Faltung-Integral oder -Summe.Eine Interpretation der Faltung ist die Transformation einer der beiden Funktionen durch die andere. Das Ergebnis ist der Bereich der Überlappung beider Funktionen, wobei sich die zweite Funktion verschiebt.

Abbildung 1. Faltung zweier Rechtecksignale: Das Ergebnis ist ein Dreieckssignal

Abbildung 2. Faltung eines Rechtecksignals (des Eingangssignals) mit einem Pulssignal. Die Faltung ist der Bereich der gelben Figur.

Das Beispiel in Abbildung 1 kann wie folgt betrachtet werden:

• Die Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ sind Blockfunktionen mit dem Wert 1 im Intervall ${Anzeigestil [-0{,}5;0{,}5]}$, und an anderer Stelle den Wert 0.
• Da diese Funktionen um 0 symmetrisch sind (mit anderen Worten, für jedes ${Anzeigestil x}$ zählt das ${Anzeigestil f(x)=f(-x)}$ und ${Anzeigestil g(x)=g(-x)}$) ist die gespiegelte Version der Funktion, die der Funktion selbst entspricht.
• Die Funktion ${displaystyle g}$ wird dann um einen Faktor verschoben ${displaystyle t}$, bei welchem ${displaystyle t}$ variiert zwischen ${displaystyle -infty }$ bis um ${displaystyle infty }$
• Wann ${displaystyle t}$ gleich –1 ist, gibt es noch keine Überschneidung für beide Funktionen. Immerhin ist die Verschiebung von ${displaystyle g}$ um einen Faktor ${Anzeigestil t=-1}$ ergibt eine Blockfunktion ${displaystyle g}$ die einen Wert von 1 für alle Werte hat ${displaystyle au }$ die entsprechen ${displaystyle -1{,}5< au <-0{,}5}$.
• Sobald ${displaystyle t}$ mit zunehmender Überschneidung überschneiden sich jedoch beide Funktionen. Es beginnt sehr klein, wird aber maximal, wenn sich beide Funktionen vollständig überlappen. Dies ist der Fall bei ${Anzeigestil t=0}$. Dort ist der Gemeinschaftsraum am größten.
• Danach nimmt die Überlappung wieder ab und die Funktion nimmt ab ${displaystyle f*g}$.

Eine ähnliche Analyse kann mit dem Beispiel in Abbildung 2 gegeben werden.

Beispiele

Wahrscheinlichkeit

An einer stark befahrenen Kreuzung passieren jede Woche ein oder mehrere Unfälle. Die Zahl der Unfälle in den nächsten zwei Wochen ist die Summe der Zahl der Unfälle in der kommenden Woche und der darauffolgenden Woche. Wenn sich in den nächsten zwei Wochen 5 Unfälle ereignen, könnte es die Summe von 0 nächste Woche und 5 nächste Woche oder 1 nächste Woche und 4 danach oder 2 3, 3 2, 4 1 oder 5 0 sein. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dass sich in den nächsten zwei Wochen 5 Unfälle ereignen, müssen die Wahrscheinlichkeiten der genannten Möglichkeiten addiert werden. Diese Wahrscheinlichkeit ist die Faltung der Wahrscheinlichkeiten der kommenden Woche und der Woche danach.

Erläuterung zu Abbildung 1

In Abbildung 1 oben sehen wir die Faltung einer Blockfunktion mit sich selbst. Die Blockfunktion ist definiert als

${displaystyle f(x)={ egin{cases}1&{mbox{as }}|x|leq { frac {1}{2}}//0&{mbox{as }}|x|>{ frac {1} {2}}Ende{Fälle}}}$

Vor der Faltung ${displaystyle f_{conv}}$ gilt:

${displaystyle f_{ ext{conv}}(t)=(f*f)(t)=int _{-infty}^{infty}f(x)f(t-x)mathrm {d} x}$

weil

${Anzeigestil f(t-x)=0}$ vor dem ${displaystyle x$ und ${displaystyle x>t { frac {1}{2}}}$

folgt für ${Anzeigestil |t|>1}$

${displaystyle f_{ ext{conv}}(t)=0}$

Vor dem ${Anzeigestil 0$ ist

${displaystyle f_{ ext{conv}}(t)=int _{t-1/2}^{1/2}1,mathrm {d} x={ frac {1}{2}}-(t-{ frac {1}{2}})=-t 1}$

und für ${displaystyle -1$

${displaystyle f_{ ext{conv}}(t)=int _{-1/2}^{t 1/2}1,mathrm {d} x=t { frac {1}{2}}-(-{ frak {1}{2}})=t 1}$

Die Faltung ${displaystyle f_{ ext{conv}}}$ ist somit eine Dreiecksfunktion, die in Abbildung 1 dargestellt ist.^[1]

Definitionen

spät ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ sind zwei Zahlenreihen, indiziert durch ganze Zahlen. Die Faltung von ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$, bemerkt ${Anzeigestil (u*v)(k)}$ oder ${Anzeigestil (uotimes v)(k)}$, ist eine neue Zahlenfolge, deren allgemeiner Term gegeben ist durch

${displaystyle (u*v)(k)=(uotimes v)(k)=sum _{i=-infty}^{infty}u(i)v(k-i)}$

vorausgesetzt, dass die Reihensumme absolut konvergiert.

spät ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ zwei messbare Funktionen sind auf dem reale Nummern. Die Faltung von ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ ist ein neues Feature ${Anzeigestil u*v}$, mit dem Rezept

${displaystyle (u*v)(t)=int _{-infty}^{infty}u(s)v(t-s),mathrm {d} s}$

vorausgesetzt, das Integral existiert im absolut konvergenten Sinne von Lebesgue.

Dieser Vorgang kann als Rollvorgang durchgeführt werden gewichteter Durchschnitt von ${Anzeigestil u}$ zu sehen, mit ${Anzeigestil v}$ (oder eigentlich: das Spiegelbild von ${Anzeigestil v}$) als Zeilengewichte.

Hinweis

In weniger theoretischen Texten ist die Faltung der Funktionen ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$, etwas verwirrend, notiert als:

${Anzeigestil u(t)*v(t)}$

Im Hintergrund steht die Idee, dass die explizite Form der Funktionen sichtbar wird.

Eigenschaften

Kommutativität

${Anzeigestil f*g=g*f}$

Assoziativität

${Anzeigestil f*(g*h)=(f*g)*h}$

Verteilung

${Anzeigestil f*(g h)=(f*g) (f*h)}$

Multiplizieren Sie die Assoziativität mit dem Skalar

${Anzeigestil a(f*g)=(af)*g=f*(ag)}$,

mit ${Anzeigestil a}$ jede komplexe (reelle) Zahl.

Derivat

${displaystyle {mathcal {D}}(f*g)={mathcal {D}}f*g=f*{mathcal {D}}g}$,

mit ${displaystyle {mathcal {D}}f}$ das Derivat von ${displaystyle f}$ (Dauerfall) und ${Anzeigestil ({mathcal {D}}f)(n)=f(n 1)-f(n)}$ (diskreter Fall).

Faltungssatz

${displaystyle {mathcal {F}}(f*g)={sqrt {2pi}}{mathcal {F}}(f)cdot {mathcal {F}}(g)}$,

mit ${Anzeigestil F(f)}$ das Fourier-transformiert von ${displaystyle f}$.

Ähnliche Eigenschaften gelten auch für die Laplace-Transformation:

${displaystyle {mathcal {L}}[f*g](s)={mathcal {L}}[f](s)cdot {mathcal {L}}[g](s)}$

und der Z-Transformation:

${displaystyle {mathcal {Z}}[x*y](z)={mathcal {Z}}[x](z)cdot {mathcal {Z}}[y](z)}$

Invers

Manchmal werden Versuche unternommen, durch sogenannte Entfaltung, aus der Falte ${displaystyle fstar g}$ einer unbekannten Funktion ${displaystyle f}$ und ein bekanntes Feature ${displaystyle g}$, der Unbekannte ${displaystyle f}$ zurück zu finden. Dies ist jedoch nicht in allen Fällen möglich.

Anwendungen

Steuerungstechnik

Faltung wird unter anderem in der Systemtheorie, insbesondere in der Steuerungstechnik. Die Funktionen ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ dann Signale präsentieren. Zeilen sind Signale in diskreter Zeit, Realbereichsfunktionen sind Signale in kontinuierlicher Zeit.

Ein lineares zeitinvariantes System ${Anzeigestil S}$ gegeben von der impulsive Reaktion${displaystyle h}$, gibt als Ausgabe zurück ${Anzeigestil x}$ die Faltung der Impulsantwort mit dem Eingangssignal ${Anzeigestil u}$:

${displaystyle x=h*u}$

Dieser Ausdruck gilt unter der Annahme, dass alle Anfangsbedingungen des Systems Null sind (Nullzustand).

Codierungstheorie

In dem Codierungstheorie wird bei a . sein Faltungscode angenommen, zum Beispiel eine binäre Schieberegister, an die eine Reihe von zu codierenden Bits angelegt wird. Der Ausgang des Schieberegisters ist das zu sendende Codewort; dieser Ausgang kann als Faltung der Impulsantwort mit der Eingangsbitzeile verstanden werden. Die Länge eines Codeworts ist die Länge der Eingangszeile plus der Anzahl der Verzögerungselemente im Schieberegister.

Wahrscheinlichkeit

Die Faltung findet auch Anwendung in der Wahrscheinlichkeit. Das Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe zweier voneinander unabhängiger stetiger stochastische Variablen ist die Faltung der beiden getrennten Dichten. Eine entsprechende Eigenschaft gilt auch für diskrete stochastische Variablen.

Die Summe zweier unabhängiger stetiger stochastische Variablen ist wieder stetig, und seine Dichtefunktion ist die Faltung der beiden getrennten Dichtefunktionen.

1. Die stochastischen Variablen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sind voneinander unabhängig und beide exponentiell verteilt mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda }$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe beider ist für ${displaystyle z>0}$:

${displaystyle f_{XY}(z)=int _{0}^{z}f_{X}(x)f_{Y}(zx),mathrm {d} x=int _{0}^{z}lambda e^{-lambda x}lambda e^{-lambda (zx)},mathrm {d} x=lambda ^{2}ze^{-lambda z}}$

Die Summe ${Anzeigestil X Y}$ hat auch a Erlang-Verteilung mit Parametern ${ Anzeigestil Lambda }$ und 2.

2. Die stochastischen Variablen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sind voneinander unabhängig und beide Giftverteilt mit entsprechenden Parametern ${ Anzeigestil Lambda }$ und ${Anzeigestil mu}$. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe beider ist für ${Anzeigestil n=0,1,ldots}$:

${Anzeigestil P(XY=n)=Summe _{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=nk)=Summe _{k=0}^{n}{frac {lambda ^{ k}}{k!}}e^{-lambda }{frac {mu^{nk}}{(nk)!}}e^{-mu}={frac {(lambda mu)^{n}}{ n!}}e^{-(lambda mu)}}$

Die Summe ${Anzeigestil X Y}$ hat somit auch eine Poisson-Verteilung, jedoch mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda Mu }$.

Verallgemeinerungen

Ausschüttungen

Durch die Erweiterung des Konzepts Teilintegration die Faltung ist definiert bei Ausschüttungen.

Die Faltung einer Funktion mit dem Dirac-Operator verschiebt diese Funktion

Die Faltung eines Signals ${Anzeigestil f(x)}$ mit einem verschobenen dirac impuls${Anzeigestil-Delta(i-i_{0})}$ ist:

${displaystyle (delta *v)(k)=sum _{i=-infty }^{infty}delta (i-i_{0})v(k-i)=v(k-i_{0})}$,

weil ${Anzeigestil-Delta(i-i_{0})}$ ist überall null außer ${displaystyle i=i_{0}}$.

${displaystyle (delta *f)(x)=int _{-infty }^{ infty }delta (t-t_{0})cdot f(xt)cdot mathrm {d} t=f(x-t_{0}) )}$, weil ${Anzeigestil-Delta(t-t_{0})}$ ist überall null außer ${displaystyle t=t_{0}}$, wo gilt das ${Anzeigestil-Delta (t_{0})=f(t)=f(t_{0})}$.

also immer eine schicht.

Topologische Gruppen

Die natürliche Heimat der Faltung ist die von a lokale Kompaktgruppe${Anzeigestil G}$ mit einer linken Invariante messen${Anzeigestil mu}$, die sogenannte Haargröße. Das Gruppenbearbeitung ist die Faltung (${Anzeigestil *}$). wenn ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ Haar-integrierbare Funktionen werden zu ihrer Faltung ${Anzeigestil u*v}$ durch die Verordnung definiert

${displaystyle forall gin G:(u*v)(g)=int _{G}u(h)v(gcdot h^{-1}),mathrm {d} mu (h)}$

Obige Definitionen für die Faltung von Reihen oder reeller Funktionen sind die Spezialfälle für die Additionsgruppen der ganzen Zahlen (mit den Zählmaß) bzw. die reellen Zahlen (mit dem lebesgue kamerad).

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