WikiDer > Метод фиктивной силы единицы

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Метод фиктивной силы единицы» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Метод фиктивной силы единицы предоставляет удобные средства для вычисления перемещений в конструктивных системах. Он применим как для линейного, так и для нелинейного поведения материала, а также для систем, подверженных воздействию окружающей среды, и, следовательно, более общий, чем Вторая теорема Кастильяно.

Дискретные системы

Рассмотрим дискретную систему, такую ​​как фермы, балки или рамы, элементы которых соединены между собой в узлах. Пусть согласованный набор деформаций стержней определяется выражением ${displaystyle mathbf {q} _ {M imes 1}}$, который можно вычислить с помощью отношение гибкости члена. Эти деформации стержня вызывают узловые смещения ${displaystyle mathbf {r} _ {N imes 1}}$, который мы хотим определить.

Начнем с применения N виртуальные узловые силы ${displaystyle mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*}}$, по одному на каждого разыскиваемого р, и найдите силы виртуальных стержней ${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*}}$ которые находятся в равновесии с ${displaystyle mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*}}$:

${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*} = mathbf {B} _ {M imes N} mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*} qquad qquad qquad mathrm {(1)} }$

В случае статически неопределимой системы матрица B не уникален, потому что набор ${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*}}$ который удовлетворяет узловому равновесию, бесконечно. Ее можно вычислить как обратную матрицу узлового равновесия любого первичная система получено из исходной системы.

Представьте себе, что внутренние и внешние виртуальные силы претерпевают, соответственно, реальные деформации и смещения; выполненная виртуальная работа может быть выражена как:

• Внешняя виртуальная работа: ${displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r}}$
• Внутренняя виртуальная работа: ${displaystyle mathbf {Q} ^ {* T} mathbf {q}}$

Согласно виртуальная работа В принципе, два рабочих выражения равны:

${displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r} = mathbf {Q} ^ {* T} mathbf {q}}$

Подстановка (1) дает

${displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r} = mathbf {R} ^ {* T} mathbf {B} ^ {T} mathbf {q}}$

С ${displaystyle mathbf {R} ^ {*}}$ содержит произвольные виртуальные силы, приведенное выше уравнение дает

${displaystyle mathbf {r} = mathbf {B} ^ {T} mathbf {q} qquad qquad qquad mathrm {(2)}}$

Примечательно, что вычисление в (2) не включает никакого интегрирования независимо от сложности систем, и что результат уникален независимо от выбора первичной системы для B. Таким образом, он намного удобнее и универсальнее, чем классическая форма метода фиктивной единичной нагрузки, который зависит от типа системы, а также от внешних воздействий. С другой стороны, важно отметить, что уравнение (2) предназначено только для вычисления перемещений или поворотов узлов. Это не ограничение, потому что при желании мы можем превратить любую точку в узел.

Наконец, название удельная нагрузка возникает из интерпретации, что коэффициенты ${displaystyle B_ {i, j}}$ в матрице B силы стержня в равновесии с единичной узловой силой ${displaystyle R_ {j} ^ {*} = 1}$, в силу уравнения (1).

Общие системы

Для общей системы метод фиктивной силы также исходит непосредственно из виртуальная работа принцип. На рис. (А) показана система с известными фактическими деформациями. ${displaystyle {oldsymbol {epsilon}}}$. Эти деформации, предположительно последовательные, вызывают смещения по всей системе. Например, точка A переместилась в A ', и мы хотим вычислить смещение р A в указанном направлении. Для этой конкретной цели мы выбираем виртуальную силовую систему на рис. (B), которая показывает:

• Единичная сила р* находится в точке А и в направлении р так что внешняя виртуальная работа выполняется р* есть, отмечая, что работа, совершаемая виртуальными реакциями в (b), равна нулю, потому что их смещения в (a) равны нулю:

${displaystyle R ^ {*} imes r = 1 imes r}$: Желаемое смещение

• Внутренняя виртуальная работа, выполняемая виртуальными напряжениями, равна

${displaystyle int _ {V} {oldsymbol {epsilon}} ^ {T} {oldsymbol {sigma}} ^ {*} dV}$

где виртуальные стрессы ${displaystyle {oldsymbol {sigma}} ^ {*}}$ должен удовлетворять равновесию везде.

Приравнивание двух рабочих выражений дает желаемое смещение:

${displaystyle 1 imes r = int _ {V} {oldsymbol {epsilon}} ^ {T} {oldsymbol {sigma}} ^ {*} dV}$